黃紅成

摘 要 數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)不但需要落實(shí)在日常教學(xué)之中，也需要展現(xiàn)在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)之中。因此，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)需要有意識(shí)、有計(jì)劃，科學(xué)設(shè)置發(fā)展性復(fù)習(xí)目標(biāo)，創(chuàng)造性地使用教材，整合補(bǔ)充必要的教學(xué)內(nèi)容，以惠及學(xué)生學(xué)科意識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)習(xí)慣等學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展。

關(guān)鍵詞 復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo) 學(xué)科意識(shí) 數(shù)學(xué)思想 思維自覺

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)除了重視能力培養(yǎng)，還應(yīng)注重素養(yǎng)的形式，以使學(xué)生在復(fù)習(xí)教學(xué)中得到最大發(fā)展。因此，我們需要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材和設(shè)計(jì)教學(xué)，以此惠及學(xué)生學(xué)科意識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)習(xí)慣等學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展。

一、在復(fù)習(xí)教學(xué)中建立學(xué)科意識(shí)

數(shù)學(xué)意識(shí)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅需要依賴學(xué)科知識(shí)，更需要依賴學(xué)科意識(shí)。數(shù)學(xué)意識(shí)主要表現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的意識(shí)、分析問題的意識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的意識(shí)等方面。其中“變換視角”是學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的常用思維方式。那么，復(fù)習(xí)教學(xué)能夠幫助學(xué)生建立哪些“變換視角”的學(xué)科意識(shí)呢？

1.變換觀察角度探索問題的學(xué)科意識(shí)

對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析與思考，不同的人一般會(huì)有不同的視角和方法。如此，復(fù)習(xí)教學(xué)也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角或采用不同的方法來思考問題，進(jìn)而建立多視角觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象、多維度思考數(shù)學(xué)問題的意識(shí)。

例如圓柱體體積計(jì)算方法，教材通常采用轉(zhuǎn)化的方法將圓柱體切割后拼成長(zhǎng)方體，得到圓柱體的體積計(jì)算公式。這種教學(xué)方式，學(xué)生看似掌握了圓柱體體積的計(jì)算方法，知道了圓柱體體積和長(zhǎng)方體體積計(jì)算方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，但是視角略顯單一。如何彌補(bǔ)這一缺憾？可以圍繞“圓柱體體積除了用底面圓形的面積×高，還可以怎樣計(jì)算呢？”這個(gè)話題構(gòu)建圓柱體體積復(fù)習(xí)教學(xué)：（1）回顧長(zhǎng)方體體積計(jì)算方法，得到：長(zhǎng)方體的體積都可以用某個(gè)面乘與這個(gè)面垂直的棱的長(zhǎng)度來計(jì)算;（2）根據(jù)“圓柱體體積就是轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方體體積”，引導(dǎo)學(xué)生思考“換個(gè)觀察的角度，圓柱體體積還可以怎樣計(jì)算？”接著改變長(zhǎng)方體放置方式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①將轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方體沿高旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)圓柱體體積可以用“橫截面面積×底面周長(zhǎng)的一半”計(jì)算;②將轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方體平放，得到圓柱體的體積也可以用“側(cè)面積的一半×半徑”計(jì)算;（3）補(bǔ)充類似“一個(gè)圓柱的側(cè)面積是30平方厘米，底面半徑是5厘米，這個(gè)圓柱的體積是多少？”這類問題讓學(xué)生解答。通過這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)，學(xué)生對(duì)體積的意義、圓柱體體積計(jì)算方法有了更加全面的認(rèn)識(shí)與理解，培養(yǎng)了學(xué)生變換觀察角度探索問題的學(xué)科意識(shí)。

2.變換思維視角解決問題的學(xué)科意識(shí)

分析和解決數(shù)學(xué)問題，僅靠學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)有時(shí)并不夠，還需要運(yùn)用特殊的思維方式或解題方法，才能達(dá)到順利、高效解決問題的目的。因此，復(fù)習(xí)課需要適時(shí)補(bǔ)充一些特殊解題方法或思維方式，讓學(xué)生在應(yīng)用中積累和掌握變換思維視角解決問題的經(jīng)驗(yàn)與方法。

例如“倒推法”是解決問題的一種特殊思路。以“認(rèn)識(shí)方向”的復(fù)習(xí)為例，可以圍繞兩道操作題組織教學(xué)：（1）將下面方格圖中的○先向東北跳3格，然后向西跳2格，最后向西南跳3格（方格圖略）。先讓學(xué)生嘗試畫圖并確定○的位置，講評(píng)時(shí)交流判斷和操作的方法;（2）如果知道最后的位置，怎樣得到原來的位置呢？因?yàn)槭窃}的變式，學(xué)生雖然能夠直接確定出問題的答案，但是確定位置的方法，絕大多數(shù)學(xué)生無法給出明確答案。于是可以啟發(fā)學(xué)生結(jié)合上學(xué)和放學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，交流、探討確定位置的方法。然后總結(jié)出“需要借助反方向的知識(shí)，從最后條件開始逐次推算，直至確定原來的位置”的方法。最后再引導(dǎo)學(xué)生比較這兩個(gè)問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的區(qū)別及其所用方法的特點(diǎn)。

二、在復(fù)習(xí)教學(xué)中汲取數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想源于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。復(fù)習(xí)教學(xué)因受教學(xué)內(nèi)容和時(shí)間束縛不大，因此有更多的機(jī)會(huì)和空間來進(jìn)行數(shù)學(xué)思想或方法的滲透與教學(xué)，更有助于學(xué)生感受、體會(huì)和把握數(shù)學(xué)思想。下文以模型思想為例談?wù)勗趶?fù)習(xí)教學(xué)中怎樣幫助學(xué)生建立建模意識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想。

1.在凸顯知識(shí)本質(zhì)中培養(yǎng)建模意識(shí)

凸顯知識(shí)的本質(zhì)和特征，有助于學(xué)生把握和理解數(shù)學(xué)問題。對(duì)數(shù)學(xué)問題，去除其非本質(zhì)特征，凸顯其知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并運(yùn)用圖示、文字、符號(hào)等方式予以表示，是數(shù)學(xué)建模的主要方式。復(fù)習(xí)教學(xué)，可以讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程中生發(fā)建模的意識(shí)和感受建模的方法。

例如“運(yùn)算律”的復(fù)習(xí)，雖然運(yùn)用運(yùn)算律解決問題是主要教學(xué)目標(biāo)，但是幫助學(xué)生建構(gòu)各個(gè)運(yùn)算律的數(shù)學(xué)模型也應(yīng)是高度重視的教學(xué)內(nèi)容。如此這般，復(fù)習(xí)教學(xué)伊始，引出五個(gè)運(yùn)算律之后，可以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分類復(fù)習(xí)。先按學(xué)習(xí)內(nèi)容的先后順序進(jìn)行分類，讓學(xué)生回憶并用不同的方式來表示這些運(yùn)算律;然后呈現(xiàn)學(xué)生所列舉的符號(hào)表示法、文字表示法、圖形表示法、文字+圖示表示法等，并展開交流;再圍繞各種表示方法來描述這些表示方法所表示的運(yùn)算意義，并探討“方法雖然不同，為什么可以表示同一個(gè)運(yùn)算律？”等問題的原因;最后讓學(xué)生按照運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類，即交換律、結(jié)合律、分配律。分析操作的意義，分類比較的過程，是凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)特征的過程，也是幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的過程，用不同方式表示運(yùn)算律的過程，是學(xué)生變換知識(shí)表征、凸顯本質(zhì)的過程，也是學(xué)生自主建模和養(yǎng)成建模意識(shí)的過程，有益于學(xué)生模型思想的形成。

2.在構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)中感受數(shù)學(xué)思想

建模思想及方法是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要支撐，有助于學(xué)生深刻把握，準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題。對(duì)數(shù)學(xué)問題，尤其是一些實(shí)際問題，它們本身所呈現(xiàn)的表征和形式有所區(qū)別，但是卻多半存在固定或相似的知識(shí)結(jié)構(gòu)。所以復(fù)習(xí)教學(xué)，可以呈現(xiàn)表征不同，但結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在比較和構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程中，感受建模的方法和思想。

例如，在復(fù)習(xí)稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)問題的探討環(huán)節(jié)，可以這樣設(shè)計(jì)：（1）從文字到圖形。出示幾道實(shí)際問題，解答問題之前問學(xué)生：“這樣的實(shí)際問題，還可以怎樣表示？”絕大多數(shù)學(xué)生都會(huì)想到用線段圖來表示，然后出示3幅線段圖（與出示問題結(jié)構(gòu)一致的線段圖，不標(biāo)數(shù)據(jù)），讓學(xué)生判斷“哪副圖，標(biāo)上數(shù)據(jù)就能表示這些實(shí)際問題？”交流和說明想法時(shí)，讓學(xué)生說出選擇的原因，并比較“雖然都可以用同一幅圖表示，但條件怎樣”“問題不同，但只能用一幅圖來表示嗎？”等問題。（2）由圖形到文字。學(xué)生在說明選擇理由和線段圖的圖意后，隨機(jī)讓學(xué)生說說“看到這幅圖，你還想到了哪些實(shí)際問題？”組織學(xué)生根據(jù)線段圖再來編擬一些問題并解答。文字和圖形相互轉(zhuǎn)化的過程可以看作是學(xué)生構(gòu)建模型和運(yùn)用模型解決問題的過程。如此，在豐富復(fù)習(xí)教學(xué)形式、凸顯數(shù)學(xué)問題特征和提高復(fù)習(xí)教學(xué)效率的同時(shí)，也讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握了數(shù)學(xué)問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意識(shí)。

三、在復(fù)習(xí)教學(xué)中養(yǎng)成思維自覺

思維自覺是學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要構(gòu)成和顯性表征。數(shù)學(xué)思維自覺是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去分析解決問題的自然行為。自覺檢驗(yàn)便是一種包含思維的自然行為。受學(xué)生知識(shí)面或教學(xué)目標(biāo)等方面的影響，小學(xué)生在新知探索或練習(xí)中，鮮有需要檢驗(yàn)和驗(yàn)證的機(jī)會(huì)，直接導(dǎo)致學(xué)生自覺驗(yàn)證和檢驗(yàn)意識(shí)的缺失。那么復(fù)習(xí)教學(xué)，需要培養(yǎng)學(xué)生怎樣的檢驗(yàn)習(xí)慣呢？

1.養(yǎng)成重視環(huán)節(jié)的思維自覺

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論的得出，需要關(guān)注其前提的關(guān)聯(lián)性、過程的合理性、結(jié)論的科學(xué)性等。每個(gè)解題環(huán)節(jié)都需要有必要的驗(yàn)證和考量，所以每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都需要重視檢驗(yàn)意識(shí)和習(xí)慣的養(yǎng)成，尤其是復(fù)習(xí)教學(xué)。

例如“圖形分割”是探索圖形特征的前提，是圖形教學(xué)的重要內(nèi)容。比如把多邊形分成三角形便是“多邊形內(nèi)角和”等課題的教學(xué)前提，為此在二年級(jí)“認(rèn)識(shí)圖形”的復(fù)習(xí)內(nèi)容中，教材也編擬了“一個(gè)五邊形，至少可以分成幾個(gè)三角形？”這樣的習(xí)題。對(duì)這個(gè)問題的解答，教師一般都會(huì)強(qiáng)調(diào)“至少”這個(gè)操作要求，但學(xué)生依然容易出錯(cuò)。如何避免這樣的錯(cuò)誤呢？需要讓學(xué)生養(yǎng)成“邊思考、邊操作、邊檢驗(yàn)”的學(xué)習(xí)習(xí)慣。具體說，教師可以以五邊形為例，先連接五邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)畫出一條線段，讓學(xué)生判斷分出的圖形是不是都是三角形，如果有不是三角形的圖形，接著再把不是三角形的圖形繼續(xù)分，直到分出的圖形都是三角形為止。最后再讓學(xué)生用這樣的操作方法把其余多邊形進(jìn)行分割。如此操作，學(xué)生不斷調(diào)整和修正分析問題的思路，不斷判斷和檢驗(yàn)問題結(jié)果的正誤，進(jìn)而感受到解決問題的思維方式，獲得解決問題的方法。

2.養(yǎng)成關(guān)注整體的思維習(xí)慣

對(duì)問題的解決，除了需要對(duì)過程中的某個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行自覺檢驗(yàn)，更需要學(xué)生對(duì)整個(gè)過程有整體的把握，對(duì)問題解決的整個(gè)過程能夠進(jìn)行主動(dòng)的、自覺的判斷和思考。

譬如學(xué)過“三位數(shù)除以一位數(shù)”之后，對(duì)“609÷3”結(jié)果的口算或判斷，總是有部分學(xué)生錯(cuò)誤地寫成“23”。如何避免？自覺檢驗(yàn)是一條重要的突破路徑。而要想養(yǎng)成自覺檢驗(yàn)的習(xí)慣，需要追溯到兩位數(shù)加減一位數(shù)的教學(xué)，可以分步實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)目標(biāo)。首先，在新知教學(xué)中，不管是進(jìn)位還是不進(jìn)位，都要交給學(xué)生“先估后算”“先算后估”判斷習(xí)慣。其次，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，需要強(qiáng)化這樣的檢驗(yàn)方法。最后，將這樣的判斷方法滲透在一二年級(jí)加減運(yùn)算教學(xué)的始終。有了這樣的階段訓(xùn)練和教學(xué)，學(xué)生便能形成采用“先估后算、先算后估”的解題意識(shí)和習(xí)慣。如此，學(xué)生就能減少類似的錯(cuò)誤，提高估算、判斷問題的能力，同時(shí)形成必要的檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣和自覺。

[責(zé)任編輯：陳國慶]