王玉璽 曹云鵬

【摘要】分類討論思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，不僅能提升學(xué)生的解題效率，也能促使學(xué)生在解題的過程中逐漸形成一定的數(shù)學(xué)思維，真正實現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng).本文立足于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，對分類討論思想在其教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究和分析.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;高中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

【基金項目】本文系2017年武威市“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題（WW[2017]GH148）階段性研究成果.

高中數(shù)學(xué)是高中階段最為重要的一門基礎(chǔ)性學(xué)科，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中占據(jù)著十分重要的比重.進(jìn)入高中階段之后，數(shù)學(xué)的難度不斷提升，知識點具有極強(qiáng)的復(fù)雜性、抽象性，對學(xué)生的邏輯思維能力要求非常高，學(xué)生在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式下的學(xué)習(xí)效果不佳.據(jù)此，教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中必須充分借助分類討論思想，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.

一、分類討論思想與高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

（一）分類討論思想概述

在高中數(shù)學(xué)中，分類討論思想是七大數(shù)學(xué)思想之一，它主要指對于某些數(shù)學(xué)問題，不能使用同樣的方法對其進(jìn)行解決，必須有規(guī)律地將整個問題變?yōu)閹讉€小問題，并借助不同的方式解決幾個不同的小問題，最終完成整個問題的解答.

高中數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容更為抽象，在解題的過程中存在較大的難度，我們常常需要借助分類討論思想，對問題進(jìn)行分類，使其成為幾個小問題，對這些小問題逐一解答，進(jìn)而最終完成數(shù)學(xué)知識的解答.另一方面，在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，通過分類討論思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，逐漸提升邏輯思維能力、數(shù)學(xué)歸納能力等，能夠全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率以及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，這滿足了當(dāng)前新課程標(biāo)準(zhǔn)下對培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

（二）分類討論思想的應(yīng)用原則

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師在應(yīng)用分類討論思想的時候，應(yīng)遵循以下幾個原則.

1.同一性

主要指在對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類的時候，所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)必須相同，在對其進(jìn)行劃分的時候不能夠采用多個標(biāo)準(zhǔn).

2.互斥性

主要指在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類之后，所形成的小問題之間必須確保其不能出現(xiàn)互相重復(fù)、相互融合的現(xiàn)象等.也就是說，在分類討論思想下必須保證所劃分的子項之間存在明顯的互斥性，以免其出現(xiàn)相互包含的現(xiàn)象.

3.相稱性

主要指在高中數(shù)學(xué)分類討論的時候，必須注重劃分之后子項之間要存在明顯的相稱性，保證其外延項的和要與母項的外延和相同.

（三）分類討論思想的解題作用

高中生在解答相關(guān)數(shù)學(xué)問題的時候會遇到相應(yīng)的阻礙，如在某個關(guān)鍵步驟，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)問題的走向與自身想法有所不同，而解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的方式通常也是多種多樣的，這個時候?qū)W生解答數(shù)學(xué)問題的進(jìn)度就會受到阻礙.想要使該問題得到有效解決，學(xué)生在課堂的學(xué)習(xí)中就需積極聽取數(shù)學(xué)教師所講解的解決問題的技巧.教師要引導(dǎo)學(xué)生通過分類討論的形式，促進(jìn)數(shù)學(xué)難題的解決.除此之外，通過教師的指導(dǎo)，學(xué)生首先要對問題主導(dǎo)的發(fā)展方向及其因素進(jìn)行掌控，對相似數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的變化范圍進(jìn)行了解，以此對相關(guān)數(shù)學(xué)難題的具體發(fā)展方向?qū)嵤╊A(yù)測.教師可引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的具體變化范圍實施劃分.通過長期的鍛煉，學(xué)生的腦海中就會逐漸形成分類討論思想.觀察歷年來的數(shù)學(xué)高考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)分類討論思想已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，并成為當(dāng)前高考中必備的考核能力.學(xué)生利用分類討論思想進(jìn)行難題解決，不僅可以使學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識得到有效鞏固，而且能在解題中促使自身形成相應(yīng)的邏輯思維，從而將具備的邏輯思維廣泛地應(yīng)用到現(xiàn)實生活當(dāng)中.除此之外，分類討論作為具有較強(qiáng)綜合性的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)與情況進(jìn)行快速考查，而且能使學(xué)生充分了解到數(shù)學(xué)教材中所蘊(yùn)含的分類討論的教學(xué)思想.例如，與等比數(shù)列的前n項和公式有關(guān)的問題，高中生在對問題進(jìn)行解答的時候，應(yīng)用最多的是分類討論，且高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，參數(shù)變化及其取值也需學(xué)生通過分類討論實施解讀.由于各參數(shù)取值不同，因此導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果也有所不同.分類討論已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)試題解答中必備的數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)修養(yǎng).

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)題目中的具體應(yīng)用

（一）在函數(shù)題目中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)是最為重要的部分，也是高考的重點.這一部分的知識點也是學(xué)生在學(xué)習(xí)中面臨的難點之一.具體來說，函數(shù)問題中含有諸多內(nèi)容版塊，如直線、曲線等.在當(dāng)前的數(shù)學(xué)考試中，函數(shù)題目常常出現(xiàn)在最后一道大題中.另外，函數(shù)題型還存在復(fù)雜多變的現(xiàn)象，一旦參數(shù)值發(fā)生了改變，就會導(dǎo)致函數(shù)結(jié)果出現(xiàn)很大的改變，給學(xué)生的解題帶來了極大的難度.面對這一現(xiàn)狀，教師可充分借助分類討論思想，對函數(shù)問題進(jìn)行簡化，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行根本的認(rèn)識，進(jìn)而對函數(shù)問題進(jìn)行高效的認(rèn)識.

例如，題目“已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1在區(qū)間[-3，2]上的最大值為4，那么實數(shù)a的值為多少”，在對這一函數(shù)問題進(jìn)行解答的過程中，教師借助分類討論思想，對這一函數(shù)劃分了三種情況，即a>0，a=0，a<0，并引導(dǎo)學(xué)生分別對這三種情況下的函數(shù)問題進(jìn)行考慮.

（二）在概率題目中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，概率是教學(xué)的重點，同樣是考查的重點.學(xué)生在對概率這一問題進(jìn)行解答的過程中，一旦稍不注意，就會出現(xiàn)錯誤.面對這一現(xiàn)象，教師在引導(dǎo)學(xué)生對概率數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答的過程中，可充分借助分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解答.例如，下面的題目：高一的（一）、（二）、（三）三個班級共有學(xué)生100名，在對學(xué)生每周體育鍛煉情況的調(diào)查中，結(jié)果顯示：（一）班抽取5個人，其參與體育鍛煉的時間分別為6 h，6 h，7 h，7.5 h，8 h;（二）班抽取7個人，其參與體育鍛煉的時間分別為6 h，7 h，8 h，9 h，10 h，11 h，12 ?h;（三）班抽取8個人，其參與體育鍛煉的時間分別為3 h，4.5 h，6 h，7.5 h，9 h，10.5 h，12 h，13.5 h.現(xiàn)在從三個班級中各隨機(jī)選擇一名學(xué)生，分別記為甲、乙、丙，假設(shè)三名學(xué)生鍛煉時間相對比較獨(dú)立，求甲鍛煉時間比乙鍛煉時間長的概率.面對這一問題，多數(shù)學(xué)生感到無從下手.因此，教師在開展教學(xué)時就可以充分借助分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生完成解答.

（三）在不等式題目中的應(yīng)用

在不等式題目的練習(xí)中，教師可將下述試題提供給學(xué)生：在k∈N的情況下，求不等式|m|+|n|

（四）在三角函數(shù)題目中的應(yīng)用

三角函數(shù)作為高考中的重難點，大部分學(xué)生都會望而生畏，并主觀地認(rèn)為函數(shù)屬于高中階段最難學(xué)習(xí)的部分.函數(shù)確實難，但三角函數(shù)卻是函數(shù)當(dāng)中較為簡單的，其可通過圖像進(jìn)行分析與理解.因此，數(shù)學(xué)教師在對三角函數(shù)進(jìn)行講解的時候，可對典型例題實施講解，待學(xué)生初步了解與掌握三角函數(shù)的時候，教師再引導(dǎo)學(xué)生對三角函數(shù)的具體解題方法進(jìn)行深入分析，并使學(xué)生了解到三角函數(shù)當(dāng)中的重難點問題就是角度問題，依據(jù)角度大小對相關(guān)答案實施差別討論.例如，銳角三角形獲得答案需將什么作為前提條件，而直角三角形、鈍角三角形獲得答案需將什么作為前提條件等.分類討論是三角函數(shù)的角度問題中較為重要的解題方法，教師在講解的時候需注重方法的運(yùn)用恰當(dāng)性.比如，教師在出題的時候，想要使學(xué)生對三角函數(shù)具備的性質(zhì)進(jìn)行考察，而學(xué)生則理解成對三角函數(shù)的含義進(jìn)行考察，這就會影響到學(xué)生的解題正確性.因此，數(shù)學(xué)教師需將分類討論的具體適用題型與狀況實施講解，以促使學(xué)生實現(xiàn)高效解題.

（五）在幾何題目中的應(yīng)用

幾何題目通常是空間想象力較差的學(xué)生學(xué)習(xí)時的“致命”題，他們在面對相關(guān)幾何題目的時候通常會感到無從下手.此時，數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生從試題中的條件入手，了解到什么，又推導(dǎo)出什么，試題中有何要求，需要些什么，并在圖中標(biāo)注相關(guān)的已知條件，利用已知條件對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)，通過層層深入選擇出所需的條件，以此將大問題分解為幾個小問題，通過小問題的解決與歸納實現(xiàn)大問題的解決，并由易至難，實現(xiàn)分類討論思想的應(yīng)用.同時，數(shù)學(xué)教師需注重學(xué)生具備的邏輯推理能力的培養(yǎng)，從一個步驟對下個步驟進(jìn)行推導(dǎo)，并經(jīng)過各條件的綜合，清晰寫出相應(yīng)的解題步驟，從而確保分類討論思想的有效應(yīng)用.

三、應(yīng)用分類討論思想需注意的問題

在應(yīng)用分類討論思想時，學(xué)生首先需明確為何要對問題實施分類討論，數(shù)學(xué)教師需為學(xué)生的解題提供相應(yīng)的思路，以此使學(xué)生充分了解到分類標(biāo)準(zhǔn)及其明確定義.對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，許多概念與公式都具備系統(tǒng)性.因此，學(xué)生在對相關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決時，需注重分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一，以獲取準(zhǔn)確、科學(xué)的分類，從而保證在解題時不會出現(xiàn)遺漏或者重復(fù)的狀況.同時，數(shù)學(xué)教師需將分類探討的技巧教給學(xué)生，以促使學(xué)生可以通過層次性分類的方法，學(xué)習(xí)與掌握數(shù)學(xué)知識，從而實現(xiàn)高效化解題.

結(jié) 語

綜上所述，分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)教學(xué)策略，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有顯著的價值.因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須充分借助分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效的解答.

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