何德軍

【摘要】數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進(jìn)行推理和判斷的依據(jù)，也是形成數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ).現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育心理學(xué)認(rèn)為，概念形成和概念同化是初中學(xué)生獲得概念的主要方式.本文基于概念形成的心理過程，以數(shù)軸概念的教學(xué)為例，通過一系列報(bào)數(shù)活動(dòng)抽象出數(shù)軸這一基本概念，然后通過教學(xué)活動(dòng)強(qiáng)化概念，最后應(yīng)用數(shù)軸的概念解決數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);概念形成;數(shù)軸

概念的教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位.作為思維的基本單位，數(shù)學(xué)概念能夠反映事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)定理、法則、公式的建立及數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的形成，也都建立在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)之上.扎實(shí)有效的概念學(xué)習(xí)是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)判斷的前提和依據(jù)，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展也取決于他對(duì)數(shù)學(xué)概念的獲得.筆者將結(jié)合數(shù)學(xué)教育心理學(xué)中對(duì)“數(shù)學(xué)概念形成教學(xué)模式”的研究，以“數(shù)軸”（北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)）的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法進(jìn)行探究.

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)認(rèn)為，概念形成的心理過程主要包括以下四個(gè)階段：

基于概念形成的心理過程，設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程幫助學(xué)生獲得“數(shù)軸”這一概念：

一、概念引入： “報(bào)數(shù)”活動(dòng)

學(xué)生對(duì)于概念的理解需要一個(gè)過程.在概念的教學(xué)中，教師要舍得花時(shí)間創(chuàng)設(shè)情境，使概念的發(fā)生與形成能和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律協(xié)調(diào)一致.

在數(shù)軸概念的引入中，我組織了“報(bào)數(shù)”活動(dòng)，通過學(xué)生熟悉的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生分析事物的本質(zhì)屬性.

【第一輪】學(xué)生起立，教師指定基準(zhǔn)點(diǎn)，從基準(zhǔn)點(diǎn)開始向右依次報(bào)數(shù)：

基準(zhǔn)點(diǎn)左邊的學(xué)生以同樣方式報(bào)數(shù).

要求：①所報(bào)數(shù)字能體現(xiàn)出自己的位置;②與右邊同學(xué)相異：

這輪報(bào)數(shù)活動(dòng)與體育課上傳統(tǒng)的報(bào)數(shù)方式有所不同，為了體現(xiàn)出與右邊學(xué)生所報(bào)數(shù)字的不同，左邊學(xué)生可以借助表示相反意義的負(fù)數(shù)進(jìn)行報(bào)數(shù).

【第二輪】教師指定基準(zhǔn)點(diǎn)，變換報(bào)數(shù)方向，即從基準(zhǔn)點(diǎn)開始向左依次報(bào)數(shù)：

在第一輪報(bào)數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)生能較好地進(jìn)行報(bào)數(shù)活動(dòng).

【第三輪】教師指定基準(zhǔn)點(diǎn)，變換報(bào)數(shù)間隔，即從基準(zhǔn)點(diǎn)開始向右依次報(bào)偶數(shù)：

基于前兩輪報(bào)數(shù)活動(dòng)，學(xué)生參與本輪報(bào)數(shù)活動(dòng)時(shí)毫不猶豫，活動(dòng)順利進(jìn)行.

【第四輪】無條件報(bào)數(shù)：

對(duì)于本輪報(bào)數(shù)活動(dòng)，教師不制定任何要求，要求學(xué)生直接報(bào)數(shù).但此時(shí)學(xué)生困惑不已，本輪報(bào)數(shù)活動(dòng)無法完成……

數(shù)學(xué)概念往往具有較強(qiáng)的抽象性，這就導(dǎo)致學(xué)生在理解概念的時(shí)候有些被動(dòng)吃力.傳統(tǒng)的概念教學(xué)模式是直接把概念告訴學(xué)生，比如數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線，而沒有讓學(xué)生在生活中體驗(yàn)實(shí)實(shí)在在的數(shù)軸，這就割斷了數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械地去記憶概念，舍棄了概念的本質(zhì).數(shù)學(xué)源于生活，北師大版教材由溫度計(jì)引入數(shù)軸，形象且直觀，但與小學(xué)知識(shí)有過多重復(fù)，因此不能幫助學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)軸的“三要素”，只能算形似.而“報(bào)數(shù)”活動(dòng)是學(xué)生熟悉的活動(dòng)，其強(qiáng)度適當(dāng)、富有變化性和新穎性，以此引入數(shù)軸有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.

概念的形成需要學(xué)生從具體例子出發(fā)，歸納一類事物的共同本質(zhì)屬性.把數(shù)學(xué)概念的獲得與數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)合在一起，為學(xué)生創(chuàng)造生活情境，有利于學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念形成具象的認(rèn)知.

二、概念形成：認(rèn)識(shí)數(shù)軸

數(shù)學(xué)概念的獲得是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).為了幫助學(xué)生對(duì)概念有正確且深刻的理解，教師需要引導(dǎo)學(xué)生剖析概念內(nèi)涵，挖掘概念本質(zhì)，拓展概念外延.

在數(shù)軸的教學(xué)過程中，經(jīng)過三輪有條件報(bào)數(shù)，在第四輪無條件報(bào)數(shù)時(shí)，學(xué)生主動(dòng)提出困惑：“本次報(bào)數(shù)活動(dòng)無法完成.”“沒辦法報(bào)數(shù)，缺少條件?。　?這些困惑的產(chǎn)生源于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，也正是這種沖突促使學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考.教師順勢(shì)提出問題：“在第四輪報(bào)數(shù)活動(dòng)中缺少哪些條件呢？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回憶和思考.學(xué)生經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)第四輪報(bào)數(shù)活動(dòng)中存在的問題主要為沒有告知：①基準(zhǔn)點(diǎn).②報(bào)數(shù)方向.③報(bào)數(shù)間隔.而這些恰恰對(duì)應(yīng)著數(shù)軸的“三要素”：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度.通過這樣的教學(xué)，學(xué)生在教師引導(dǎo)下順理成章地抽象出數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸.在活動(dòng)中引發(fā)學(xué)生的共鳴，讓學(xué)生感受數(shù)軸的“三要素”缺一不可，這能更好地體現(xiàn)北師大版教材“螺旋上升”的設(shè)計(jì)理念，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)軸的認(rèn)識(shí)從感性階段上升到理性階段.把具體事物抽象為數(shù)學(xué)概念，這是概念形成的關(guān)鍵階段.

為了檢測(cè)概念形成的效果，筆者設(shè)計(jì)一組問題，將抽象的概念回歸到具體的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在實(shí)際問題中理解數(shù)軸“三要素”.

練習(xí)1判斷以下數(shù)軸的畫法是否正確？并說明理由.

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生應(yīng)敢于發(fā)表自己的想法、敢于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新，進(jìn)而形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.正是在這種不斷思考、不斷探究的過程中，學(xué)生對(duì)數(shù)軸的概念形成了初步認(rèn)識(shí).

三、概念深化：“復(fù)述”數(shù)軸

心理學(xué)認(rèn)為，記憶和遺忘是有規(guī)律的.獲得數(shù)學(xué)概念后，需要對(duì)其進(jìn)行及時(shí)鞏固，以保證所獲得的概念能夠長(zhǎng)時(shí)間保存.因此在教學(xué)過程中，教師可以要求學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)概念后通過朗讀、背誦、辨析等方式對(duì)其進(jìn)行鞏固.在“數(shù)軸”這節(jié)課的教學(xué)過程中，筆者要求學(xué)生在初步形成概念后，進(jìn)行“操作性復(fù)述”.這里的復(fù)述不是死記硬背，而是讓學(xué)生在復(fù)述概念的過程中，把握概念的重點(diǎn)和本質(zhì)特征.

練習(xí)2在練習(xí)本上獨(dú)立畫出一條數(shù)軸，并與小組成員相互檢查.

現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式的基本特征之一是體驗(yàn)性，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了數(shù)軸的基礎(chǔ)上，教師可以要求學(xué)生獨(dú)立畫出一條數(shù)軸，讓學(xué)生在自己動(dòng)手的過程中深刻感受數(shù)軸.巡視課堂后，教師采取以小組為單位的評(píng)價(jià)方式，在小組發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的基礎(chǔ)上，針對(duì)學(xué)生集中出現(xiàn)的問題展開分析.在生生對(duì)話、師生對(duì)話的過程中，實(shí)現(xiàn) “正確畫出數(shù)軸”的教學(xué)目標(biāo).這樣的設(shè)計(jì)不僅能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力與合作精神，還能使學(xué)生在小組交流的過程中提高發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

“復(fù)述”之后，教師可以向?qū)W生展示不同形態(tài)的數(shù)軸，如縱向的數(shù)軸，生活中的數(shù)軸，歷史時(shí)間軸等，同時(shí)教師借機(jī)向?qū)W生提出問題：“在生活中，你還見過怎樣的數(shù)軸？”在概念強(qiáng)化的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、踴躍交流，這樣一方面能通過大量的實(shí)例拓展數(shù)學(xué)概念，達(dá)到活化思維的效果，另一方面能把抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、生活化.

四、概念運(yùn)用：借助數(shù)軸實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的應(yīng)用價(jià)值.利用數(shù)軸解決代數(shù)問題的前提是數(shù)形結(jié)合，因此必須要讓學(xué)生建立有理數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

練習(xí)3（1）寫出數(shù)軸上各點(diǎn)所表示的數(shù).

A表示，B表示，C表示.

（2）在數(shù)軸上分別畫出表示2，-1，-32的點(diǎn).

在教學(xué)過程中，教師可以先要求學(xué)生指出數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)，這是由“形”到“數(shù)”的思維過程;再要求學(xué)生把給定的數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這是由“數(shù)”到“形”的思維過程.通過點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以使學(xué)生加深對(duì)數(shù)軸的認(rèn)識(shí).

為了幫助學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在學(xué)生完成練習(xí)后，教師繼續(xù)向?qū)W生提出問題：①任意一個(gè)整數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示嗎？②任意一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示嗎？學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)一步感受到：任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示.基于這一結(jié)論，抽象的代數(shù)問題基本上都可以通過數(shù)軸直觀解決.例如，以某排學(xué)生中的某一個(gè)為基準(zhǔn)點(diǎn)建立數(shù)軸，先請(qǐng)代表1的學(xué)生舉手，然后請(qǐng)所代表數(shù)字比1大的學(xué)生舉手.變換數(shù)字再進(jìn)行幾次，這樣學(xué)生可以形象地感知到：在數(shù)軸上，比一個(gè)數(shù)大的數(shù)都在它的右邊.

通過活動(dòng)設(shè)計(jì)，學(xué)生可以深刻理解利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小的方法，并經(jīng)歷從幾何的角度解決代數(shù)問題的過程.

練習(xí)4利用數(shù)軸比較下列每組數(shù)的大小，并用“<”將其連接.

（1）-2和+6;（2）0和-1.8;

（3）-32和-4;（4）-34，-13和32.

需要指出的是，本文所列舉的概念的形成過程以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，它不要求學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備較多的概念，只需要有概念例證方面的直接經(jīng)驗(yàn).從學(xué)生角度來看，這種學(xué)習(xí)方式適合基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生;從概念角度來看，這種學(xué)習(xí)方式適合在數(shù)學(xué)概念體系中起著基礎(chǔ)作用的抽象概念的學(xué)習(xí).

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