何德軍

【摘要】數(shù)學概念是學生進行推理和判斷的依據(jù)，也是形成數(shù)學定理、法則、公式的基礎.現(xiàn)代數(shù)學教育心理學認為，概念形成和概念同化是初中學生獲得概念的主要方式.本文基于概念形成的心理過程，以數(shù)軸概念的教學為例，通過一系列報數(shù)活動抽象出數(shù)軸這一基本概念，然后通過教學活動強化概念，最后應用數(shù)軸的概念解決數(shù)學問題.

【關鍵詞】初中數(shù)學;概念形成;數(shù)軸

概念的教學在初中數(shù)學教學中占有重要地位.作為思維的基本單位，數(shù)學概念能夠反映事物在數(shù)量關系和空間形式方面的本質(zhì)屬性.數(shù)學定理、法則、公式的建立及數(shù)學方法和數(shù)學思想的形成，也都建立在數(shù)學概念的基礎之上.扎實有效的概念學習是學生進行數(shù)學推理、數(shù)學判斷的前提和依據(jù)，學生數(shù)學能力的發(fā)展也取決于他對數(shù)學概念的獲得.筆者將結(jié)合數(shù)學教育心理學中對“數(shù)學概念形成教學模式”的研究，以“數(shù)軸”（北師大版教材七年級上冊）的教學設計為例，對初中數(shù)學概念的教學方法進行探究.

數(shù)學教育心理學認為，概念形成的心理過程主要包括以下四個階段：

基于概念形成的心理過程，設計如下教學過程幫助學生獲得“數(shù)軸”這一概念：

一、概念引入： “報數(shù)”活動

學生對于概念的理解需要一個過程.在概念的教學中，教師要舍得花時間創(chuàng)設情境，使概念的發(fā)生與形成能和學生的認知規(guī)律協(xié)調(diào)一致.

在數(shù)軸概念的引入中，我組織了“報數(shù)”活動，通過學生熟悉的活動引導學生分析事物的本質(zhì)屬性.

【第一輪】學生起立，教師指定基準點，從基準點開始向右依次報數(shù)：

基準點左邊的學生以同樣方式報數(shù).

要求：①所報數(shù)字能體現(xiàn)出自己的位置;②與右邊同學相異：

這輪報數(shù)活動與體育課上傳統(tǒng)的報數(shù)方式有所不同，為了體現(xiàn)出與右邊學生所報數(shù)字的不同，左邊學生可以借助表示相反意義的負數(shù)進行報數(shù).

【第二輪】教師指定基準點，變換報數(shù)方向，即從基準點開始向左依次報數(shù)：

在第一輪報數(shù)的基礎上，學生能較好地進行報數(shù)活動.

【第三輪】教師指定基準點，變換報數(shù)間隔，即從基準點開始向右依次報偶數(shù)：

基于前兩輪報數(shù)活動，學生參與本輪報數(shù)活動時毫不猶豫，活動順利進行.

【第四輪】無條件報數(shù)：

對于本輪報數(shù)活動，教師不制定任何要求，要求學生直接報數(shù).但此時學生困惑不已，本輪報數(shù)活動無法完成……

數(shù)學概念往往具有較強的抽象性，這就導致學生在理解概念的時候有些被動吃力.傳統(tǒng)的概念教學模式是直接把概念告訴學生，比如數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線，而沒有讓學生在生活中體驗實實在在的數(shù)軸，這就割斷了數(shù)學和生活的聯(lián)系，進而導致學生機械地去記憶概念，舍棄了概念的本質(zhì).數(shù)學源于生活，北師大版教材由溫度計引入數(shù)軸，形象且直觀，但與小學知識有過多重復，因此不能幫助學生深刻體會數(shù)軸的“三要素”，只能算形似.而“報數(shù)”活動是學生熟悉的活動，其強度適當、富有變化性和新穎性，以此引入數(shù)軸有利于學生進行數(shù)學思考.

概念的形成需要學生從具體例子出發(fā)，歸納一類事物的共同本質(zhì)屬性.把數(shù)學概念的獲得與數(shù)學活動結(jié)合在一起，為學生創(chuàng)造生活情境，有利于學生將抽象的數(shù)學概念形成具象的認知.

二、概念形成：認識數(shù)軸

數(shù)學概念的獲得是提升數(shù)學素養(yǎng)的基礎.為了幫助學生對概念有正確且深刻的理解，教師需要引導學生剖析概念內(nèi)涵，挖掘概念本質(zhì)，拓展概念外延.

在數(shù)軸的教學過程中，經(jīng)過三輪有條件報數(shù)，在第四輪無條件報數(shù)時，學生主動提出困惑：“本次報數(shù)活動無法完成.”“沒辦法報數(shù)，缺少條件??！” 這些困惑的產(chǎn)生源于學生在學習過程中產(chǎn)生的認知沖突，也正是這種沖突促使學生進行主動思考.教師順勢提出問題：“在第四輪報數(shù)活動中缺少哪些條件呢？”引導學生進行回憶和思考.學生經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)第四輪報數(shù)活動中存在的問題主要為沒有告知：①基準點.②報數(shù)方向.③報數(shù)間隔.而這些恰恰對應著數(shù)軸的“三要素”：原點、正方向、單位長度.通過這樣的教學，學生在教師引導下順理成章地抽象出數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫作數(shù)軸.在活動中引發(fā)學生的共鳴，讓學生感受數(shù)軸的“三要素”缺一不可，這能更好地體現(xiàn)北師大版教材“螺旋上升”的設計理念，也能讓學生對數(shù)軸的認識從感性階段上升到理性階段.把具體事物抽象為數(shù)學概念，這是概念形成的關鍵階段.

為了檢測概念形成的效果，筆者設計一組問題，將抽象的概念回歸到具體的數(shù)學問題，幫助學生在實際問題中理解數(shù)軸“三要素”.

練習1判斷以下數(shù)軸的畫法是否正確？并說明理由.

義務教育數(shù)學課程標準指出，學生應敢于發(fā)表自己的想法、敢于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新，進而形成嚴謹求實的科學態(tài)度.正是在這種不斷思考、不斷探究的過程中，學生對數(shù)軸的概念形成了初步認識.

三、概念深化：“復述”數(shù)軸

心理學認為，記憶和遺忘是有規(guī)律的.獲得數(shù)學概念后，需要對其進行及時鞏固，以保證所獲得的概念能夠長時間保存.因此在教學過程中，教師可以要求學生在獲得數(shù)學概念后通過朗讀、背誦、辨析等方式對其進行鞏固.在“數(shù)軸”這節(jié)課的教學過程中，筆者要求學生在初步形成概念后，進行“操作性復述”.這里的復述不是死記硬背，而是讓學生在復述概念的過程中，把握概念的重點和本質(zhì)特征.

練習2在練習本上獨立畫出一條數(shù)軸，并與小組成員相互檢查.

現(xiàn)代學習方式的基本特征之一是體驗性，在學生認識了數(shù)軸的基礎上，教師可以要求學生獨立畫出一條數(shù)軸，讓學生在自己動手的過程中深刻感受數(shù)軸.巡視課堂后，教師采取以小組為單位的評價方式，在小組發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的基礎上，針對學生集中出現(xiàn)的問題展開分析.在生生對話、師生對話的過程中，實現(xiàn) “正確畫出數(shù)軸”的教學目標.這樣的設計不僅能培養(yǎng)學生的動手能力與合作精神，還能使學生在小組交流的過程中提高發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

“復述”之后，教師可以向?qū)W生展示不同形態(tài)的數(shù)軸，如縱向的數(shù)軸，生活中的數(shù)軸，歷史時間軸等，同時教師借機向?qū)W生提出問題：“在生活中，你還見過怎樣的數(shù)軸？”在概念強化的過程中，教師要引導學生積極思考、踴躍交流，這樣一方面能通過大量的實例拓展數(shù)學概念，達到活化思維的效果，另一方面能把抽象的數(shù)學概念具體化、生活化.

四、概念運用：借助數(shù)軸實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

概念教學必須體現(xiàn)概念的應用價值.利用數(shù)軸解決代數(shù)問題的前提是數(shù)形結(jié)合，因此必須要讓學生建立有理數(shù)和數(shù)軸上點之間的對應關系.

練習3（1）寫出數(shù)軸上各點所表示的數(shù).

A表示，B表示，C表示.

（2）在數(shù)軸上分別畫出表示2，-1，-32的點.

在教學過程中，教師可以先要求學生指出數(shù)軸上的點所表示的數(shù)，這是由“形”到“數(shù)”的思維過程;再要求學生把給定的數(shù)用數(shù)軸上的點表示，這是由“數(shù)”到“形”的思維過程.通過點與數(shù)的對應關系，可以使學生加深對數(shù)軸的認識.

為了幫助學生深刻體會數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系，在學生完成練習后，教師繼續(xù)向?qū)W生提出問題：①任意一個整數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示嗎？②任意一個分數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示嗎？學生獨立思考后，進一步感受到：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示.基于這一結(jié)論，抽象的代數(shù)問題基本上都可以通過數(shù)軸直觀解決.例如，以某排學生中的某一個為基準點建立數(shù)軸，先請代表1的學生舉手，然后請所代表數(shù)字比1大的學生舉手.變換數(shù)字再進行幾次，這樣學生可以形象地感知到：在數(shù)軸上，比一個數(shù)大的數(shù)都在它的右邊.

通過活動設計，學生可以深刻理解利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小的方法，并經(jīng)歷從幾何的角度解決代數(shù)問題的過程.

練習4利用數(shù)軸比較下列每組數(shù)的大小，并用“<”將其連接.

（1）-2和+6;（2）0和-1.8;

（3）-32和-4;（4）-34，-13和32.

需要指出的是，本文所列舉的概念的形成過程以學生的直接經(jīng)驗為基礎，它不要求學生的認知結(jié)構(gòu)中具備較多的概念，只需要有概念例證方面的直接經(jīng)驗.從學生角度來看，這種學習方式適合基礎相對薄弱的學生;從概念角度來看，這種學習方式適合在數(shù)學概念體系中起著基礎作用的抽象概念的學習.

【參考文獻】

[1]何小亞.數(shù)學學與教的心理學[M].廣州：華南理工大學出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]呂小兵.重視概念生成強化數(shù)學能力：例談初中數(shù)學概念教學[J].數(shù)學教學通訊，2014（04）：33-34.