何德軍
【摘要】數(shù)學概念是學生進行推理和判斷的依據(jù),也是形成數(shù)學定理、法則、公式的基礎.現(xiàn)代數(shù)學教育心理學認為,概念形成和概念同化是初中學生獲得概念的主要方式.本文基于概念形成的心理過程,以數(shù)軸概念的教學為例,通過一系列報數(shù)活動抽象出數(shù)軸這一基本概念,然后通過教學活動強化概念,最后應用數(shù)軸的概念解決數(shù)學問題.
【關鍵詞】初中數(shù)學;概念形成;數(shù)軸
概念的教學在初中數(shù)學教學中占有重要地位.作為思維的基本單位,數(shù)學概念能夠反映事物在數(shù)量關系和空間形式方面的本質(zhì)屬性.數(shù)學定理、法則、公式的建立及數(shù)學方法和數(shù)學思想的形成,也都建立在數(shù)學概念的基礎之上.扎實有效的概念學習是學生進行數(shù)學推理、數(shù)學判斷的前提和依據(jù),學生數(shù)學能力的發(fā)展也取決于他對數(shù)學概念的獲得.筆者將結(jié)合數(shù)學教育心理學中對“數(shù)學概念形成教學模式”的研究,以“數(shù)軸”(北師大版教材七年級上冊)的教學設計為例,對初中數(shù)學概念的教學方法進行探究.
數(shù)學教育心理學認為,概念形成的心理過程主要包括以下四個階段:
基于概念形成的心理過程,設計如下教學過程幫助學生獲得“數(shù)軸”這一概念:
一、概念引入: “報數(shù)”活動
學生對于概念的理解需要一個過程.在概念的教學中,教師要舍得花時間創(chuàng)設情境,使概念的發(fā)生與形成能和學生的認知規(guī)律協(xié)調(diào)一致.
在數(shù)軸概念的引入中,我組織了“報數(shù)”活動,通過學生熟悉的活動引導學生分析事物的本質(zhì)屬性.
【第一輪】學生起立,教師指定基準點,從基準點開始向右依次報數(shù):
基準點左邊的學生以同樣方式報數(shù).
要求:①所報數(shù)字能體現(xiàn)出自己的位置;②與右邊同學相異:
這輪報數(shù)活動與體育課上傳統(tǒng)的報數(shù)方式有所不同,為了體現(xiàn)出與右邊學生所報數(shù)字的不同,左邊學生可以借助表示相反意義的負數(shù)進行報數(shù).
【第二輪】教師指定基準點,變換報數(shù)方向,即從基準點開始向左依次報數(shù):
在第一輪報數(shù)的基礎上,學生能較好地進行報數(shù)活動.
【第三輪】教師指定基準點,變換報數(shù)間隔,即從基準點開始向右依次報偶數(shù):
基于前兩輪報數(shù)活動,學生參與本輪報數(shù)活動時毫不猶豫,活動順利進行.
【第四輪】無條件報數(shù):
對于本輪報數(shù)活動,教師不制定任何要求,要求學生直接報數(shù).但此時學生困惑不已,本輪報數(shù)活動無法完成……
數(shù)學概念往往具有較強的抽象性,這就導致學生在理解概念的時候有些被動吃力.傳統(tǒng)的概念教學模式是直接把概念告訴學生,比如數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線,而沒有讓學生在生活中體驗實實在在的數(shù)軸,這就割斷了數(shù)學和生活的聯(lián)系,進而導致學生機械地去記憶概念,舍棄了概念的本質(zhì).數(shù)學源于生活,北師大版教材由溫度計引入數(shù)軸,形象且直觀,但與小學知識有過多重復,因此不能幫助學生深刻體會數(shù)軸的“三要素”,只能算形似.而“報數(shù)”活動是學生熟悉的活動,其強度適當、富有變化性和新穎性,以此引入數(shù)軸有利于學生進行數(shù)學思考.
概念的形成需要學生從具體例子出發(fā),歸納一類事物的共同本質(zhì)屬性.把數(shù)學概念的獲得與數(shù)學活動結(jié)合在一起,為學生創(chuàng)造生活情境,有利于學生將抽象的數(shù)學概念形成具象的認知.
二、概念形成:認識數(shù)軸
數(shù)學概念的獲得是提升數(shù)學素養(yǎng)的基礎.為了幫助學生對概念有正確且深刻的理解,教師需要引導學生剖析概念內(nèi)涵,挖掘概念本質(zhì),拓展概念外延.
在數(shù)軸的教學過程中,經(jīng)過三輪有條件報數(shù),在第四輪無條件報數(shù)時,學生主動提出困惑:“本次報數(shù)活動無法完成.”“沒辦法報數(shù),缺少條件??!” 這些困惑的產(chǎn)生源于學生在學習過程中產(chǎn)生的認知沖突,也正是這種沖突促使學生進行主動思考.教師順勢提出問題:“在第四輪報數(shù)活動中缺少哪些條件呢?”引導學生進行回憶和思考.學生經(jīng)過思考,發(fā)現(xiàn)第四輪報數(shù)活動中存在的問題主要為沒有告知:①基準點.②報數(shù)方向.③報數(shù)間隔.而這些恰恰對應著數(shù)軸的“三要素”:原點、正方向、單位長度.通過這樣的教學,學生在教師引導下順理成章地抽象出數(shù)軸的概念:規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫作數(shù)軸.在活動中引發(fā)學生的共鳴,讓學生感受數(shù)軸的“三要素”缺一不可,這能更好地體現(xiàn)北師大版教材“螺旋上升”的設計理念,也能讓學生對數(shù)軸的認識從感性階段上升到理性階段.把具體事物抽象為數(shù)學概念,這是概念形成的關鍵階段.
為了檢測概念形成的效果,筆者設計一組問題,將抽象的概念回歸到具體的數(shù)學問題,幫助學生在實際問題中理解數(shù)軸“三要素”.
練習1判斷以下數(shù)軸的畫法是否正確?并說明理由.
義務教育數(shù)學課程標準指出,學生應敢于發(fā)表自己的想法、敢于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新,進而形成嚴謹求實的科學態(tài)度.正是在這種不斷思考、不斷探究的過程中,學生對數(shù)軸的概念形成了初步認識.
三、概念深化:“復述”數(shù)軸
心理學認為,記憶和遺忘是有規(guī)律的.獲得數(shù)學概念后,需要對其進行及時鞏固,以保證所獲得的概念能夠長時間保存.因此在教學過程中,教師可以要求學生在獲得數(shù)學概念后通過朗讀、背誦、辨析等方式對其進行鞏固.在“數(shù)軸”這節(jié)課的教學過程中,筆者要求學生在初步形成概念后,進行“操作性復述”.這里的復述不是死記硬背,而是讓學生在復述概念的過程中,把握概念的重點和本質(zhì)特征.
練習2在練習本上獨立畫出一條數(shù)軸,并與小組成員相互檢查.
現(xiàn)代學習方式的基本特征之一是體驗性,在學生認識了數(shù)軸的基礎上,教師可以要求學生獨立畫出一條數(shù)軸,讓學生在自己動手的過程中深刻感受數(shù)軸.巡視課堂后,教師采取以小組為單位的評價方式,在小組發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的基礎上,針對學生集中出現(xiàn)的問題展開分析.在生生對話、師生對話的過程中,實現(xiàn) “正確畫出數(shù)軸”的教學目標.這樣的設計不僅能培養(yǎng)學生的動手能力與合作精神,還能使學生在小組交流的過程中提高發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.
“復述”之后,教師可以向?qū)W生展示不同形態(tài)的數(shù)軸,如縱向的數(shù)軸,生活中的數(shù)軸,歷史時間軸等,同時教師借機向?qū)W生提出問題:“在生活中,你還見過怎樣的數(shù)軸?”在概念強化的過程中,教師要引導學生積極思考、踴躍交流,這樣一方面能通過大量的實例拓展數(shù)學概念,達到活化思維的效果,另一方面能把抽象的數(shù)學概念具體化、生活化.
四、概念運用:借助數(shù)軸實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合
概念教學必須體現(xiàn)概念的應用價值.利用數(shù)軸解決代數(shù)問題的前提是數(shù)形結(jié)合,因此必須要讓學生建立有理數(shù)和數(shù)軸上點之間的對應關系.
練習3(1)寫出數(shù)軸上各點所表示的數(shù).
A表示,B表示,C表示.
(2)在數(shù)軸上分別畫出表示2,-1,-32的點.
在教學過程中,教師可以先要求學生指出數(shù)軸上的點所表示的數(shù),這是由“形”到“數(shù)”的思維過程;再要求學生把給定的數(shù)用數(shù)軸上的點表示,這是由“數(shù)”到“形”的思維過程.通過點與數(shù)的對應關系,可以使學生加深對數(shù)軸的認識.
為了幫助學生深刻體會數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系,在學生完成練習后,教師繼續(xù)向?qū)W生提出問題:①任意一個整數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示嗎?②任意一個分數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示嗎?學生獨立思考后,進一步感受到:任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示.基于這一結(jié)論,抽象的代數(shù)問題基本上都可以通過數(shù)軸直觀解決.例如,以某排學生中的某一個為基準點建立數(shù)軸,先請代表1的學生舉手,然后請所代表數(shù)字比1大的學生舉手.變換數(shù)字再進行幾次,這樣學生可以形象地感知到:在數(shù)軸上,比一個數(shù)大的數(shù)都在它的右邊.
通過活動設計,學生可以深刻理解利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小的方法,并經(jīng)歷從幾何的角度解決代數(shù)問題的過程.
練習4利用數(shù)軸比較下列每組數(shù)的大小,并用“<”將其連接.
(1)-2和+6;(2)0和-1.8;
(3)-32和-4;(4)-34,-13和32.
需要指出的是,本文所列舉的概念的形成過程以學生的直接經(jīng)驗為基礎,它不要求學生的認知結(jié)構(gòu)中具備較多的概念,只需要有概念例證方面的直接經(jīng)驗.從學生角度來看,這種學習方式適合基礎相對薄弱的學生;從概念角度來看,這種學習方式適合在數(shù)學概念體系中起著基礎作用的抽象概念的學習.
【參考文獻】
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