周建平

[摘 要]從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述、應(yīng)用理解、感悟等環(huán)節(jié)對(duì)《弧度制》一課進(jìn)行教學(xué)反思與重構(gòu)，能為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考.

[關(guān)鍵詞]弧度制;教學(xué);反思;重構(gòu)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）14-0008-03

“弧度制”是繼任意角后，對(duì)角的又一次深入學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí).弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小.這樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位，為我們進(jìn)一步研究三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).結(jié)合弧度制在教材中的地位和作用，從歷史和知識(shí)本身的角度思考概念，進(jìn)行文本解讀，深刻領(lǐng)會(huì)其內(nèi)涵，可以發(fā)現(xiàn)弧度制有著極高的教育教學(xué)價(jià)值.從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述、應(yīng)用理解、感悟思想等環(huán)節(jié)完整地體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程.借助教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生有自我發(fā)現(xiàn)、自主探究、合作交流、感悟知識(shí)和方法的獲得過(guò)程.可以說(shuō)其是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的極好素材.

一般來(lái)說(shuō)，概念作為最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，它的教學(xué)通常分為三個(gè)環(huán)節(jié).第一，認(rèn)識(shí)概念的來(lái)源.即根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)建構(gòu)學(xué)生知識(shí)理解的認(rèn)知基礎(chǔ).這一環(huán)節(jié)通常伴隨著直觀感知、模型想象的思維活動(dòng)，指向了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“直觀想象”素養(yǎng)的發(fā)展.第二，概念的抽象.即在概念對(duì)象原型直觀感知的基礎(chǔ)上抽象和概括出概念的特征、要素、關(guān)系以及數(shù)學(xué)表示方法，從而建立概念的認(rèn)識(shí).這一環(huán)節(jié)指向了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的發(fā)展.第三，概念的應(yīng)用.這一環(huán)節(jié)的應(yīng)用不是在復(fù)雜情境的綜合應(yīng)用，而是針對(duì)抽象概念對(duì)象的原型的直接應(yīng)用，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)，建立起對(duì)概念比較完整的認(rèn)識(shí)和理解.

下面筆者就圍繞對(duì)弧度制的理解，在上述教學(xué)三環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上來(lái)審視弧度制概念的教學(xué)，并就教學(xué)內(nèi)容及其方法在反思的基礎(chǔ)上做出重構(gòu).

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

弧度制如何有效引入？在教學(xué)過(guò)程中，如何讓學(xué)生體會(huì)研究弧度制的必要性，明確概念發(fā)展的意義？部分教師在情境創(chuàng)設(shè)、課堂引入環(huán)節(jié)的做法需要我們分析和探討.

1.教學(xué)現(xiàn)狀及反思

情形1：通過(guò)系列探究問(wèn)題引入新課.比如：

問(wèn)題1：[30°+sin30°]等于多少？

意圖：引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到角度不是實(shí)數(shù)，不能在角度和角度的三角函數(shù)值之間進(jìn)行運(yùn)算.

問(wèn)題2 ：你能找到一個(gè)合適的實(shí)數(shù)來(lái)度量30°角嗎？

意圖：讓學(xué)生將30°角放在扇形中，圍繞30°對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)以及半徑這兩個(gè)量來(lái)思考探究，然后再一般化，形成相關(guān)結(jié)論.

分析：?jiǎn)栴}1揭示的現(xiàn)象正是弧度制產(chǎn)生的根源性問(wèn)題.哪里來(lái)的這個(gè)問(wèn)題？為什么要研究這樣的問(wèn)題？學(xué)生完全不清楚，被教師牽著鼻子走，沒(méi)有體現(xiàn)學(xué)習(xí)自主性.問(wèn)題2的探索，可以說(shuō)學(xué)生完全沒(méi)有方向，此時(shí)，將角放在扇形中來(lái)思考只是教師的一廂情愿.這種引入，沒(méi)有為概念對(duì)象提供直觀感知材料或想象的模型，后面概念的抽象也就無(wú)從談起.

情形2：借助學(xué)生熟悉的自行車(chē)，將大小齒輪和連接的鏈條中蘊(yùn)含的圓心角、圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和半徑巧妙地聯(lián)系在一起，使學(xué)生比較直觀地看到同弧長(zhǎng)時(shí)，半徑和圓心角的關(guān)系（如圖1）.半徑相同（同一圓中）時(shí)，變化弧長(zhǎng)，相應(yīng)的圓心角也隨之變化.進(jìn)而引出本節(jié)課所要探究的問(wèn)題：保持圓心角的大小不變，探究它所對(duì)的弧長(zhǎng)與相應(yīng)半徑之間的關(guān)系.這樣的引入，從生活中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，容易引起學(xué)生的共鳴，符合情境創(chuàng)設(shè)的原則.但遺憾的是它帶來(lái)的問(wèn)題并不是本課概念需要探究的問(wèn)題，是一個(gè)間接性問(wèn)題.這樣從投入的時(shí)間和精力以及效率上來(lái)看得不償失，值得商榷.

2.有效重構(gòu)

有效的教學(xué)情境要包含數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且要有利于學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題.弧度是建立在扇形圓心角基礎(chǔ)上，從圓心角、弧長(zhǎng)、半徑三者關(guān)系中分析抽象出來(lái)描述圓心角大小的概念，應(yīng)該設(shè)計(jì)一個(gè)既包含圓心角、弧長(zhǎng)及半徑又符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的情境引入新課.

問(wèn)題情境：按照國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)校鉛球場(chǎng)地投擲區(qū)是一個(gè)圓，落球區(qū)是一個(gè)以圓心為頂點(diǎn)的角（根據(jù)比賽對(duì)象的不同，在角內(nèi)畫(huà)出多條弧線），如圖2所示.

問(wèn)題3 ：現(xiàn)只有皮尺，你能測(cè)算出這個(gè)角的大小嗎？

從學(xué)生小組的計(jì)算方案來(lái)看，他們都是采用弧長(zhǎng)公式，從中解出圓心角的角度數(shù)[n=180lπr].各組將測(cè)量到的弧長(zhǎng)及相應(yīng)半徑的值分別代入，計(jì)算出n的值分別大約為34.6，35.1，34.8，35，推斷落球區(qū)角度應(yīng)該約為35°，經(jīng)查證與國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)一致，誤差是由測(cè)量引起的.

鉛球比賽是學(xué)生比較熟悉的，提出的問(wèn)題學(xué)生也比較容易聯(lián)想到扇形中的弧長(zhǎng)公式，達(dá)到了通過(guò)情境引出問(wèn)題的效果.

二、經(jīng)歷過(guò)程，建構(gòu)概念

這一環(huán)節(jié)是概念的形成階段，在對(duì)原型直觀感知的基礎(chǔ)上抽象和概括出概念的特征、要素、關(guān)系以及數(shù)學(xué)表示方法，從而建立概念的認(rèn)識(shí).在概念知識(shí)對(duì)象的來(lái)源階段，教師為學(xué)生提供的應(yīng)該是包含圓心角、所對(duì)弧長(zhǎng)及相應(yīng)半徑的一個(gè)扇形，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生探究交流.教師對(duì)知識(shí)的理解和把握往往制約著該環(huán)節(jié)的實(shí)際效果.

1.教學(xué)現(xiàn)狀及反思

情形1：對(duì)上述情形1中問(wèn)題2，在扇形中將角度一般化，如圖3.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：弧長(zhǎng)l和對(duì)應(yīng)半徑r與圓心角[α]之間有怎樣的關(guān)系？通過(guò)直觀感知，學(xué)生基本能夠確定單一的弧長(zhǎng)l和半徑r不能用來(lái)刻畫(huà)角[α]的大小.接下來(lái)用弧長(zhǎng)l和半徑r的比值[lr]來(lái)確定角[α]的大小，學(xué)生茫然.有的教師利用扇形分別是半圓和圓周時(shí)比值[lr]是定值來(lái)推測(cè)，既沒(méi)道理也不可能完成證明.學(xué)生無(wú)法完成概念的抽象，主要是缺乏有效的探究活動(dòng)支撐.

情形2：有的教師啟發(fā)學(xué)生：同一個(gè)圓心角，它所對(duì)的弧長(zhǎng)與相應(yīng)半徑總是成對(duì)出現(xiàn)的，將以半徑值和弧長(zhǎng)值構(gòu)成的數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行觀察研究，你能發(fā)現(xiàn)什么？然后，通過(guò)多媒體技術(shù)發(fā)現(xiàn)所取的數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)幾乎都在過(guò)原點(diǎn)的同一條直線上，也就是說(shuō)[lr]是一個(gè)定值.為了避免偶然性，教師再讓學(xué)生設(shè)定一個(gè)半徑的值，通過(guò)[lr]的值求出弧長(zhǎng)l 的值，驗(yàn)證此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)仍在直線上.這樣的探究，我們認(rèn)為教師的設(shè)計(jì)有引領(lǐng)過(guò)度的嫌疑，學(xué)生的參與是被動(dòng)的，缺少他們自身的探究發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，對(duì)于[lr]是一個(gè)定值仍將信將疑.

2.有效重構(gòu)

在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過(guò)程中，教師把對(duì)知識(shí)的深刻理解，轉(zhuǎn)化為教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括的“數(shù)學(xué)抽象”過(guò)程，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需要.

接上述有效重構(gòu)，各組測(cè)量的弧長(zhǎng)l及相應(yīng)半徑r的值均不同，為什么算得n的值卻都相同？

學(xué)生觀察式子[n=180lπr]，體會(huì)運(yùn)算流程，抽象形成新的認(rèn)識(shí)：[n=180π·lr]同一個(gè)圓心角，盡管 l與r不同，但對(duì)應(yīng)的比值[lr]卻都相同.也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)圓心角，它所對(duì)的弧長(zhǎng)與相應(yīng)半徑的比值是一個(gè)唯一確定的值.獲得這樣的認(rèn)識(shí)，是弧度概念形成的關(guān)鍵.有了較為有效的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)支撐，學(xué)生的抽象感悟?qū)A心角公式的結(jié)構(gòu)特征有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).

問(wèn)題4： 在上述認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，大家還有什么想說(shuō)？

生：對(duì)于其他扇形內(nèi)的圓心角，相應(yīng)的[lr]也都是定值.算出[lr]代入[n=180π·lr]后，得到了圓心角的角度數(shù)，表明算出[lr]后，圓心角的大小實(shí)際上已經(jīng)確定了.

至此，本課最關(guān)鍵、最核心的認(rèn)知已經(jīng)形成.學(xué)生感悟到圓心角的大小其實(shí)可以用弧長(zhǎng)與半徑的比值[lr]來(lái)確定，可直接用[lr]來(lái)反映圓心角的大小.學(xué)生通過(guò)這次抽象獲得了對(duì)弧度初步的認(rèn)識(shí).

考慮到概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，介紹歐拉用半徑來(lái)度量弧長(zhǎng)，用[lr]表示圓心角的大小，并將這種度量角的方法稱之為“弧度”.這不僅統(tǒng)一了角度和長(zhǎng)度的單位，還蘊(yùn)含著當(dāng)[l=r]時(shí)圓心角的大小即為1弧度.用弧度度量角的大小的制度稱為“弧度制”.

弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式得以化簡(jiǎn)，將來(lái)也可以簡(jiǎn)化微積分中公式的計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.進(jìn)一步利用歐拉提出的圓周所對(duì)圓心角為2[π]弧度完成角度制與弧度制之間的換算，使角度與實(shí)數(shù)之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).至此，學(xué)生了解了弧度制的價(jià)值，增強(qiáng)了對(duì)弧度制本質(zhì)的理解，建立起了對(duì)弧度概念完整的認(rèn)識(shí)和理解.

三、應(yīng)用體驗(yàn)，理解概念

要深刻理解概念，僅從對(duì)定義文字的閱讀理解是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的例題，將概念的理解置于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，深化概念的內(nèi)涵與外延，同時(shí)讓學(xué)生再次經(jīng)歷從具體到抽象的思辨過(guò)程.這一環(huán)節(jié)的應(yīng)用不是在復(fù)雜情境的綜合應(yīng)用，而是針對(duì)抽象概念對(duì)象的原型的直接應(yīng)用，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)，建立起對(duì)概念比較完整的認(rèn)識(shí)和理解.

1.教學(xué)現(xiàn)狀及反思

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，存在著對(duì)教材內(nèi)容定位以及例題在概念教學(xué)過(guò)程中的作用理解不到位的現(xiàn)象.表現(xiàn)之一是將角度與弧度的換算理解為概念的應(yīng)用.其實(shí)它仍是概念建構(gòu)的重要組成部分.通過(guò)換算使學(xué)生明白角度與弧度其實(shí)就是對(duì)同一事物的不同的描述，任意角度與弧度之間可以進(jìn)行互換，正是由于此，角度與實(shí)數(shù)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.表現(xiàn)之二是例題功能發(fā)生偏離.如：已知扇形花圃的周長(zhǎng)是20 m，求花圃的最大面積.例題已經(jīng)指向運(yùn)算技能的訓(xùn)練，沒(méi)有指向概念理解的范疇.

2.有效重構(gòu)

實(shí)際上，我們?cè)诟拍罱?gòu)環(huán)節(jié)就應(yīng)該完成角度與弧度的換算，明確[1? rad=180°π≈57.30°]，[1°=π180? rad≈] [0.01745 rad].在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)例1，完成0°到360°之間特殊角的角度和弧度換算.意圖是讓學(xué)生正確進(jìn)行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)特殊角之間的倍數(shù)關(guān)系.體現(xiàn)從特殊到一般、由未知向已知轉(zhuǎn)化的策略.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間就建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù);反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角（如圖4）.為后面三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

我們可以回到情境創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題中，情境再現(xiàn)：鉛球的落球區(qū)為扇形，沿著扇形的弧有一段防護(hù)網(wǎng)，如何計(jì)算防護(hù)網(wǎng)的長(zhǎng)度？落球區(qū)是一塊草坪，更換草坪需要知道草坪的面積，如何求出扇形的弧長(zhǎng)與面積？

設(shè)計(jì)意圖：

（1）在計(jì)算弧長(zhǎng)的過(guò)程中讓學(xué)生探究出弧長(zhǎng)公式[l=αr].

（3）利用PPT展示，強(qiáng)化學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范表達(dá).

從概念理解的角度看，讓學(xué)生了解弧度制的精髓、優(yōu)勢(shì)，感受弧度制在數(shù)學(xué)知識(shí)體系發(fā)展中的作用，切實(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是對(duì)客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映，都有其產(chǎn)生和發(fā)展的自然性.“弧度制”概念也要遵循這種自然性，充分利用學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象概括的過(guò)程，在揭示概念本質(zhì)、滲透數(shù)學(xué)思想方法上做文章，精心設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).無(wú)論是概念的引入、概念形成時(shí)經(jīng)歷的概括過(guò)程，還是概念的理解，都應(yīng)按照教材要求自然展開(kāi).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）