邱晨旭

[摘? ?要]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)意識和創(chuàng)新意識，而且能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)素養(yǎng);函數(shù)圖像

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0010-02

數(shù)學(xué)是一門很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.當(dāng)需要計(jì)算的數(shù)據(jù)非常大、非常多的時(shí)候，可以借助計(jì)算機(jī)程序來完成.高中數(shù)學(xué)課本中就有“程序框圖”內(nèi)容，我們可以編一些小程序來實(shí)際操作一下.對于概率統(tǒng)計(jì)還有數(shù)形結(jié)合的問題，也可以直接利用網(wǎng)絡(luò)上專門的數(shù)學(xué)軟件來處理.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不能僅存在于課本附頁上，它需要學(xué)生親自動(dòng)手參與操作.操作的過程也是整理書面知識的過程.一些中學(xué)使用圖形計(jì)算器，利用手持計(jì)算器的繪圖、計(jì)算功能做一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).網(wǎng)絡(luò)上有很多數(shù)學(xué)軟件可以替代圖形計(jì)算器，比如數(shù)學(xué)軟件GeoGebra.它是一個(gè)集代數(shù)與幾何于一體，兼有計(jì)算與繪圖功能的免費(fèi)的開源軟件.它占用內(nèi)存小，適應(yīng)性很強(qiáng)，電腦、手機(jī)和平板都可以安裝，方便學(xué)生課后練習(xí)與探索.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與，在實(shí)踐中認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和掌握，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對數(shù)學(xué)的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面我來舉幾個(gè)例子.

一、畫函數(shù)圖像

1.畫任意函數(shù)的圖像

把函數(shù)圖像作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的第一節(jié)課，是為了讓學(xué)生盡快熟悉軟件的操作，同時(shí)也是為了建立學(xué)生的自信心.操作方式很簡單，直接在指令欄中輸入函數(shù)表達(dá)式，然后按Enter鍵即可.例如，輸入“[f（x）=x3-2x+1]”，然后按Enter鍵，即可繪制“[f（x）=x3-2x+1]”的圖像.這節(jié)課從繪制簡單的初等函數(shù)圖像開始，到分段函數(shù)及復(fù)合函數(shù)，最后由學(xué)生自己隨意發(fā)揮，隨意寫出函數(shù)解析式，繪制它的圖像.這種模式突破了對函數(shù)的刻板印象，使得學(xué)生的信心和好奇心大增，加深了對函數(shù)的理解.

2.畫動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像

我們經(jīng)常研究二次函數(shù)“[f（x）=ax2+bx+c]”中，參數(shù)[a， b， c]對函數(shù)圖像的影響，所以這節(jié)課主要通過制作動(dòng)態(tài)滑桿的方式，來討論參數(shù)對函數(shù)圖像的影響.操作方式：先制作動(dòng)態(tài)滑桿[a， b， c]，范圍均為[-5， 5]，[a≠0].然后在輸入框中輸入“[f（x）=ax2+bx+c]”，按Enter鍵即可.如圖1所示，拖動(dòng)滑桿[a， b， c]，觀察圖形變化.讓學(xué)生根據(jù)圖像總結(jié)，參數(shù)[a， b， c]對二次函數(shù)圖像的開口方向及大小、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的影響.

接下來把這種方法平移到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)上.根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，先制作動(dòng)態(tài)滑桿，確定參數(shù)的取值范圍，輸入函數(shù)，然后拖動(dòng)滑桿，觀察函數(shù)圖像變化，總結(jié)規(guī)律，與課本上的知識互相印證.底數(shù)相同時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線[y=x]對稱，所以制作動(dòng)態(tài)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可以用同一個(gè)參數(shù).把這兩個(gè)函數(shù)圖像放在一起，它們的動(dòng)態(tài)圖像始終關(guān)于直線[y=x]對稱（如圖2所示）.

再進(jìn)一步，可以利用滑動(dòng)條研究函數(shù)圖像的變換.如平移變換：上下平移[y=f（x）+a]，左右平移[y=f（x+a）]，伸縮變換：[y=f（ax）]、[y=af（x）].拖動(dòng)滑動(dòng)條可以看到函數(shù)圖像的變化過程.對稱變換：（1）關(guān)于[y]軸對稱[y=f（-x）]、關(guān)于[x]軸對稱[y=-f（x）]以及關(guān)于原點(diǎn)對稱[y=-f（-x）];（2）含有絕對值函數(shù)的部分對稱變換，如[y=f（x）]，[y=f（x）].三角函數(shù)圖像的變換是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，所以函數(shù)圖像變換的重點(diǎn)操作對象是三角函數(shù)[f（x）=Asin（ωx+?）+B]（如圖3所示）.

二、畫橢圓的圖像

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和（大于兩定點(diǎn)間的距離）等于定值的點(diǎn)的集合就是橢圓.實(shí)驗(yàn)操作：先在繪圖區(qū)選定圓心[F1]和一點(diǎn)畫一個(gè)圓，在圓上取一點(diǎn)[A]，圓內(nèi)取一點(diǎn)[F2]（不同于圓心），連接[AF2]、[AF1]，作[AF2]的中垂線交[AF1]于點(diǎn)[P]，連接[PF2].

實(shí)驗(yàn)操作與探究：

（1）用鼠標(biāo)按住點(diǎn)[A]，沿著圓周拖動(dòng)，觀察[P]點(diǎn)的軌跡.任意拖動(dòng)繪圖區(qū)中的點(diǎn)[F1]和點(diǎn)[F2]，觀察點(diǎn)[P]的軌跡（如圖4所示）.

（2）點(diǎn)[F1]、點(diǎn)[F2]不動(dòng)，僅拖動(dòng)點(diǎn)[A]，度量線段[PF1 ，? PF2]，[F1F2]的長度，計(jì)算[PF1+PF2].問：[P]點(diǎn)的軌跡是什么形狀？與橢圓的定義有什么樣的關(guān)系？拖動(dòng)點(diǎn)[F1]對橢圓形狀有什么影響？線段[PF1]的長度最大值是多少，此時(shí)[P]點(diǎn)在橢圓的什么位置上？

結(jié)論：通過上面的操作可以看出[P]點(diǎn)的軌跡就是橢圓，符合橢圓的定義.除了這種方法外，橢圓的制作方法有很多種.比如利用工具欄中的橢圓工具，或者直接在指令框中輸入“[x2a2+y2b2=1]”也可以畫出橢圓.橢圓以點(diǎn)[F1]和點(diǎn)[F2]為焦點(diǎn)，[PF1+PF2=2a].拖動(dòng)點(diǎn)[F1]會(huì)改變橢圓的圓扁程度.這些都是橢圓中的基本量，大家可以通過GeoGebra來研究基本量之間的數(shù)量關(guān)系.

下面我們進(jìn)一步探討橢圓的有關(guān)內(nèi)容.

（3）在指令框中輸入“面積（橢圓c）”按Enter即可得到橢圓的面積.計(jì)算[πab]的值與橢圓的面積進(jìn)行比較.

結(jié)論：由上述計(jì)算的結(jié)果得到橢圓的面積等于[πab].當(dāng)[a=b]時(shí)，點(diǎn)[P]的軌跡就是半徑為[a]的圓，圓的面積[πr2=πa2].

我們發(fā)現(xiàn)橢圓的面積公式與圓的面積公式是類似的.這個(gè)結(jié)論非常有意思，但是要等到大學(xué)學(xué)了高等數(shù)學(xué)之后才能給大家解釋清楚.通過GeoGebra軟件，我們可以驗(yàn)證許多猜想.比如大家知道圓的切割線定理，而橢圓與圓有許多相似的地方，那么橢圓中是否也有這樣的結(jié)論呢？大家可以通過實(shí)驗(yàn)操作來判斷這個(gè)結(jié)論是不成立的，如圖5所示.

（4）橢圓的光學(xué)性質(zhì).從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).讓學(xué)生通過GeoGebra軟件來驗(yàn)證這個(gè)性質(zhì).操作方式：利用橢圓工具，取兩個(gè)焦點(diǎn)[F1]、[F2]及橢圓上一點(diǎn)[P]作出一個(gè)橢圓，連接[PF1]，[PF2].過點(diǎn)[P]作橢圓的切線，度量[PF1]，[PF2]與切線所成的角度（如圖6所示）.探究結(jié)論：[PF1]，[PF2]與切線所成的角度相等，即反射角入射角與相等，從而證明了橢圓的光學(xué)性質(zhì).

由上面實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生掌握了如何利用GeoGebra探討橢圓性質(zhì).橢圓的焦點(diǎn)三角形問題、橢圓的切線方程等問題留給學(xué)生課下自主探索.

通過使用GeoGebra軟件，學(xué)生深入理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識.在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生注意到了一些平時(shí)容易忽視的細(xì)節(jié)，梳理了知識點(diǎn)的聯(lián)系，完善了自己的知識系統(tǒng).學(xué)生還領(lǐng)略到了科技帶給我們的便利.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要讓學(xué)生自己動(dòng)手，運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決具體問題.關(guān)鍵環(huán)節(jié)是上機(jī)操作，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與性，學(xué)生在實(shí)踐中認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.整個(gè)操作過程并不是完全模仿教師的操作過程，有一些環(huán)節(jié)需要學(xué)生自己思考操作.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)意識.學(xué)生可以通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證自己的猜想是否正確.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為解決問題提供了一種途徑.實(shí)驗(yàn)的過程也是學(xué)生輸出自己想象的過程.或許想象的內(nèi)容不正確，關(guān)鍵是這些想法有了輸出的空間，他們可以反復(fù)實(shí)驗(yàn)，不斷地去偽存真.這個(gè)過程培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力、獨(dú)立思考能力、探索精神和創(chuàng)新意識.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 沈翔.身邊的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)員：用GeoGebra領(lǐng)悟平面幾何[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]? 王貴軍.GeoGebra與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2017.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）