王凌

摘要：教學(xué)低年級數(shù)的認(rèn)識（主要是整數(shù)的認(rèn)識）時，很多教師認(rèn)為教學(xué)內(nèi)容比較簡單，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)掌握，感覺沒什么可教的。這是將教學(xué)的關(guān)注點局限在數(shù)的讀寫與組成、計數(shù)方法等基本知識層面。其實，教學(xué)的著眼點不應(yīng)囿于基本知識，還應(yīng)指向數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)本身以及數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的深刻理解。通過對“認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)”第一課時教學(xué)案例的分析與改進(jìn)來說明這一觀點。

關(guān)鍵詞：數(shù)感;教學(xué)診斷;認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)

1954年，托拜厄斯·丹齊克（Tobias Danzig）提出“數(shù)感”這一概念，之后，數(shù)學(xué)教育工作者不斷更新對數(shù)感的認(rèn)識，并且愈發(fā)認(rèn)識到數(shù)感對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！币虼耍l(fā)展學(xué)生的數(shù)感，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。貝爾奇（Berch）認(rèn)為，應(yīng)把數(shù)感當(dāng)作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的副產(chǎn)品，而不是直接將其作為教學(xué)的特定目標(biāo)。因此，教師在數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算、常見的量等有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

教學(xué)低年級數(shù)的認(rèn)識（主要是整數(shù)的認(rèn)識）時，很多教師認(rèn)為教學(xué)內(nèi)容比較簡單，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)掌握，感覺沒什么可教的。這是將教學(xué)的關(guān)注點局限在數(shù)的讀寫與組成、計數(shù)方法等基本知識層面，結(jié)果必然會使學(xué)生的認(rèn)識停留在淺層。其實，教學(xué)的著眼點不應(yīng)囿于基本知識，還應(yīng)指向數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)本身以及數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的深刻理解——這對數(shù)的運算的學(xué)習(xí)尤為重要。下面，通過對一個典型教學(xué)案例的分析與改進(jìn)來說明。

一、案例描述

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊“認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)”第一課時的編排是：通過擺小棒、借助小棒數(shù)數(shù)等活動，幫助學(xué)生初步感知兩位數(shù)的組成，知道100以內(nèi)的數(shù)表示的多少和相應(yīng)的順序;通過在幾十九的基礎(chǔ)上添一根小棒的活動，幫助學(xué)生強(qiáng)化“滿十進(jìn)一”的計數(shù)方法。這節(jié)課的學(xué)習(xí)，以之前學(xué)習(xí)的“認(rèn)識11—20各數(shù)”為基礎(chǔ)，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)兩位數(shù)的讀寫、整十?dāng)?shù)加一位數(shù)及相應(yīng)減法的口算、數(shù)的順序及數(shù)的大小比較奠基。對此，一位教師的主要教學(xué)過程如下：

師（課件呈現(xiàn)2捆小棒和3根小棒）同學(xué)們，你知道這是多少根小棒嗎？說說你是怎樣知道的。

生這里有23根小棒，1捆有10根，2捆就是20根，加上3根就是23根。

師你能像老師這樣，擺出24根小棒嗎？說說你是怎樣擺的。

生（擺出24根小棒）擺2捆，就是20根;再擺4根，就是24根。

（教師利用課件演示，然后依次添上1根小棒，帶領(lǐng)學(xué)生從24數(shù)到29。）

師29根小棒再添上1根是多少根呢？同桌互相說一說。

生再添上1根是30根。可以把10根捆成1捆。

師是啊。有10根小棒，我們就把它捆成1捆，就是1個十。

（教師在課件中依次出示39根小棒、49根小棒、59根小棒，并提問：如果再添上1根，是多少根？學(xué)生依次回答后，教師在課件中呈現(xiàn)85根小棒，帶領(lǐng)學(xué)生從85一根一根地數(shù)到99。）

師99再添上1根是多少根？

生100根。

師我們可以十根十根地數(shù)，從十?dāng)?shù)到一百。所以10個十是一百，反過來，一百里有10個十。

（教師帶領(lǐng)學(xué)生完成教材中相應(yīng)的課堂練習(xí)。）

二、案例分析

數(shù)感是對數(shù)的“感悟”，“感”是主體對外界刺激的感覺，“悟”則是主體本身的思維活動。

上述教學(xué)過程如同記流水賬，將教材編寫的內(nèi)容按順序做了“教學(xué)”。從中看不到對例題的深度解讀，看不到對教學(xué)內(nèi)容的加工和重組，也看不到對學(xué)生主體作用的突出。因此，學(xué)生沒有豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，自然就不能很好地發(fā)展數(shù)感。

那么，本節(jié)課可以從哪些方面發(fā)展學(xué)生的數(shù)感呢？

數(shù)感是高度個性化的產(chǎn)物，它不僅和學(xué)生已有的數(shù)概念相聯(lián)系，也和怎樣形成這些概念相聯(lián)系。引入有關(guān)的材料，讓學(xué)生用不同的材料表示數(shù)，尋找這些表示方法的相同之處（內(nèi)在聯(lián)系），可以幫助學(xué)生理解數(shù)的組成，豐富學(xué)生對數(shù)的意義的認(rèn)識，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感。教材中安排了用小棒表示100以內(nèi)的數(shù)，教師還可以讓學(xué)生用小正方形表示，用簡單的數(shù)表（如表1）表示。

美國學(xué)者富森指出，數(shù)詞系統(tǒng)是兒童早期學(xué)習(xí)數(shù)的一個最重要的工具。所謂的“數(shù)詞系統(tǒng)”，實質(zhì)上就是“十進(jìn)制計數(shù)法”。本節(jié)課中，學(xué)生雖然能數(shù)數(shù)，也能借助小棒說出數(shù)的組成，但是并沒有體會到僅憑計數(shù)單位“十”和“一”，就可以將所有的兩位數(shù)清晰地表示出來，即沒有體會到十進(jìn)制計數(shù)法的簡潔、美妙。事實上，學(xué)生在了解十進(jìn)制計數(shù)法、理解整數(shù)的意義的過程中，也能發(fā)展數(shù)感。因此，教師可以在用小棒、方塊、數(shù)表等材料（方法）表示數(shù)時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)都用到了計數(shù)單位“十”和“一”這一特點;以講故事的方式滲透數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受到用計數(shù)單位計數(shù)的合理性。

數(shù)感并不局限于對單個數(shù)的感悟，還體現(xiàn)在對多個數(shù)之間的聯(lián)系及其規(guī)律的敏感上?！皫资盘砩弦皇菐资ɑ蛞话伲奔仁菙?shù)與數(shù)之間的關(guān)系的體現(xiàn)，也是一種規(guī)律。教師可以設(shè)計有層次的活動，引導(dǎo)學(xué)生觀察、想象、歸納，從而理解“滿十進(jìn)一”的道理，并發(fā)展數(shù)感。第一個層次，通過操作，思考29根小棒添上1根是多少根，以及怎樣能夠一眼看出是多少根，重點理解滿10根小棒可以捆成1捆，就是1個十。第二個層次，基于29添1的經(jīng)驗，思考39根小棒添上1根是多少根，從而理解39添1是40。第三個層次，自己想一個“幾十九”，思考這個數(shù)添上1是多少，同桌兩人互相考一考對方，并說出是怎樣想的。

數(shù)數(shù)是培養(yǎng)數(shù)感最原始、最樸素、最簡單的方法。數(shù)數(shù)能幫助學(xué)生感知數(shù)的序數(shù)特征、基數(shù)特征、大小關(guān)系以及結(jié)構(gòu)特征。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用多種方式數(shù)數(shù)：不僅能按十進(jìn)制計數(shù)法的計數(shù)單位數(shù)，而且能按自定義的“計數(shù)單位”數(shù)。對于后者，如果學(xué)生數(shù)起來有困難，教師可以引入數(shù)軸工具。數(shù)軸讓數(shù)更加直觀，尤其能夠體現(xiàn)數(shù)的有序性和大小關(guān)系。

此外，比較數(shù)的大小也是培養(yǎng)數(shù)感的有效策略。本節(jié)課中，可以適當(dāng)?shù)厝谌虢柚笮￡P(guān)系來猜數(shù)的游戲，既能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

三、案例改進(jìn)

（一）通過舊知引入新知

師（課件出示圖片）圖片上有一群羊，一共有多少只呢？你能數(shù)一數(shù)，并讓人一眼看出來嗎？

生（上臺數(shù)）我們可以先數(shù)10只，然后圈起來，就是1個十;再看外面有3只，就是13只羊。

師（課件操作，如圖1）為什么數(shù)出10只圈起來呢？

生因為十和幾合起來是十幾。

師（課件出示圖片）如果增加一些羊，你還能一眼看出來有多少只嗎？有什么好辦法？

生（上臺數(shù)）數(shù)出10只圈起來。

師（課件操作，如圖2）現(xiàn)在能一眼看出來了嗎？

生23。

師在兩次數(shù)羊的過程中，大家都用到了什么方法呢？

生數(shù)出10只圈起來。

師為什么數(shù)出10只圈起來？

生圈起來以后，1個圈就是1個十，幾個圈就是幾個十;再看外面有幾只，就是幾十幾。

（二）用不同的材料表示數(shù)

1.表示23。

師我們還沒有學(xué)過23，你能用學(xué)具表示出這個數(shù)嗎？怎樣表示能讓人一眼看出來？老師給大家準(zhǔn)備了3種學(xué)具，分別是小棒、方格條和數(shù)表。請你選擇不同的材料試一試，并和同伴交流你的方法。

（學(xué)生交流后展示，并解釋是怎樣表示23的。）

師（隨著學(xué)生的展示，課件出示圖3）原來表示23的方法有很多種。請大家仔細(xì)觀察，這些方法有哪些相同的地方？

生都用到了計數(shù)單位“十”和“一”，23是由2個十和3個一組成的。

師所以，只要用計數(shù)單位“十”和“一”，就能清楚地表示23。

2.引入數(shù)學(xué)史，理解計數(shù)單位。

師其實，計數(shù)單位“十”和“一”的產(chǎn)生還有故事呢。很久以前，人們在生產(chǎn)勞動和日常生活中，就有計數(shù)的需要。（課件出示圖4）例如，要數(shù)出一共有多少只羊，就用小石子計數(shù)，數(shù)一只羊，就在地上放一個小石子。（出示圖5）為了能夠一眼看出有多少個小石子，人們想出了“逢十進(jìn)一”的方法：每當(dāng)有了10個小石子，就換成1個大石子，表示1個十。所以，大石子和小石子分別表示——

生大石子就是十，小石子就是一。

師現(xiàn)在一眼就能看出有25只羊。所以，用好計數(shù)單位“十”和“一”，就能很方便地表示數(shù)。想一想：剛剛我們在擺學(xué)具的時候，是不是也用到了“十”和“一”？這節(jié)課，我們就用“十”和“一”這兩個計數(shù)單位一起來認(rèn)數(shù)。

3.表示其他數(shù)。

師大家會用不同方法表示23了，請再用學(xué)具表示35，你能用多種方法表示嗎？想到幾種就用幾種，看誰的方法多。

（學(xué)生在展臺上展示，教師讓學(xué)生說一說是怎么表示的。）

師請你比較這些方法，都用到了哪兩個計數(shù)單位？

生“十”和“一”。

師看來，我們只要確定幾個十和幾個一，就能很清楚地表示出幾十幾。（稍停）你還想表示幾十幾呢？擺出你想表示的數(shù)，讓同桌說一說你擺的是多少。

（同桌活動后，全班反饋：一個學(xué)生在展臺上展示，其他學(xué)生說出這是幾十幾，教師請學(xué)生說一說是怎么看出來的。）

（三）幾十九添上一是多少

1.從幾十九到幾十。

師（課件出示圖片）老師也擺了一個數(shù)，來看看是多少呢？

生是29。

師那29添上1是多少?。?/p>

生是30。

師怎樣才能一眼看出是30呢？

生把10根捆成1捆，就變成1個十了。

（全班隨課件演示，從31一根一根地數(shù)到39。）

師39根再添1根是多少？說給你的同桌聽一聽。

生把10根再捆成1捆，一共就有4個十，就是40。

師請大家考一考你的同桌：左邊的同學(xué)說出幾十九，右邊的同學(xué)說出這個幾十九添上一是多少;說完之后交換。

（同桌活動后，全班反饋：一個學(xué)生說出幾十九，其他學(xué)生說出添上一后的數(shù);教師說出幾十九，指名學(xué)生回答添上一后的數(shù)。）

師一般來說，幾十九添上一，都是幾十這樣的整十?dāng)?shù)。

2.從九十九到一百。

師我們再來玩一個猜數(shù)游戲吧。（課件出示圖6）圖中左邊的幾捆被擋住了，右邊有5根，你能猜一猜一共有多少根小棒嗎？

（學(xué)生猜數(shù)時，教師用“大了”或“小了”提示學(xué)生接著猜，直至猜中85。）

師為什么不猜84或者86呢？

生左邊是幾捆，右邊有5根，所以個位只能是5。

（全班隨課件演示，從85一根一根地數(shù)到99。）

師99添上1是多少？

生100。

師這是新的計數(shù)單位——百。如果十根十根地數(shù)，你會數(shù)嗎？從10數(shù)到100，你發(fā)現(xiàn)十和百的關(guān)系是什么呢？

生10個十是1個百，1個百里有10個十。

師百是我們今天認(rèn)識的新朋友，以后會幫助我們認(rèn)識更大的數(shù)，小朋友們千萬不要忘記哦！

（四）借助數(shù)軸工具，豐富數(shù)數(shù)經(jīng)驗

師（課件出示圖7）誰來數(shù)一數(shù)香蕉有多少根？你是怎么數(shù)的？

（隨著學(xué)生的回答，課件出示圖8。）

師（課件出示圖9）誰來數(shù)一數(shù)正方體的個數(shù)？

（隨著學(xué)生的回答，課件出示圖10。）

師為什么香蕉5根5根地數(shù)，正方體卻10個10個地數(shù)？

生香蕉一把是5根，但是正方體每組有10個，是不一樣的。

師所以我們數(shù)數(shù)時，可以根據(jù)擺放的特點數(shù)。（課件出示圖11）圖中的羽毛球和糖果分別有多少個？誰來數(shù)一數(shù)。

生羽毛球有25個，糖果有32塊。

師你是怎么數(shù)的呢？

生我先看有幾個十，就是幾十;再看有幾個一，合起來就是幾十幾。

（課件出示圖12，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)數(shù)過程。）

師小朋友樂樂家的門牌號在0到100之間，你能猜猜看嗎？

（學(xué)生猜數(shù)時，課件出示數(shù)軸并標(biāo)出所猜的數(shù)，教師用“大了”或“小了”提示學(xué)生調(diào)整。學(xué)生借助數(shù)軸，更好地確定數(shù)的范圍。）

本文中改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計由江蘇省南京市陶行知學(xué)校毛雨辰老師在全區(qū)教學(xué)展示活動中實施，在此致謝！

參考文獻(xiàn)：

[1] 戴維·A.蘇澤.人腦如何學(xué)數(shù)學(xué)[M].趙暉，等譯.上海：上海教育出版社，2016.

[2] 朱莉婭·安吉萊瑞.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感[M].徐文彬，譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[3] 胡利群.數(shù)感培養(yǎng)：可遇，更可求[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2020（8）.

[4] 王林，等.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.