黃小宇

摘 ?要：“大情景、真問題”“深度學(xué)習(xí)、高階思維”是這兩年聽得最多的關(guān)鍵詞。深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于深度思考，而“教”建立在“學(xué)”的基礎(chǔ)上。在深度學(xué)習(xí)指導(dǎo)下學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，培養(yǎng)學(xué)生提問題的能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維和探究精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。在此，文章以發(fā)現(xiàn)的“巴普斯定理”為視角，談一談引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的思考與實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);巴普斯定理;面動(dòng)成體;線動(dòng)成面

【中圖分類號(hào)】G623.5 ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ? 【文章編號(hào)】1005-8877（2021）13-0011-02

【Abstract】“big situation，real problem”，“deep learning，high-level thinking” are the key words I have heard most in the past two years. The essence of deep learning lies in deep thinking，and “teaching” is based on “l(fā)earning”. Under the guidance of deep learning，students are the masters of learning，cultivate their ability to ask questions，develop their creative thinking and spirit of inquiry，and cultivate their consciousness of innovation and application. Here，the article takes the discovered “Baps theorem”as the Angle of view，talks about the thinking and practice that leads the student to study deeply.

【Key words】Deep learning;Baps theorem;Plane dynamic adult;Line dynamic plane.

深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學(xué)習(xí)?！杓雍?。

“巴普斯定理 ”是高中數(shù)學(xué)才學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然而在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂上卻真實(shí)的發(fā)現(xiàn)了，教師在深度學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下，帶領(lǐng)學(xué)生一起探究各幾何圖形的體積和面積各自之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生們經(jīng)歷猜測(cè)、探索、驗(yàn)證、應(yīng)用等一系列的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，自行發(fā)現(xiàn)體積、面積的通用計(jì)算方法。感受到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在統(tǒng)一的魅力，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.“面動(dòng)成體”。從“旋轉(zhuǎn)門”打開的奇妙探索之旅

在教學(xué)圓柱體體積時(shí)，我問：“你猜測(cè)一下圓柱體的體積應(yīng)該是怎樣計(jì)算的？”學(xué)生A說：“根據(jù)“面動(dòng)成體”，可以把圓柱體看著是一片片的薯片疊加而成的，這樣自然就是一片圓形薯片的底面積乘以高就是圓柱體的體積?！边@想法和我們將圓柱體經(jīng)過切割轉(zhuǎn)化為等底、等高、等體積的長(zhǎng)方體的推導(dǎo)過程還是有所不同。經(jīng)過圓柱體體積的推導(dǎo)學(xué)習(xí)后學(xué)生們發(fā)現(xiàn)得到的公式：圓柱體體積=底面積×高。驗(yàn)證了學(xué)生A的猜想。這時(shí)，學(xué)生B說道：“那酒店門口的旋轉(zhuǎn)門，也可以看成是一個(gè)長(zhǎng)方形玻璃門繞中軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱體，這也是“面動(dòng)成體”?。渴欠駡A柱體的體積也可以是一個(gè)長(zhǎng)方形的面積乘以這個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周后圓的周長(zhǎng)呢？”或許是受到學(xué)生A“面動(dòng)成體”的影響，學(xué)生的思路一下被打開了。確實(shí)這種“面動(dòng)成體”形成的圓柱體也是通過圖形運(yùn)動(dòng)完整得到的圓柱體，學(xué)生的直覺激發(fā)了我，或許這里隱藏著圓柱體體積推導(dǎo)的另外一種思路？我大肆贊賞學(xué)生B創(chuàng)造性思維的同時(shí)，也抱著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度對(duì)學(xué)生們說：“大家可以按照學(xué)生B的思路回去后好好研究一下是否也可以得到圓柱體的公式呢？不過一切還是要以事實(shí)來驗(yàn)證。”第二天，課上很多孩子研究后反饋出來的結(jié)果居然是：圓柱體的體積=底面積×高×2！理由是：長(zhǎng)方形的面積是S=rh，底面周長(zhǎng)是C=2πr。因此：圓柱體體積V=2πr2h。這結(jié)果顯然是錯(cuò)的！那問題出在哪里呢？這時(shí)，有學(xué)生回答道圓柱體如果是像薯片一樣一片片疊加得到的，這樣底面積是做平移運(yùn)動(dòng)，上面的每一個(gè)點(diǎn)走過的路程是一樣長(zhǎng)的，也就是高。而旋轉(zhuǎn)門是一個(gè)長(zhǎng)方形繞中軸旋轉(zhuǎn)得到，這個(gè)長(zhǎng)方形上的每一個(gè)點(diǎn)走過的路程是不一樣的，最外面那條邊走過的路程是圓的底面周長(zhǎng)C=2πr，可是里面那條邊也就是中軸只是在原地旋轉(zhuǎn)根本都沒有動(dòng)啊！也就是說這個(gè)長(zhǎng)方形上的每一個(gè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)時(shí)走過的路程是不一樣的，所以推導(dǎo)出來的體積擴(kuò)大2倍了！確實(shí)學(xué)生的話語切中要害！那究竟該用長(zhǎng)方形的哪個(gè)點(diǎn)來代表這個(gè)長(zhǎng)方形走過的路程才最公平呢？經(jīng)過討論大家一致同意應(yīng)該用長(zhǎng)方形的中間一點(diǎn)也就是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)來代表長(zhǎng)方形上的每一個(gè)點(diǎn)最公平，它到中軸的距離也就是整個(gè)長(zhǎng)方形每個(gè)點(diǎn)到中軸距離的平均值！因此這樣它的半徑就是以原來底面半徑的一半，所以推導(dǎo)出圓柱體的體積就是長(zhǎng)方形的面積乘以底面半徑一半旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)得到V=πr2h！換個(gè)思路一樣可以推導(dǎo)出圓柱體的體積，確實(shí)很巧妙！也有學(xué)生覺得這樣推導(dǎo)不是很麻煩嗎？為何要研究這種方法呢？這時(shí)又有學(xué)生問到這樣的思路是否可以推導(dǎo)出圓錐的體積公式呢？根據(jù)“面動(dòng)成體”圓錐又是由什么圖形運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的呢？一石激起千層浪，這一系列的問題，激發(fā)了孩子們強(qiáng)烈的探索新知的欲望，確實(shí)圓錐的體積公式我們是通過實(shí)驗(yàn)法得到的，如果能夠用這種方法推導(dǎo)出圓錐的體積公式，那豈不是一件振奮人心的事情？經(jīng)過討論，大家一致認(rèn)為圓錐是通過一個(gè)直角三角形繞一條直角邊也就是圓錐的高旋轉(zhuǎn)一周得到的。關(guān)鍵是要以三角形的哪個(gè)點(diǎn)來代表整個(gè)三角形所有點(diǎn)繞中軸旋轉(zhuǎn)一圈的走過的路程才公平？才是它們的平均值？受圓柱體長(zhǎng)方形的中點(diǎn)啟發(fā)，大家一致認(rèn)為要以三角形三邊中線的交點(diǎn)也就是三角形的重心為代表最合理。通過老師的引導(dǎo)和分析這個(gè)交點(diǎn)到中軸的距離可以證明出正好是底面半徑的三分之一！因此可以得到圓錐的體積就是這個(gè)三角形的面積乘以三角形重心旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)。也就得到了圓錐的體積公式：V=πr2h/3。根據(jù)“面動(dòng)成體”這一看似簡(jiǎn)單的一句話，居然可以不需要通過微積分及高等數(shù)學(xué)的方法來得到圓錐的體積公式，對(duì)孩子們而言帶來了強(qiáng)大的成就感！這巧妙的思路同樣的也激發(fā)起孩子們強(qiáng)大的求知欲，那怎樣求球的體積呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)球也是由一個(gè)半圓繞中軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，半圓的面積我們已經(jīng)會(huì)求了，關(guān)鍵是這個(gè)半圓上的哪一個(gè)點(diǎn)來代表這個(gè)半圓旋轉(zhuǎn)一周的路程最合理呢？雖然孩子們根據(jù)現(xiàn)在的知識(shí)還是無法探索出這個(gè)點(diǎn)到中軸的距離和半圓半徑之間的關(guān)系，但是這種“面動(dòng)成體”通過旋轉(zhuǎn)的方法得到的三維物體的體積公式推導(dǎo)居然可以適用于圓柱體、長(zhǎng)方體、圓錐體、甚至球體。學(xué)生們感到非常的驚訝！對(duì)“面動(dòng)成體”有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

2.“線動(dòng)成面”喚起三維和二維之間的聯(lián)系和統(tǒng)一

回到半年前在一次課堂上出現(xiàn)的“插曲”。記得在教學(xué)《圓》這單元，求環(huán)形面積：“一個(gè)環(huán)形，內(nèi)圓半徑是1cm，外圓半徑是3 cm，求環(huán)形面積是多少？”有部分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)典型的錯(cuò)法：3.14×（3-1）×（3-1）。所以我在教學(xué)時(shí)便反復(fù)強(qiáng)調(diào)計(jì)算環(huán)形面積時(shí)一定要用大圓的面積減去小圓的面積，千萬不能第一步就用大圓的半徑去減小圓的半徑，如果出現(xiàn)這步，那么后面就絕對(duì)錯(cuò)。因?yàn)榄h(huán)形的面積不等于以他們半徑差的結(jié)果為新半徑的圓的面積！其實(shí)我的分析沒有錯(cuò)，強(qiáng)化正確的做法，確實(shí)能提高解題的正確率。當(dāng)自己還在為幫學(xué)生“明辨是非”的解析感到自豪時(shí)，有位學(xué)生對(duì)我說：“老師，我覺得環(huán)形面積的求法可以用大圓半徑減去小圓半徑的方法來計(jì)算，你看環(huán)形的這一圈寬也就是半徑差都一樣，這一圈面積不是也可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？所以我就是用半徑差去乘外圓的周長(zhǎng)來求環(huán)形的面積?！甭犃怂姆治觯已矍耙涣?，覺得他的思維很獨(dú)特，學(xué)生的直覺思維往往有他的道理，但我又感覺他的想法似乎有點(diǎn)問題。因此我在肯定他獨(dú)特的想法的同時(shí)也對(duì)他說：“你的想法很好，老師很欣賞，但你說的用半徑差去乘外圓的周長(zhǎng)來求環(huán)形的面積，我有不同的想法，為什么不行用半徑差去乘內(nèi)圓的周長(zhǎng)來求環(huán)形的面積呢？這樣兩個(gè)答案不就不一樣了嗎？看來我們需要靜下來用計(jì)算來進(jìn)行驗(yàn)證?！庇谑钦n堂上孩子們興趣盎然和我共同的計(jì)算研究，終于我們發(fā)現(xiàn)用半徑差去乘內(nèi)、外圓周長(zhǎng)的平均數(shù)來求環(huán)形的面積和正常解法求環(huán)形面積的結(jié)果一樣！

常規(guī)解法：3.14×3×3—3.14×1×1=28.26—3.14=25.12（平方厘米）

特殊解法：（3.14×3×2+3.14×1×2）÷2=12.56（厘米）

12.56×2=25.12（平方厘米）

這個(gè)案例是在學(xué)圓柱體積之前六年級(jí)上學(xué)期《圓》這單元中偶然發(fā)生的一次插曲，當(dāng)時(shí)沒有深入研究只是淺談?shì)m止。這次學(xué)生經(jīng)歷了圓柱體、圓錐體體積奇特的推導(dǎo)過程后恍然大悟，根據(jù)“面動(dòng)成體”自然聯(lián)想到“線動(dòng)成面”。這個(gè)環(huán)形面積不也可以看成半徑差為2厘米的線段繞圓心O走一圈所圍合而成的圖形嗎？那這條線段以哪個(gè)點(diǎn)走過的路程為標(biāo)準(zhǔn)才公平呢？自然是這半徑差的中點(diǎn)！因此這個(gè)環(huán)形的面積就是：半徑差的中點(diǎn)走一圈的路程乘以半徑差2厘米。列式：3.14×2×2×2=25.12（平方厘米），看來三維圖形的“面動(dòng)成體”一樣可以運(yùn)用在二維圖形的“線動(dòng)成面”這里。大家為自行發(fā)現(xiàn)的這個(gè)原理歡聲雀躍，這是否是自己的獨(dú)創(chuàng)呢？后來上網(wǎng)一查才知道原來這叫巴普斯定理：在一平面上取任一閉合區(qū)域，其面積為S，使它沿垂直于該區(qū)域的平面運(yùn)動(dòng)形成一個(gè)體積為V的立體，那么這個(gè)立體圖形的體積就等于質(zhì)心所經(jīng)路程 r 乘以區(qū)域面積。表達(dá)式為V=S·r。如果令某一長(zhǎng)為L(zhǎng)的曲線段，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，使它沿著垂直于它所在平面的方向掃過一個(gè)面積S，那么這個(gè)面積的大小就等于線段的質(zhì)心移動(dòng)的距離r乘以線段的長(zhǎng)度。表達(dá)式為S=L·r。學(xué)生們雖然有些遺憾前人已經(jīng)早于我們發(fā)現(xiàn)了這定理，但是通過探索能夠深刻感受到這個(gè)定理能將所有幾何里的面積和體積的計(jì)算方法統(tǒng)一了起來，包括長(zhǎng)方形等圖形面積都可以用這定理來解釋，充分感受到數(shù)學(xué)的魅力以及探索數(shù)學(xué)的樂趣。

布魯納曾說過學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)人把同類事物聯(lián)系起來，學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織。而深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。學(xué)生們經(jīng)歷了這次圓柱體、圓錐體的體積、環(huán)形面積奇特的推導(dǎo)過程，激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情，這也給孩子們埋下一顆探索未知的種子，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1]孫雙金.深度學(xué)習(xí)與批判性思維的研究[J].江蘇教育，2019（01）

[2]馬麗云.巴普斯定理及其應(yīng)用[J].中學(xué)理科.綜合，2018（01）