裴奎英

[摘 要]“數(shù)學(xué)廣角”是人教版教材在課程改革后新開設(shè)的板塊，內(nèi)容新穎有趣，多數(shù)是以高度還原的生活事例為情境，因此，操作性和實(shí)踐性非常強(qiáng)，但也因?yàn)槿绱?，其?shù)學(xué)味較淡，綜合實(shí)踐的味道較濃。以“烙餅問(wèn)題”為例，挖掘其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)的數(shù)學(xué)味。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)廣角;烙餅問(wèn)題;數(shù)學(xué)味

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）17-0025-02

學(xué)校開展了一次以四年級(jí)“烙餅問(wèn)題”為主題的同課異構(gòu)活動(dòng)，并將對(duì)這一課程的不同施教觀點(diǎn)、觀念沖突訴諸文字，達(dá)到藝術(shù)爭(zhēng)鳴的效果。雖說(shuō)同課異構(gòu)的主題是“數(shù)學(xué)廣角”，誰(shuí)料有四位教師不謀而合，都選擇了烙餅問(wèn)題來(lái)“開路”。雖說(shuō)是同課異構(gòu)，但大同小異，均設(shè)有創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、合作交流、展示匯報(bào)等環(huán)節(jié)。

一、教學(xué)烙餅問(wèn)題的基本流程

1.創(chuàng)設(shè)情境，談話導(dǎo)入。四位教師的新課引入都是從拉家常開始。其中一位從早餐聊起，談到當(dāng)?shù)氐奶厣〕裕徊讲綄⒃掝}引到“烙餅問(wèn)題”上，再通過(guò)展示課件（如圖1），設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，慢慢轉(zhuǎn)入正題。

“觀察圖1，你從中讀取了哪些信息？‘每次最多只能烙2張餅說(shuō)明什么？有何深意？‘兩面都要烙，每面3分鐘又隱含著什么信息？你能用肢體語(yǔ)言演示一下嗎？”這位教師接連提問(wèn)。

2.自主探究，學(xué)具輔助。對(duì)烙1張、2張、3張餅的過(guò)程進(jìn)行操作演示，使學(xué)生直觀感知。教師在課前準(zhǔn)備了3張圓片充當(dāng)烙餅，學(xué)生操作探究。思考烙熟1張、2張餅的最少用時(shí)，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是小菜一碟，獨(dú)自操作即可推出結(jié)論。本課的重點(diǎn)在于烙熟3張餅的用時(shí)探究。多數(shù)教師采用合作探究的方法，交流展示、歸納總結(jié)，得出最優(yōu)方案。為凸顯最優(yōu)方案，有的教師將其命名為“交錯(cuò)烙法”。

3.歸納總結(jié)，問(wèn)題解決。對(duì)烙餅張數(shù)分別為4、5、6時(shí)的烙法展開探究，以虛擬推導(dǎo)為主。隨著餅的數(shù)量越增越多，操作法越來(lái)越力不從心，抽象的虛擬推導(dǎo)法就越來(lái)越受歡迎。最后，教師整理總結(jié)出烙餅張數(shù)與最少用時(shí)的統(tǒng)計(jì)表。

通過(guò)觀察、分析統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，總結(jié)出兩個(gè)規(guī)律。（1）烙餅最少用時(shí)=烙餅張數(shù)×3（烙餅張數(shù)>1）。（2）最優(yōu)化方案分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類來(lái)討論。烙餅張數(shù)為奇數(shù)時(shí)，前面的每次烙熟2張餅，剩下3張餅時(shí)，采用“交錯(cuò)烙法”。烙餅張數(shù)為偶數(shù)時(shí)，就直接每次烙熟2張餅，直至烙完。規(guī)律（1）是從前后數(shù)據(jù)的相關(guān)性中直接推斷出來(lái)的，或者說(shuō)是憑借直覺(jué)和數(shù)感猜想出來(lái)的，沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的理論論證，這時(shí)需要教師幫助揭示其中的數(shù)學(xué)原理，這是從數(shù)學(xué)模型中總結(jié)出數(shù)學(xué)理論的關(guān)鍵一步，也是真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)味和挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)的破局之舉。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察并推理出：無(wú)論是烙多少?gòu)堬灒褂脮r(shí)最少，就必須滿足這樣一條準(zhǔn)則，那就是每次烙2個(gè)面，不讓鍋有空置的情況。如果烙偶數(shù)張餅，那么直接每次烙熟2張就可以達(dá)到這個(gè)效果;如果是烙奇數(shù)張餅，最后3張就要采用“交錯(cuò)烙法”?？偯鏀?shù)=烙餅張數(shù)×2，又因?yàn)槊看文軌蚶?個(gè)面，所以烙餅總次數(shù)=總面數(shù)÷2=烙餅張數(shù)×2÷2=烙餅張數(shù)。也就是說(shuō)，有多少?gòu)堬灳鸵佣嗌俅巍Ｔ俑鶕?jù)每面3分鐘，得出結(jié)論：最少用時(shí)=烙餅張數(shù)×3（烙餅張數(shù)>1）。這樣的分析與推導(dǎo)，不但將奇數(shù)張餅與偶數(shù)張餅的不同烙法化歸一同，而且超越直觀演示層面，直抵?jǐn)?shù)學(xué)理論驗(yàn)證層級(jí)。

二、求取各方意見的最大公因數(shù)

本次研討活動(dòng)的一大亮點(diǎn)是邀請(qǐng)了語(yǔ)文教師來(lái)客串，順應(yīng)了課程改革中的“開放性”和“綜合性”兩大要求?？鐚W(xué)科的融合，文理兼容的教學(xué)理念，注定此次教研活動(dòng)將不同凡響。

為何“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)味逐漸流失？在“烙餅問(wèn)題”的試教中，語(yǔ)文教師和數(shù)學(xué)教師的差別主要體現(xiàn)在開頭。語(yǔ)文教師舍棄創(chuàng)設(shè)情境這一環(huán)，取而代之的是閱讀理解、識(shí)字?jǐn)嗑?、概括題目大意等考查語(yǔ)文素養(yǎng)的環(huán)節(jié)。大家認(rèn)為，語(yǔ)文教師的教學(xué)體現(xiàn)了語(yǔ)文味，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)則相形見絀，缺少數(shù)學(xué)味。何以至此？眾人以為是執(zhí)教教師曲解了教材編寫意圖。

盡管“數(shù)學(xué)廣角”是以生活情境為題材和敘事背景，但其卻蘊(yùn)含著統(tǒng)籌方法、整體運(yùn)算、不完全歸納法等數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用，這才是“數(shù)學(xué)廣角”的數(shù)學(xué)成分。“烙餅問(wèn)題”其實(shí)涉及運(yùn)籌學(xué)中的對(duì)策論。對(duì)運(yùn)籌學(xué)的解析是分三個(gè)階段螺旋式上升的。小學(xué)階段是設(shè)計(jì)在簡(jiǎn)單事例中，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中慢慢領(lǐng)悟，高中階段是通過(guò)線性規(guī)劃來(lái)研究類似研發(fā)投資、產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)等利益最大化問(wèn)題來(lái)體現(xiàn)，真正對(duì)這一部分知識(shí)深入探究則要到大學(xué)以后。因此，小學(xué)階段的“烙餅問(wèn)題”的教學(xué)，重點(diǎn)應(yīng)該是讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解決問(wèn)題時(shí)講對(duì)策、講謀略。

制訂對(duì)策時(shí)，有三要素：策劃人、方案集和最優(yōu)化方案?！安邉澣恕笔侵笇?duì)策中的決策者、掌權(quán)者。教學(xué)時(shí)，應(yīng)該盡力讓學(xué)生成為策劃人。教師可以先列舉規(guī)劃旅游出行線路、快遞員送快遞等情境，說(shuō)明制訂對(duì)策可以提高效率、節(jié)省成本，然后拋出“烙餅問(wèn)題”讓學(xué)生自主決策，讓學(xué)生成為策劃人。如此導(dǎo)入比交談吃什么早餐更有意義?！胺桨讣笔侵缚晒┻x擇的對(duì)策的全集?！袄语瀱?wèn)題”首要任務(wù)是弄清有多少種烙法，也就是烙法的所有對(duì)策，這是決策的前提。沒(méi)有全面弄清問(wèn)題就直接拿出最優(yōu)方案的做法是盲目沖動(dòng)的。

以烙3張餅為例，可行方案有很多。如可以烙3次，每次烙1張，也可以烙2次，一次烙2張，另一次烙1張。即使用3張一起的“交錯(cuò)烙法”，也有8種不同的具體烙法。如此，不但讓學(xué)生明白策略的多樣性以及優(yōu)化的必要性，而且呈現(xiàn)了對(duì)策的全集，彰顯了運(yùn)籌學(xué)的第二要素?！白顑?yōu)化方案”是指對(duì)各種決策進(jìn)行考量權(quán)衡時(shí)，得出的盈虧值。在“烙餅問(wèn)題”的教學(xué)中，對(duì)不同的對(duì)策方案進(jìn)行量化評(píng)析，核算其盈虧值。以烙3張餅為例，教師可以提出條件，如限制用12或9分鐘烙熟所有餅，讓學(xué)生自行決策，并對(duì)決策方案做出盈虧分析。

三、怎樣提高數(shù)學(xué)味

“烙餅問(wèn)題”的教學(xué)過(guò)程中存在諸多非數(shù)學(xué)因素。如3張餅的“交錯(cuò)烙法”，一位教師先通過(guò)多媒體演示烙餅過(guò)程，然后讓學(xué)生模仿操作。對(duì)部分還沒(méi)有搞懂的學(xué)生，則通過(guò)傳、幫、帶的手段，畫出烙餅的方法，確保全員理解。如此煞費(fèi)苦心，是在進(jìn)行賣餅的職業(yè)培訓(xùn)嗎？又比如對(duì)烙6張餅的分組，一位教師執(zhí)著于是分成（2，2，2）三組還是分成（3，3）兩組，難道不同分組對(duì)最少用時(shí)有影響嗎？

出現(xiàn)這些現(xiàn)象，還得從“數(shù)學(xué)廣角”的目標(biāo)定位找原因。人教版教材試圖通過(guò)“數(shù)學(xué)廣角”滲透基本的數(shù)學(xué)方法。因此，從日常生活事例中挖掘出數(shù)學(xué)思想方法是把握教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵，把握住這個(gè)關(guān)鍵，數(shù)學(xué)味自然就留住了。

在“烙餅問(wèn)題”的探究中，要滲透運(yùn)用標(biāo)記符號(hào)的意識(shí)。以探究3張餅的烙法為例，為區(qū)分3張餅的正反面，有的教師涂色，有的貼標(biāo)簽，多數(shù)是用1正、1反等字符表示第1張餅的2個(gè)面，其他的以此類推。這些都有標(biāo)記作用，但是卻忽視了數(shù)學(xué)形式的要求。義教階段主要是培養(yǎng)和塑造學(xué)生的字符代數(shù)意識(shí)，基于這一理念，給餅的各面標(biāo)記一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)符號(hào)效果更妙。

先說(shuō)3張餅，首先分別用a、b、c表示。其次，考慮到每張餅有2個(gè)面，分別用下標(biāo)1、2進(jìn)行區(qū)分。如此一來(lái)，3個(gè)餅的6個(gè)面就有6個(gè)字符組合，于是最優(yōu)方案就是將這6個(gè)字符組合分成3組，每組2個(gè)元素，其中（[a1]，[a2]），（[b1]，[b2]），（[c1]，[c2]）不能編為一組。這樣一來(lái)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)組合問(wèn)題，有8種組合法。

教師要培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。從特殊到一般的合情推理，從一般到特殊的演繹推理，反復(fù)訓(xùn)練，不斷歸納。探究烙10張餅的最少用時(shí)，可以從烙1張、2張餅逐步遞進(jìn)，再?gòu)奶厥獾?張餅開始進(jìn)行歸納并推廣到一般情況，接著從奇數(shù)張到偶數(shù)張進(jìn)行演繹推理，綜合歸納，最后發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎么烙餅，都是按照每次烙2面的規(guī)則進(jìn)行。

總之，“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了挑戰(zhàn)，同時(shí)又注入活力。讓我們充分挖掘蘊(yùn)含在生活情境中的深厚的數(shù)學(xué)思想方法，努力讓“數(shù)學(xué)廣角”更有數(shù)學(xué)味！

（責(zé)編 吳美玲）