程婭

[摘? 要] 挑戰(zhàn)性學習任務能以多維互動的教學方式，將再現(xiàn)式教學轉變?yōu)樘骄渴綄W習，使學生處于積極的學習狀態(tài)。文章以一道習題為例，探究如何基于題組模塊設計挑戰(zhàn)性學習任務，實現(xiàn)碎片化學習到結構化學習的躍升。

[關鍵詞] 題組模塊;挑戰(zhàn)性學習任務;舉一反三

蘇教版教材五年級下冊《解決問題的策略》教學中有一道題目：

+ + +

大多數(shù)教師都是沿用先通分后畫圖的教學路線，向學生展示“數(shù)形結合”的神奇，讓學生感知以形補數(shù)、算法拙而畫法巧的解題思路?？墒窃趺磿氲揭卯媹D法呢？即使畫圖，為什么是畫正方形圖而不畫線段圖呢？

創(chuàng)設適度挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題情境，引導學生經歷或重走數(shù)學發(fā)生、發(fā)展過程中的那些“關鍵步子”，借助“在題型結構、解題方法或數(shù)學思想上基于同一數(shù)學模式的一組題構成的訓練模塊——題組模塊”，教師能有結構地教，學生也能有關聯(lián)地學，最終指向對數(shù)學模式的感知、理解與建構?；诖?，筆者對習題教學進行了反思與重構。

學習任務一——破唯一，從封閉單一走向開放多元

師出示題目：

+ + +

師：課前我們分組研究了用不同的方法來解決這道題，誰來跟大家分享一下你的做法？

生1：我是用通分的方法直接做的， + + + = = 。

生2：數(shù)學書上介紹了這種方法

生3：我畫了分數(shù)條來表示單位“1”

生4：我們以前學過分數(shù)條，知道 里有兩個 ， 里有兩個 ， 里有……，所以可以知道最后的結果只剩下一個。所以我又想到還可以給算式加一個 ，要使結果不變，還應再減一個 ，像這樣：

+ + + + - = + + + - = + + - =1- =

生5：可以從簡單的想起，所以我“列表（如下表）”發(fā)現(xiàn)了，像這樣有規(guī)律的數(shù)的加法，加到幾分之一，分母就是幾，分子比分母少1。

反思：德國數(shù)學家摩根曾說：“幾何推理和算數(shù)運算各有其不同的功能和特點”。教師如果僅僅簡單地引導學生采取畫圖的方法，分析涂色部分的面積特點來解決問題，那么學生的思維會出現(xiàn)障礙：“一定要用畫圖的方法才能轉化嗎？”“通分明明更簡單??！”相反地，放手鼓勵學生算法、畫法多樣化，既開拓了思維，又尊重了學生的個性差異，這樣的做法值得推崇。

相較于以往教師直接告知數(shù)形結合的做法，大膽地放手讓學生自主嘗試，學生的創(chuàng)造性思維得到了充分的體現(xiàn)，在這里學生分別發(fā)現(xiàn)了五種方法：（1）直接通分，（2）畫正方形圖，（3）畫分數(shù)條，（4）分析數(shù)量特點巧解，（5）列表找規(guī)律。數(shù)形結合百般好，但解題時往往由形到數(shù)很自然，由數(shù)到形難憤悱。此處教師設計挑戰(zhàn)性的學習任務，打破唯一，學生創(chuàng)造性地用不同的數(shù)與形的方法來解決了問題，為學生思維的發(fā)展開拓了更大的空間。同時，五種方法呈現(xiàn)得有層次、有梯度，直接通分是學生思維的自然流淌，畫圖和列表是學生經驗帶來的啟示，嘗試用不同的圖形表征題意、分析表格中算式的“同構關系”，都讓隱性的解題方法顯性化，成為學生通向數(shù)學理解的第一個階梯。

學習任務二——求變式，從機械訓練到靈活拓展

師：對例題做適當變化，并和同伴一起研究解決的方法。

（生1展示： + + + +…+ 。）

生1：我們研究了一下，這個題目雖然加數(shù)比較多，但是和我們原來的題目很有關聯(lián)，加到幾，就用1減幾就可以了。

生2：結合圖1或圖2，加數(shù)加到 ，那么最后的得數(shù)就應該用1- 。

（生3展示：1- - - - 。）

生3：大家看圖1，做加法看涂色部分，做減法就看空白部分了。

生4：結合圖2看空白部分也很簡單呀！

生5：我補充一下，利用例題的結論轉化也很好——

1- - - - =1- + + + =1-1- =1-1+ =

生6：還可以結合數(shù)量分析，像這樣（圖3）按順序計算，每一個數(shù)都是前面一個的一半，減去前面的一半，剛好也剩一半，也就是 。

師：是的，你們創(chuàng)造了多美的一個算式呀！

反思：《國語·鄭語》有云：聲一無聽，色一無聞， 味一無果，物一無講。意思是：單一的聲音不成曲調;單一的顏色不成其作品;單一的食品不成其美食;單一的事物無從比較。單一的習題無從比較，如果就前面一道題就總結解題方法，學生的感性積淀就顯得“薄”，而教師設計“變題目”的學習任務，能讓學生在題組中通過變式熟悉解題方法，實現(xiàn)一類題目的“舉三反一”。

此處，教師設計這樣初具挑戰(zhàn)性的學習任務，從機械訓練到靈活拓展，學生的“變一變”出現(xiàn)了兩個層次：（1）數(shù)量的變化：生1變化的題目很有代表性，引導學生實現(xiàn)了從小數(shù)量到大數(shù)量問題的遷移。（2）運算符號的變化：生3改變了運算的符號，一石激起千層浪，解決問題的方法也是形式多樣。生3、生4的方法引入數(shù)形結合的思想，直觀地從圖上解決了這個問題;生5利用運算律，通過符號的變化，把未知的轉化為已知的，利用前面一個環(huán)節(jié)的結果，快速地解決了這個問題;生6嘗試探究運算中數(shù)量之間的關系，尋找解決題目的根，這樣的做法使兒童思維的發(fā)展從點狀、線狀逐漸向結構化發(fā)展，實現(xiàn)思維的提升和飛躍。

學習任務三——思本質，從知識技巧到原理模型

師：剛才同學們還創(chuàng)造了許多算式，老師把它們整理成了如下三類，請每個小組選擇其中一類課后共同研究一下解決方法，下次一起交流：

（1） + + + ; + + + ; + + +

（2） + + + ; + + +

（3） + + + ; + + + +…

第一類

生1：我們小組研究的是第一類， + + + + - =1- = 。

也可以畫圖（圖4）來解決。

生2： + + + 可以湊項+ - ，所以這題=1- = 。

也可以畫圖（圖5）來解決，不過我是用一個三角形來表示“單位1”。

生3： + + + = + + + + - = 。

也可以用圖（圖6）來動態(tài)展示，不過我覺得分母是10，用正方形表示“單位1”比較合理：

生4：我發(fā)現(xiàn)它們分子都一樣，分母都有倍數(shù)關系，并且，它們的和越來越接近1。

第二類

生1：第二類我都嘗試畫了圖，這兩個圖說明 + + + 的結果是越來越接近 ，所以計算的最終結果應該是 - = ;同樣的， + + + = - = 。

師：為什么把這些題目歸為一類？

生2：和越來越接近的不是1，而是第一個加數(shù)的2倍。

第三類

生1：第三類題目最困難。我們也畫圖了，和總比第一個加數(shù)大一點，可到底接近幾，不明顯。

師：沒有解決？那和第二類題目比較一下，有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：如果我們的分母也是2就好了。

生3：我想到了——（急切地），我們可以把所有的分子都變成2，再在整個式子前× 。那樣我們只要用前面的結果 × = 。這樣就算出來了。

師：是的，碰到沒有學過的問題，我們要善于從已經學過的問題中尋求輔助，這樣我們就輕松地把沒有學過的轉化成已經學過的了。那后面那道題，應該也會了吧？自己獨立嘗試解決……

反思：當一個問題出現(xiàn)時，我們應當能夠及時地看一下，是否首先去考查某些別的問題會帶來好處。教師不僅應該在教學中善于回顧利用已有的教學資源，深挖其中隱含的數(shù)學意義，更要引導學生學會反思：出現(xiàn)新的問題的時候，我們應當考慮看前面的結論是否能為我們所用。理想的教學決不應該止步于簡單地解決問題?，F(xiàn)代的數(shù)學教學應致力于：鼓勵學生尋求解法，而不是記住步驟;探索模式，而不是模仿題型;形成猜想，而非機械練習……鼓勵學生用學到的知識去修正和改造原有的觀念和想法。因此，作為教師，我們還可以鼓勵學生創(chuàng)造，思維才會更開闊。

這一題組模塊，通過逐層遞進的三類題目思考的分享和交流，原本千頭萬緒、看似零散的題目逐漸呈現(xiàn)出相似的結構特征：等比數(shù)列的和。這種結構上的相似與聯(lián)系，便構成了一個題組模塊。正是基于這個題組模塊所呈現(xiàn)的共同特征，學生能夠模仿著前兩個題組的結構特征，呈現(xiàn)出極富創(chuàng)造力的多樣個性表達，潛移默化中讓學生實現(xiàn)“舉一反三、觸類旁通”。

基于題組模塊，輕松地把極度復雜、陌生的問題轉化成了簡單、熟悉的問題。像這些在高中才學習的等比數(shù)列求和的問題也可以輕而易舉地轉化為小學生也能解決的問題，何不美哉？這樣設計綜合型的挑戰(zhàn)學習任務，實現(xiàn)了從單一訓練到綜合運用的跨越，何不樂哉？