李鵬 朱敏
[摘? 要] 小學階段是培養(yǎng)學生數(shù)學演繹推理能力的關(guān)鍵期,教師要準確解讀演繹推理內(nèi)涵,在教學中充分挖掘教材中有利于發(fā)展學生演繹推理能力的潛在因素,根據(jù)學生的年齡特征和認知結(jié)構(gòu),為學生推理思維的形成創(chuàng)造良好的條件。文章以幾何教學、計算教學和數(shù)學思考教學為例,探索在小學數(shù)學教學中發(fā)展學生演繹推理能力的教學策略。
[關(guān)鍵詞] 演繹推理;數(shù)學思想方法;教學策略
快放學了,天空出現(xiàn)了連片的烏云,天色漸漸地暗淡了下來,不一會兒又呼呼地刮起了大風,突然空中一道亮光劃過,接著天際傳來了轟隆隆的聲音??吹竭@樣的景象,教室里的學生異口同聲地說:“要下大雨了!”其實,在學生做出判斷的時候,已經(jīng)產(chǎn)生了類似演繹推理的過程:“天空中出現(xiàn)了烏云,刮起了大風,又有閃電又打雷”是觀察到的現(xiàn)象,也是給出結(jié)論的理由,可以稱之為“前提”;“要下大雨了”是學生在當前條件下最合理的一種推斷,可以稱之為“結(jié)論”。
以上是生活中經(jīng)常會出現(xiàn)的情景,為在小學階段進行演繹推理思想的滲透與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。筆者在教學實踐中挖掘蘊涵演繹推理思想的教學內(nèi)容,根據(jù)不同學段學生的不同學情,探索在小學數(shù)學教學中進行演繹推理的教學模式。
一、演繹推理在教材中的呈現(xiàn)
演繹推理的分類復雜,在小學數(shù)學中比較常見的有以下幾種:
1. 三段論
三段論是一種由兩個前提和一個結(jié)論構(gòu)成的演繹論證。三段論推理是演繹推理最經(jīng)典的形式,核心思想是一類對象的全部具有或不具有某種屬性,那么該類對象的部分也具有或不具有某種屬性。例如,第一種情況:2的倍數(shù)都是偶數(shù),4的倍數(shù)都是2的倍數(shù),所以4的倍數(shù)也都是偶數(shù);第二種情況:2的倍數(shù)都不是奇數(shù),4的倍數(shù)加1的和是奇數(shù),所以4的倍數(shù)加1的和不是2的倍數(shù)。
教學實踐中要引領(lǐng)學生找準前提,求其所以然。
2. 選言推理
選言推理是以選言陳述(“或者……或者……”)作為前提之一的三段論,又稱選言三段論,它根據(jù)選言陳述的邏輯特性進行演繹推理。選言推理分為相容選言推理和不相容選言推理。在小學階段比較常用的是不相容選言推理:大前提是一個不相容的選言判斷,小前提肯定其中的一個選言支,結(jié)論則否定其他選言支,小前提否定除其中一個以外的選言支,結(jié)論則肯定剩下的那個選言支。例如,判斷一根電線桿的高度是8厘米還是8米。讓學生感受選言推理的方法:一根電線桿的高度是8厘米還是8米。因為一支筷子的長度已經(jīng)超過8厘米,所以電線桿的高度肯定不是8厘米,應該是8米。
教學實踐中應要求學生有條理地思考和敘述,不必過分強調(diào)推理的形式。
3. 假言推理
假言推理是以條件陳述(“如果……那么……”)作為它的一個或者兩個前提的三段論,又稱假言三段論。在小學階段比較常用的是充分條件假言推理:前提有一個充分條件假言判斷,肯定前件就要肯定后件,否定后件就要否定前件。例如,如果把一個圖形對折后兩邊完全重合,那么這個圖形就是軸對稱圖形,圓對折后兩邊完全重合,圓是軸對稱圖形。
教學實踐中應要求學生描述判斷的依據(jù),培養(yǎng)學生言必有據(jù)的數(shù)學品質(zhì)。
4. 關(guān)系推理
關(guān)系推理是前提中至少有一個是關(guān)系命題的推理,以關(guān)系判斷作為前提或結(jié)論。關(guān)系推理在數(shù)學學習中應用比較普遍,小學階段比較常用的有以下幾種形式:①對稱性關(guān)系推理,如因為1元=10角,所以10角=1元;②反對稱性關(guān)系推理,如因為X大于Y,所以Y不大于X;③傳遞性關(guān)系推理,如因為X=Y,Y=Z,所以X=Z。
教學實踐中要讓學生尋找數(shù)量之間的關(guān)系,再用關(guān)系推理解決問題。
以上,筆者較多的從低年級數(shù)學教材中選取案例,想表達的觀點是教師從低年級開始就應該培養(yǎng)學生有根據(jù)、有條理地思考問題的習慣,進行演繹推理思想的熏陶。實踐證明,這樣的蘊含推理思維的思考過程及語言描述學生是可以接受的,并且對培養(yǎng)學生推究事理的習慣大有裨益。
二、小學數(shù)學演繹推理能力的滲透與發(fā)展
1. 以“計算”教學為例
感悟算理和掌握算法是形成運算能力的兩條主線,計算里蘊藏了方法,方法中呈現(xiàn)出推理。如:
計算:891÷36=24……27
學生學習豎式,并將豎式改寫成橫式。
組織學生觀察、對比、判斷、推理:
第一個判斷是“891等于89個10加一個1”,依據(jù)是多位數(shù)的組成(十進制計數(shù)法的位值)。
第二個判斷是“89個10里面有20個36,余17個10”。
第三個判斷是“17個10加個位的一個1,也就是171里面有4個36,余27”。
這兩個判斷的依據(jù)是位值和有余數(shù)除法的意義。
最后把兩次除得商加起來得24,891里面一共有24個36,余27。
利用豎式計算,實質(zhì)上是一種便于計算的書寫形式,以上改寫和口述既是一個計算過程,也是一個演繹推理的過程。
2. 以幾何教學為例
在小學的幾何教學內(nèi)容中,并沒有明確提出需要運用演繹推理教學的要求,但教師可以聚焦學生的視角,只要推理的前提和過程是兒童能夠理解、接受并認可的,就能進行嘗試,培養(yǎng)學生推理的意識和能力。如:證明“三角形內(nèi)角和等于180度”。
比較:哪個三角形的內(nèi)角和更大?
質(zhì)疑:所有三角形的內(nèi)角和都是180度嗎?
操作:通過量、拼、折等操作證明三角形的內(nèi)角和等于180度。
觀察:利用幾何畫板,讓三角形“動”起來。拖動三角形的某一個頂點,無論三角形的邊長和大小怎樣變化,其內(nèi)角和永遠不變。通過對各種三角形內(nèi)角和的比較,讓學生認識到“在同一個三角形中,如果有角增大,那么就有角減小;如果有角減小,那么就有角增大”。依此可以確信,所有三角形的內(nèi)角和相等,任意一個三角形的內(nèi)角和是180度。
接著,可以運用演繹推理的方式得出結(jié)論:
因為平面上所有三角形內(nèi)角和都相等,又因為存在三角形的內(nèi)角和等于180度,所以平面上所有三角形內(nèi)角和是180度。
以上過程對小學生的教育價值體現(xiàn)在兩個方面:一方面是推理的前提是否正確并能得到大家的認可?另一方面,推理的過程是否嚴密并能讓大家理解?
3. 以數(shù)學思考教學為例
人教版義務教育教科書數(shù)學六年級下冊總復習的數(shù)學思考小節(jié)部分,編排了演繹推理證明的例題和習題,這是小學數(shù)學教材編寫史上的第一次探索。筆者在教學中進行了如下嘗試:
問題:六年級有三個班,每班有2個班長,開班會時,每次每班只要一個班長參加。第一次到會的有A、B、C;第二次有B、D、E;第三次有A、E、F。請問:哪兩位班長是同班的?
(1)怎樣判斷哪兩位班長在一個班?
(2)你有什么辦法把題意整理、表示出來。
①學生使用列表法整理信息、表示題意。
②畫“○”表示到會,畫“×”表示沒到會。
③學生匯報,表格如下:
(3)引導提問:
師:我們在推理時,哪個條件是非常重要的?
生:每次每班只有一個班長參加。
師:也就是說,每個班長只能和其他班的班長同時出現(xiàn)。
師:觀察上表,能否推理出哪兩位班長是一個班的?怎樣推理?
生1:第一次A和B、C同時到會,可以看出A只可能和D、E、F同班。
生2:從第二次的情況判斷,A不可能和F同班。
生3:從第三次的情況可以確定,A只可能和D同班。
(4)學生小組合作,用剛才得出的方法,推出B、C分別與誰同班。
學生匯報推導結(jié)果。
師:你是如何進行判斷與推理的?
……
學生在這個數(shù)學思考的過程中,沒有用到特定的數(shù)學知識,只用演繹推理和已有的生活常識對問題進行分析、綜合、判斷。
總之,演繹推理思想深度融合在小學數(shù)學的各個版塊,貫穿于數(shù)學學習的全過程。教師應根據(jù)學生的年齡特征和認知結(jié)構(gòu),給學生提供步入演繹推理的機會,為學生演繹推理思想的形成創(chuàng)造良好的條件。如此,學生的理性思維在小學階段萌芽,演繹推理思想得以生根,才能在未來的數(shù)學學習中生長出更加嚴格的演繹推理。