周躍佳

[摘? 要] 教學要遵循最近發(fā)展區(qū)理論，循序漸進地開展連鎖問題探究，逐步完善學生的認知結構.文章以高中數(shù)列的教學設計為例，在學生最近發(fā)現(xiàn)區(qū)內巧設引例，尋找知識的生長點，以舊換新，引導學生步步逼近下一個發(fā)展區(qū).

[關鍵詞] 最近發(fā)展區(qū);生長點;數(shù)列

最近發(fā)展區(qū)理論是由蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的教育發(fā)展觀.他認為學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，在最近發(fā)展區(qū)內為學生提供遞進式探索性問題，通過問題的逐一解決，開發(fā)學生的潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平，在此基礎上再進行下一發(fā)展區(qū)發(fā)展.筆者以高中數(shù)列的“概念—表示—通項”的教學整體設計為例，從“扎根區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”，再到“新區(qū)”，再到“特區(qū)”，設計連鎖性探索問題，指導學生把握問題的關鍵點，發(fā)現(xiàn)知識的生長點，獲得問題的解決點.

教學設計

1. “扎根區(qū)”——以函數(shù)作為數(shù)列的最初生長點

復習函數(shù)：（1）定義：非空數(shù)集A中任意一個數(shù)，在非空數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)與之對應，這種對應關系叫作函數(shù).

（2）舉例：

函數(shù)1：f（x）=2x-1，集合A為實數(shù)集R，集合B也為實數(shù)集R.

函數(shù)2：

函數(shù)3：f（x）=-2x，集合A為實數(shù)集R，集合B也為實數(shù)集R.

函數(shù)4：

函數(shù)5：f（x）=2x，集合A為實數(shù)集R，集合B也為實數(shù)集R.

函數(shù)6：

函數(shù)7：

函數(shù)8：某地新型冠狀病毒肺炎患者每天治愈的人數(shù).

函數(shù)9：

設計意圖：從函數(shù)的角度自然過渡到數(shù)列的概念，這幾個例子將作為后續(xù)研究的常用引例（新知識的生長點）. 著名的數(shù)學教育學家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”這幾個引例，就好比蘑菇叢的中心位置.

2. “最近發(fā)展區(qū)”——以問題鏈作為數(shù)列概念的生長點

問題1：函數(shù)1、函數(shù)3、函數(shù)5和函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9的表達有什么區(qū)別？

回答：函數(shù)1、函數(shù)3、函數(shù)5是用解析法表達的，函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9是用列表法表達的.

問題2：將函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9歸為一類，你能說明這一類函數(shù)的共同特征嗎？

回答：這一類函數(shù)可以看作是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù).

問題3：你能統(tǒng)一定義這一類函數(shù)嗎？

回答：由于函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9都定義在正整數(shù)集或其有限子集上，故我們將自變量用小寫字母n表示，那么每個n都對應著一個數(shù)an. 我們將這些數(shù)按順序排列起來，如函數(shù)2中的函數(shù)值排列出來是1，3，5，7，9，11;函數(shù)4中的函數(shù)值排列出來是-2，-4，-6，-8，….

我們把這樣的函數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列是一種特殊的函數(shù). 簡單地說，數(shù)列就是按照一定的順序排列的一列數(shù). 數(shù)列的一般形式可以寫成a ，a ，a ，…，a ，…，數(shù)列中每個數(shù)都叫作這個數(shù)列的項，a 叫作這個數(shù)列的首項，a 是這個數(shù)列的第n項.

Ⅰ級最近發(fā)展區(qū)：“萌芽生長區(qū)”——以上面函數(shù)引例中的數(shù)列作為數(shù)列表示法研究的生長點.

問題4：數(shù)列的表示有哪些方式？

（1）列舉法：

{a }：1，3，5，7，9，11.

{b }：-2，-4，-6，-8，-10，-12，….

{c }：2，4，8，16，32，….

{d }：1，-1，1，-1，1，….

{e }：13，16，28，30，45，52.

{f }：3，3，3，3，3，3，….

設計意圖：上例中含有數(shù)列分類和等差、等比的所有類型，為后續(xù)學習悄悄埋下伏筆.

（2）圖像法：在平面直角坐標系中描出（n，a ）這些孤立的點.

（3）通項公式法：如果數(shù)列{a }的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式.

數(shù)列{a }的通項公式：a =2n-1（n=1，2，3，4，5，6）.

數(shù)列{b }的通項公式：b =-2n（n∈N*）.

數(shù)列{c }的通項公式：c =2n（n∈N*）.

數(shù)列{d }的通項公式：d =（-1）n-1或d =（-1）n+1（n∈N*）.

數(shù)列{e }無通項公式.

數(shù)列{f }的通項公式：f =3（n∈N*）.

（4）遞推公式法：給出數(shù)列的某一項及某兩項之間的關系式來表示.如數(shù)列{a }：a =1，a =a +2是一個遞推公式;數(shù)列{b }：b =-2，b =2b 是一個遞推公式;除數(shù)列{e }外，都有遞推公式.

設計意圖：完成數(shù)列表示方法的系列探索，并為求數(shù)列通項公式和遞推公式的后期研究創(chuàng)造生長點.

Ⅱ級最近發(fā)展區(qū)：“自然生長區(qū)”——以上面所表示出的數(shù)列作為數(shù)列分類研究的生長點.

問題5：數(shù)列可以怎么分類？請同學們觀察問題4中“列舉法”所展示的幾個數(shù)列，分別研究以下兩個小問題：

（1）這些數(shù)列各有幾項？

（2）這些數(shù)列增減性如何？

設計意圖：問題（1）引導學生按照數(shù)列的項數(shù)將數(shù)列分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列. 問題（2）引導學生按照項與項之間的大小關系將數(shù)列分為遞增數(shù)列（{a }和{c }）、遞減數(shù)列（{b }）、擺動數(shù)列（{d }和{e }）以及常數(shù)數(shù)列（{f }）.

Ⅲ級最近發(fā)展區(qū)：“繁衍生長區(qū)”——以數(shù)列{a }，{b }，{c }，{d }和{f }作為等差數(shù)列、等比數(shù)列的生長點.

問題6：請同學們分別觀察數(shù)列{a }，{b }和{f }從第二項起的各項與前一項之間的關系.

設計意圖：引導學生獲得等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等差數(shù)列.這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

問題7：請同學們分別觀察數(shù)列{c }，{d }和{f }從第二項起的各項與前一項之間的關系. 能否類比問題6的方式總結這類數(shù)列的特征？

設計意圖：引導學生獲得等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列.這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）.

3. “新區(qū)”——以等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念作為等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式研究的生長點

問題8：等差數(shù)列{a }的首項是a ，公差是d，你能用a 和d寫出{a }的通項公式嗎？

回答：a -a =d，a -a =d，…，a -a =d，…. 所以a =a +d，a =a +d=（a +d）+d=a +2d，a =a +d=（a +2d）+d=a +3d，…，a =a +（n-1）d. 所以等差數(shù)列的通項公式為a =a +（n-1）d.

設計意圖：取一般情況下的等差數(shù)列為例，以等差數(shù)列的概念為最近生長點，用定義推導出通項公式.

問題9：等比數(shù)列{a }的首項是a ，公比是q，你能用a 和q寫出{a }的通項公式嗎？

回答：類比等差數(shù)列通項公式的推導方法，可以推出等比數(shù)列的通項公式a =a qn-1.

設計意圖：以等比數(shù)列的概念為最近生長點，模仿、類比等差數(shù)列通項公式的“生長”方式進行研究.

4. 特區(qū)：“新舊聯(lián)系區(qū)”——建立等差數(shù)列、等比數(shù)列的函數(shù)思想

問題10：等差數(shù)列和等比數(shù)列分別是什么函數(shù)？

回答：等差數(shù)列的通項公式a =dn+（a -d）是關于n的一次函數(shù)，公差d是一次項系數(shù)，a -d是常數(shù)項. 等比數(shù)列的通項公式a =a qn-1是關于n的指數(shù)型函數(shù).

設計意圖：首尾呼應，建立起數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，揭示數(shù)列的本質.

教學思考

整個教學設計以“函數(shù)”為主線，從一般函數(shù)到特殊函數(shù)（數(shù)列）的自然過渡與探究，始終圍繞學生的最近發(fā)展區(qū)，當學生達到上一水平（掌握函數(shù)）并及時“喚醒”后，在上一水平中找到生長點（特殊函數(shù)的研究），促進學生走入最近發(fā)展區(qū)（對這一類函數(shù)的歸類、抽象提煉），并以問題鏈的形式引導學生步步逼近下一發(fā)展區(qū)（特殊數(shù)列的進一步研究并回歸函數(shù)的本質）. 如果再往下一發(fā)展區(qū)走，將會步入等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和的研究. 而為什么要研究前n項和？它的最近發(fā)展區(qū)在哪里？如何找到生長點？這將是數(shù)列的下一個教學重點.問題是數(shù)學的心臟，它總是一個個地產(chǎn)生、一次次地帶領我們向前一步，再向前一步.

教師在設計教學之前，必須清楚了解學生的原有認知結構，在原有認知結構中找到認知沖突或認知缺口，致使原有認知結構失衡，再以問題的形式引導學生步入最近發(fā)展區(qū)，在最近發(fā)展區(qū)內解決認知沖突或彌補認知缺口，使認知結構恢復平衡狀態(tài)，從而進入下一發(fā)展區(qū)進行發(fā)展.我們的教學就是在這樣一個循環(huán)往復的過程中進行的，教師需要常伴學生左右，動態(tài)了解學生的認知，不斷促進學生的元認知，從而突破一個又一個發(fā)展區(qū)，幫助學生在完善基礎知識、獲得基本技能、體驗基本活動的同時提升思維水平，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)，從而提高在最近發(fā)展區(qū)內自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.