高羽

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，并且將其劃分為了六個要素. 數(shù)學(xué)建模是其中一個較為核心的要素，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，自然也就成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地?zé)o法回避的一個問題. 數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗銜接在一起，運用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)工具是兩者相通的地方. 正是這個相通的地方，使得數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模之間存在著密切的聯(lián)系. 通過數(shù)學(xué)實驗來演繹數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的得出過程，往往也就與數(shù)學(xué)建模銜接在一起，于是數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模就呈現(xiàn)出了一個良好的融合樣態(tài)，從而就能夠為包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育提供非常有益的思考.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)實驗

縱觀高中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展歷程，可以發(fā)現(xiàn)其中的挑戰(zhàn)是很多的，而數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展也正是在不斷地面對挑戰(zhàn)的過程中發(fā)生的. 今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著核心素養(yǎng)培育這樣一個重要的主題，如何讓核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中有效落地？對于這個問題的回答，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，并且將其劃分為了六個要素. 在這六個要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模在筆者看來是其中一個較為核心的要素，因為它的綜合性非常強，會涉及其他五個要素中的若干個，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，自然也就成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地?zé)o法回避的一個問題. 對于這個問題的解決，筆者的觀點是要尋找到有效的教學(xué)途徑，而這里所說的有效，顯然是針對學(xué)生而言的，只有學(xué)生學(xué)習(xí)過程有效，才能保證數(shù)學(xué)建模路徑有效. 應(yīng)當(dāng)說在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的教與學(xué)生的學(xué)進(jìn)行得都不是很輕松，有一位教師打了一個比方：現(xiàn)在很普遍的一種教育方式，是將學(xué)生當(dāng)作“終端”，老師不斷通過“鍵盤”向這個“終端”輸入知識，也不管它的“內(nèi)存”是否無窮大. 學(xué)生遇到一個問題就開始“掃描”，如果正好掃描到這個問題的答案，馬上就將答案輸出. 這里所說的是教學(xué)方式的影響，同時也是對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的一個真實描述，要改變這一現(xiàn)狀，關(guān)鍵就在于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，于是數(shù)學(xué)實驗就成了筆者思考的一個重要內(nèi)容.

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗是存在著密切關(guān)系的，理解這個關(guān)系，并積極運用與實踐，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗的理論關(guān)系

從理論的角度來看，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗的關(guān)系，首先需要對兩者分解開來理解. 所謂數(shù)學(xué)建模，就是將現(xiàn)實問題經(jīng)過量的抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程. 毫無疑問，數(shù)學(xué)建模的核心步驟是建模，數(shù)學(xué)模型的求解隸屬于數(shù)學(xué)而非數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模的核心工具是數(shù)學(xué). 這樣的判斷當(dāng)中，有一個重要的觀點就是：只有運用數(shù)學(xué)這一核心工具去進(jìn)行建模，才是數(shù)學(xué)建模.

那什么又是數(shù)學(xué)實驗?zāi)?？傳統(tǒng)認(rèn)為數(shù)學(xué)實驗就是以計算機(jī)為實驗工具，運用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行實驗的過程;今天的數(shù)學(xué)實驗，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)事業(yè)下的數(shù)學(xué)實驗，已經(jīng)不局限于計算機(jī)工具的使用，更多的是運用具有數(shù)學(xué)特征（表現(xiàn)為形或數(shù)）的器材進(jìn)行實驗的過程. 數(shù)學(xué)實驗的直接目的是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗，并讓學(xué)生在數(shù)學(xué)體驗的過程當(dāng)中積極思維.

綜合以上兩個判斷可以看出，“數(shù)學(xué)”將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗銜接在一起，運用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)工具是兩者相通的地方. 正是這個相通的地方，使得數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模之間存在著密切的聯(lián)系. 具體闡述如下：

數(shù)學(xué)建模的兩端是現(xiàn)實問題和數(shù)學(xué)問題，基于現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象等，使其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題;數(shù)學(xué)問題的解決需要選擇數(shù)學(xué)模型，在這個過程中需要數(shù)學(xué)建模工具，主要依賴于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維（計算機(jī)運用可以輔助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維）. 在學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程中，教師需要注意給學(xué)生設(shè)計一個簡約而不簡單的情境，筆者以為數(shù)學(xué)實驗就是這樣的情境. 高中數(shù)學(xué)實驗主要強調(diào)學(xué)生的體驗（不需要學(xué)生撰寫實驗報告），體驗的過程當(dāng)中，學(xué)生需要操作與思考——運用數(shù)學(xué)思維，這樣的實驗過程中，包含在實物操作過程中的數(shù)學(xué)元素齊全，學(xué)生有較大的數(shù)學(xué)建?？臻g，數(shù)學(xué)實驗就可以成為數(shù)學(xué)建模的重要載體.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗的實踐案例

上面已經(jīng)提及，數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)實驗，就是從給定的實際問題出發(fā)，借助計算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件，讓學(xué)生在數(shù)字化的實驗中去學(xué)習(xí)和探索，并通過自己設(shè)計和動手，去體驗問題解決的教學(xué)活動過程. 而且特別強調(diào)，教學(xué)視野下的數(shù)學(xué)實驗可以更多地依賴于實物，這樣學(xué)生的操作有載體，思維有所依，數(shù)學(xué)建模的過程就可以在這個過程中展開.

例如，在“直線的方程”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者注意到學(xué)生已經(jīng)具有了在直角坐標(biāo)系中確定一條直線的幾何要素這些知識基礎(chǔ)，而此前學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也知道“兩點可以確定一條直線”，那么在學(xué)習(xí)直線的方程的時候，基于數(shù)學(xué)知識演繹的邏輯，一般來講沒有太大的問題. 但是要注意的是，直線的方程本身是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，用方程去描述直線，對學(xué)生來說是一個相對較為新鮮的事物. 學(xué)習(xí)中學(xué)生雖然已經(jīng)有了初步接觸，但是在一個平面直角坐標(biāo)系中，明確用方程來描述直線卻不多見. 因此教師在此處的教學(xué)定位，應(yīng)當(dāng)是把直線的方程式做一個數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在模型建立的過程中，一方面感悟直線的方程的數(shù)學(xué)意味，另一方面領(lǐng)略直線的方程的模型意味. 具體教學(xué)設(shè)計可以分成這樣兩步：

第一步，設(shè)計問題情境. 例如，讓學(xué)生觀察平面直角坐標(biāo)系中的點，坐標(biāo)為（x ，y ）;給出直線的斜率是k，然后讓學(xué)生根據(jù)斜率公式尋找等量關(guān)系. 在這個過程中，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識，一般都可以通過另設(shè)一點，坐標(biāo)為（x，y），然后基于斜率公式得出k= ，即y-y =k（x-x ）.

第二步，設(shè)計數(shù)學(xué)實驗. 根據(jù)筆者的實踐，以及在實踐過程中積累出來的經(jīng)驗，在上述過程中，雖然學(xué)生能夠理解邏輯，接受結(jié)果，但是這個時候直線的點斜式方程在學(xué)生的大腦當(dāng)中是非常抽象的，如果不能讓學(xué)生有形象化的理解，那么相當(dāng)一部分學(xué)生就會在這個知識的學(xué)習(xí)中形成隱患，從而不利于后面知識的學(xué)習(xí). 那么設(shè)計一個什么樣的數(shù)學(xué)實驗可以深化學(xué)生對點斜式方程的形象理解呢？筆者的做法是：將“點”與“斜率”形象化，一個簡單的做法就是用筆表示一根直線，并思考兩種情形，一種情形是筆的一端不動，代表著經(jīng)過一個固定的點，然后改變傾斜程度，表示斜率不同;另一種情形是筆的傾斜程度不變，然后上下左右平移，表示斜率不變，而經(jīng)過的點發(fā)生了改變. 這樣學(xué)生大腦當(dāng)中就有了比較形象的“點”“斜”認(rèn)識. 在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生思考：要描述上述變化，點斜式方程有什么樣的好處？

這樣學(xué)生在問題的思考當(dāng)中，既有了實際的動手操作，又有了充分的動腦思考，數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模也就結(jié)合在了一起，前者成為后者的途徑，后者成為前者的結(jié)果，兩者之間相互促進(jìn)，相得益彰.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)分析

將數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模聯(lián)系在一起，其實并不是筆者的創(chuàng)舉，從理論與實踐結(jié)合的角度來看，數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系，理論研究早就走在了前面. 比如就有研究者明確指出：數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)建模的思想與方法，正是對學(xué)生啟迪心智、培養(yǎng)能力和提高素質(zhì)的有效結(jié)合點. 通過嚴(yán)格的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理現(xiàn)實世界復(fù)雜問題的應(yīng)變能力和創(chuàng)造能力;養(yǎng)成學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)踏實、精益求精的工作作風(fēng);塑造學(xué)生頑強拼搏、勇攀高峰的思想品質(zhì);培養(yǎng)學(xué)生合作共事、團(tuán)結(jié)協(xié)作的協(xié)調(diào)能力. 作為高中數(shù)學(xué)一線教師，筆者的努力更多地集中在將所學(xué)的理論知識運用到教學(xué)實踐當(dāng)中，然后尋找理論與實踐的最理想的結(jié)合點.

就數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模而言，兩者的結(jié)合點顯然在于數(shù)學(xué)思維. 在數(shù)學(xué)實驗的過程中，學(xué)生要通過數(shù)學(xué)思維去設(shè)計實驗、進(jìn)行操作;在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生要通過數(shù)學(xué)思維完成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等，以使得建立的模型更加科學(xué)，更加具有實效性. 在實際教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)更多地研究哪些數(shù)學(xué)模型可以通過數(shù)學(xué)實驗來建立，而且教師應(yīng)當(dāng)寬泛地理解數(shù)學(xué)模型，要認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)規(guī)律得出的過程中，都具有數(shù)學(xué)建模的思想. 因此通過數(shù)學(xué)實驗來演繹這些數(shù)學(xué)知識或者規(guī)律的得出過程，往往也就與數(shù)學(xué)建模銜接在了一起，于是數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模就呈現(xiàn)出了一個良好的融合樣態(tài)，從而就能夠為包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，提供非常有益的思考空間.

以上見解來自筆者的實踐與思考，由于這個領(lǐng)域的實踐研究相對比較薄弱，所以筆者的探究難免存在一些缺失，還望同行批評指正.