張琪 虞秀云

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念反映了現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容. 文章基于深度學(xué)習(xí)理論，以向量概念的教學(xué)為例，探索如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;深度學(xué)習(xí);平面向量;教學(xué)設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)中，有很多關(guān)鍵性的概念，如集合、函數(shù)、向量、復(fù)數(shù)等，它們是存在于人類思維中的抽象物，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)學(xué)生高階思維的重要載體. 但在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，機(jī)械的、死記硬背的概念學(xué)習(xí)帶來的只是碎片化、孤立的淺層知識(shí). 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[1]. 在這一背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)有必要從淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變. 本文就深度學(xué)習(xí)如何落實(shí)到向量概念教學(xué)中進(jìn)行了初步探索.

數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了學(xué)科的骨架，高度凝練出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，這決定了數(shù)學(xué)概念需要學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí). 正如黎加厚教授指出：深度學(xué)習(xí)意味著理解與批判、聯(lián)系與構(gòu)建、遷移與應(yīng)用[2]. 筆者認(rèn)為，指向數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)也有以下特征：（1）批判性地理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，體驗(yàn)概念形成過程;（2）關(guān)注概念間的相互聯(lián)系，建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系;（3）面向問題解決，實(shí)現(xiàn)遷移應(yīng)用.

“平面向量的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

“從位移、速度、力到向量”選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（北京師范大學(xué)出版社，2004）第二章第1節(jié).

1. 內(nèi)容解析，解讀教材本質(zhì)

向量的概念是平面向量這一章的起始課，更是研究向量的出發(fā)點(diǎn). 作為高中數(shù)學(xué)重要概念之一，向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景，兼有“數(shù)”“形”的雙重屬性，為學(xué)生開拓了研究數(shù)學(xué)問題的新思路. 但是，作為數(shù)學(xué)思維的對(duì)象，向量“脫離”了現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生往往對(duì)向量的性質(zhì)、零向量、自由向量等人為規(guī)定感到困惑. 因此，教學(xué)設(shè)計(jì)將圍繞“向量是什么”“向量是如何抽象得到的”“類比數(shù)的學(xué)習(xí)思路，我們?nèi)绾窝芯肯蛄俊边@三個(gè)問題，幫助學(xué)生深入理解概念的本質(zhì)屬性.

2. 學(xué)情分析，關(guān)注知識(shí)起點(diǎn)

學(xué)生不是空著腦袋進(jìn)入課堂的，讓原有知識(shí)結(jié)構(gòu)成為新知的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，教學(xué)可以事半功倍. 對(duì)于向量概念的學(xué)習(xí)，可以類比數(shù)的抽象、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等學(xué)習(xí)內(nèi)容，體會(huì)概念學(xué)習(xí)的基本思路，有序展開平面向量的學(xué)習(xí). 對(duì)于本節(jié)內(nèi)容，學(xué)生新舊知識(shí)的聯(lián)系如圖1所示.

3. 教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境，親歷抽象過程.

視頻播放：射擊運(yùn)動(dòng)員射擊比賽（如圖2）.

問題1：射擊運(yùn)動(dòng)員射中靶子的過程中涉及了物理中的哪些量？

問題2：力和位移是物理中的量，它們有什么特點(diǎn)？生活中還有這樣的量嗎？

問題3：這些量和我們數(shù)學(xué)中的數(shù)量有什么區(qū)別？

預(yù)設(shè)活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)力、位移的分析中，歸納出它們的共同特征——方向與大小，并對(duì)比數(shù)量，突出向量的特征，從而自然地引出向量的定義：在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小又有方向的量叫作向量.

設(shè)計(jì)意圖：借助豐富的物理背景，親身經(jīng)歷從“大小”和“方向”兩個(gè)要素抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，揭開數(shù)學(xué)概念神秘的面紗，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念來源于真實(shí)的生活，從而激發(fā)深度學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī).

問題4：既然物理中已經(jīng)有了矢量，有大小又有方向，為什么今天在數(shù)學(xué)課上，我們還要給它一個(gè)新名字“向量”呢？它們有什么區(qū)別？

預(yù)設(shè)活動(dòng)：通過積極思考，交流討論，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到：向量雖然來源于對(duì)力、位移等矢量的抽象，但是不同于物理中的重力、浮力有作用點(diǎn)，可以感受到，向量是存在思維中的數(shù)學(xué)模型，二者有著本質(zhì)的區(qū)別.

追問：數(shù)量可以比較大小，向量也有“大小”屬性，是不是也可以比較大?。?/p>

預(yù)設(shè)回答：不可以，向量有大小又有方向，作為一個(gè)整體的向量不可以比較大小.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)矢量、數(shù)量、向量三者的類比辨析，可以引發(fā)學(xué)生的批判性思考，避免概念學(xué)習(xí)的表面化，深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科的高度抽象性，在數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別中加深理解.

（2）類比探究，深入概念本質(zhì)

①向量的表示

問題1：剛剛我們對(duì)比了數(shù)量和向量的區(qū)別，現(xiàn)在不妨回憶一下數(shù)的學(xué)習(xí)，通過一支筆、一棵樹……我們抽象出了數(shù)，緊接著呢？

預(yù)設(shè)回答：學(xué)習(xí)了阿拉伯?dāng)?shù)字.

追問：也就是數(shù)的表示，除了阿拉伯?dāng)?shù)字，還可以怎么表示數(shù)？

預(yù)設(shè)回答：還有字母符號(hào)表示數(shù)或者用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù).

問題2：同樣地，在對(duì)向量下定義之后，我們要研究什么問題？

預(yù)設(shè)回答：向量的表示.

追問：請(qǐng)同學(xué)們類比數(shù)的圖形與符號(hào)表示法，想一想怎么表示出向量的“大小”和“方向”？

預(yù)設(shè)活動(dòng)：在學(xué)生動(dòng)手嘗試后，引導(dǎo)學(xué)生不斷完善得出：用帶有箭頭的有向線段表示向量的幾何法;接著回到書本，介紹向量的符號(hào)表示法;最后介紹向量的?！梅?hào)表示向量的大小.

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧數(shù)的認(rèn)識(shí)中，從抽象到表示的學(xué)習(xí)順序，自然地引出探究問題——向量的表示，化被動(dòng)灌輸為主動(dòng)探究，并類比數(shù)的圖形、符號(hào)的表示，使得向量的數(shù)與形的表示自然而然地為學(xué)生所接受.

②零向量與單位向量

問題1：（1）在數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了0和1這兩個(gè)特殊的數(shù)，它們有哪些含義？舉例說明.

（2）同學(xué)們猜想一下，有特殊的向量嗎？是什么？

（3）零向量既然是向量，除了大小，還應(yīng)該有方向，它的方向應(yīng)該朝向哪里？為什么？

預(yù)設(shè)活動(dòng)：師生交流討論，先回顧0和1的含義：0可以表示沒有或者正負(fù)的分界線;1可以指數(shù)量“1”，還可以表示單位“1”. 通過類比，認(rèn)識(shí)到引入零向量和單位向量的合理性與必要性. 接著認(rèn)識(shí)二者的特點(diǎn)，對(duì)于零向量的方向，可以將其想象為地圖上的一個(gè)人，那么這個(gè)靜止的人可以朝任何方向移動(dòng)，經(jīng)過辨析，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)定零向量的方向是任意的最為合適.

設(shè)計(jì)意圖：深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生真正地理解并接受數(shù)學(xué)概念，對(duì)于零向量的方向，學(xué)生往往感到困惑，教師可以創(chuàng)造性地利用生活情境，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)規(guī)定，感受數(shù)學(xué)來源于生活，但又高于生活.

③相等向量、平行向量與共線向量

問題1：數(shù)量之間有相等和不等關(guān)系，向量之間也有著特殊的關(guān)系. 仔細(xì)觀察下面的正六邊形（圖3），試著給線段加上箭頭表示向量，并判斷它們的關(guān)系，舉例說明.

預(yù)設(shè)活動(dòng)：在給予充分的思考、交流時(shí)間后，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)圖中的相等向量、平行向量與共線向量，獲得對(duì)向量關(guān)系的初步認(rèn)識(shí).

追問：為什么 ， ， ， 這四個(gè)起點(diǎn)不同的向量是相等向量？

生：通過平移，它們可以重合在一起，說明大小和方向都相等.

師：很好，這說明向量與起始位置無關(guān)，回到定義我們也可以發(fā)現(xiàn)，向量?jī)H由“大小”和“方向”確定，因此向量是“自由的”. 此外，在后面的學(xué)習(xí)中，如果我們繼續(xù)考慮起點(diǎn)問題，向量的研究將會(huì)處處受限.

追問：既然向量是自由的，那么借助平移，將平行的向量平移到一條直線上，是什么？這說明什么？

預(yù)設(shè)回答：共線向量，這說明平面向量可以“自由”平移，因此平行向量和共線向量沒有區(qū)別，只是稱呼不同.

師生總結(jié)：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等向量;兩個(gè)向量所在的直線平行或重合，叫作平行或共線向量.

設(shè)計(jì)意圖：在平面幾何中，平行與共線是兩種情況，而對(duì)于向量卻是一樣的. 因此，“為什么向量是自由的？”是理解向量平行與共線的關(guān)鍵. 教學(xué)中不能回避這個(gè)問題，回到定義，調(diào)動(dòng)學(xué)生的高階思維，認(rèn)識(shí)到只有抓住數(shù)學(xué)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性，拋開非本質(zhì)因素，才能避免干擾，順利展開數(shù)學(xué)研究.

（3）深化概念，助力問題解決

例1：判斷下列命題的正誤：

（1）若兩個(gè)向量相等，那么它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相同;

（2）若a=b，則a=b;

（3）若a>b，則a>b;

（3）若m=n，n=k，則m=k.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生理解概念的易錯(cuò)點(diǎn)出發(fā)，鞏固概念.

例2：將平面上所有單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是什么？

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手畫圖，大膽猜想，發(fā)散思維，感受單位向量與單位圓之間的有趣聯(lián)系.

例3：已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量 ， ， ， 滿足等式 + = + ，則四邊形ABCD是什么？

設(shè)計(jì)意圖：深度學(xué)習(xí)面向問題解決，利用向量知識(shí)解決簡(jiǎn)單幾何問題，初步感受向量的工具性作用——連接數(shù)與形的橋梁.

（4）信息整合，建構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)

師：回顧本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了向量的哪些知識(shí)？請(qǐng)?jiān)囍媹D歸納.

師生活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手畫圖，師生交流完善，建構(gòu)向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（如圖4）.

設(shè)計(jì)意圖：深度學(xué)習(xí)反對(duì)零散的、孤立的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過梳理，建立向量概念的圖式結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生知識(shí)的記憶與提取.

（5）回顧整理，積累研究經(jīng)驗(yàn)

師：這堂課，我們經(jīng)歷了向量概念的抽象，并類比數(shù)的認(rèn)識(shí)，探索了向量的表示、特殊的向量和向量間的關(guān)系，同學(xué)們猜一猜，下節(jié)課，我們應(yīng)該研究向量的什么？

預(yù)設(shè)回答：向量的運(yùn)算和應(yīng)用.

追問：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了很多數(shù)學(xué)概念，也正在學(xué)習(xí)平面向量這一重要概念，在今后還將繼續(xù)學(xué)習(xí)其他的數(shù)學(xué)概念，那么回顧我們的學(xué)習(xí)，能否總結(jié)出數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本套路？

師生總結(jié)：抽象—下定義—數(shù)學(xué)表示—分析屬性—運(yùn)算—應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)沒有終點(diǎn)，通過開放性的思考問題，歸納總結(jié)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本套路，能在相似的情境中靈活地運(yùn)用，這正是深度學(xué)習(xí)所強(qiáng)調(diào)的.

教學(xué)啟示

1. 親歷概念的形成，獲得概念學(xué)習(xí)的深度體驗(yàn)

深度體驗(yàn)是深度學(xué)習(xí)得以展開的基礎(chǔ). 在本例中，通過聯(lián)系物理背景，創(chuàng)造性地展開類比、歸納、概括、抽象等思維活動(dòng)，將學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷引向深處，形成平面向量的概念. 一方面，在切身的體驗(yàn)與探索中，學(xué)生可以感受數(shù)學(xué)概念不同于其他學(xué)科的抽象性[3]，從而認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)抽象”的魅力;另一方面，只有讓學(xué)生在生動(dòng)活潑的思考、討論中，體驗(yàn)概念的產(chǎn)生過程，對(duì)數(shù)學(xué)概念有了自己的認(rèn)識(shí)，才有可能產(chǎn)生深度的學(xué)習(xí).

2. 新舊聯(lián)系與整合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的深度加工

新舊知識(shí)的聯(lián)系與整合，是深度加工數(shù)學(xué)概念的有效手段. 與之相反，淺層學(xué)習(xí)下零散、孤立的知識(shí)體系，難以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的長(zhǎng)期保持. 在本例中，面對(duì)平面向量這一概念，首要的任務(wù)是激活學(xué)生頭腦中的已有的概念學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和相似概念——矢量與數(shù)量，在新舊的有意義聯(lián)系中，通過正向遷移與類比，建構(gòu)新概念. 其次，基于習(xí)得的概念，鼓勵(lì)學(xué)生畫出概念圖，理清知識(shí)脈絡(luò)，實(shí)現(xiàn)思維可視化表征. 最后，暢想下一步要做什么——向量的運(yùn)算與應(yīng)用. 從整體上把握數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般過程，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)得到擴(kuò)展，從而擺脫頭腦中碎片化的粗糙結(jié)構(gòu).

3. 把握本質(zhì)與思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的突破口，概念教學(xué)不應(yīng)該僅停留在表面的淺嘗輒止，而要基于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與思想特征，指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維的深刻性發(fā)展. 本例中，對(duì)于平面向量的教學(xué)，掌握向量的大小、方向，特殊的向量等知識(shí)固然重要，但更應(yīng)該讓學(xué)生理解這些概念規(guī)定引進(jìn)的必要性以及合理性，通過“向量和矢量的區(qū)別”“為什么向量是自由的”“數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般方法”等問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)和思想方法的思考與總結(jié)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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