戴厚祥 朱濤

【摘 要】空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，幾何直觀在數(shù)據(jù)的支撐下并不是虛無的，而是具體的。但實際教學(xué)中的種種誤區(qū)使得真正的幾何直觀素養(yǎng)沒有發(fā)展。本文利用項目化學(xué)習(xí)，同時基于信息化思維方式，解開小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對幾何直觀的誤解，突破幾何直觀學(xué)習(xí)中的重難點，全面有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與信息化思維能力。

【關(guān)鍵詞】項目化學(xué)習(xí);信息化思維;幾何直觀;教學(xué)策略

【中圖分類號】G434 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【論文編號】1671-7384（2021）04-069-05

現(xiàn)象掃描：幾何直觀教學(xué)中的思維誤區(qū)

生活中處處體現(xiàn)著幾何直觀的價值。當(dāng)人們在打開“滴滴出行”自動設(shè)置最短路線時，這是幾何直觀;當(dāng)你想給書房里添置書柜時，打開蘋果手機(jī)里的“測距儀”，測量書柜的長、寬、高，繪制立柜圖時，這也是幾何直觀;當(dāng)茫茫大海中，失事的船員只需要發(fā)射坐標(biāo)，海員利用GPS確定位置實施營救時，這同樣也是幾何直觀。幾何直觀不但可以把復(fù)雜的社會問題變得簡明、形象，為解決問題提供思路，還能準(zhǔn)確直觀地描述事物或者現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。可實情恰恰相反，很多時候，學(xué)生即使已經(jīng)學(xué)過，也不理解，更不會用。筆者以為，主要源于幾何直觀教學(xué)中的幾大誤區(qū)。

1.幾何直觀價值認(rèn)知的片面化

日常教學(xué)中，教師將幾何直觀定位為“解題工具”。學(xué)生往往陷入畫示意圖、線段圖等解題泥淖中，而無法體會幾何直觀的真正價值。同時，在涉及幾何直觀的課堂教學(xué)中，幾何直觀不受重視甚至被忽略，沒有意識到幾何直觀更深遠(yuǎn)的價值。學(xué)會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)的基本能力，但是幾何直觀不能局限于為了解決某個具體的數(shù)學(xué)題服務(wù)，應(yīng)該著眼于理解數(shù)學(xué)。從對直觀的解讀中可知，隨著學(xué)生的學(xué)習(xí)深入，某些研究對象是“看不見，摸不著”的，極度抽象。例如，人類很難想象“四維空間”，但是借助對“一維、二維、三維空間”的思考，就能夠想象出“高維空間”的雛形，這才是幾何直觀真正價值的體現(xiàn)。

2.幾何直觀培養(yǎng)的單一化

筆者曾在某數(shù)學(xué)雜志上看到一篇相關(guān)論文，教師花費了大量篇幅介紹利用實物操作刺激感官的方式，借助豐富的實踐材料來幫助學(xué)生理解長方體與長方形之間的關(guān)系，卻沒有涉及任何需要學(xué)生測量的地方。顯然，大部分教師認(rèn)為幾何直觀素養(yǎng)指向“形象思維”，而與“形象思維”相對的就是“抽象思維”。因此，教師往往在教學(xué)中引入大量的實物，讓學(xué)生通過看、摸、拆、拼等操作感知，認(rèn)為這是認(rèn)識圖形的好方法。誠然，這是認(rèn)識圖形的一種方式，但是基于幾何直觀下的“形象思維”并不只是簡單地從抽象的概念到相應(yīng)的顯示模型，更應(yīng)是一種抽象思考之后的“重構(gòu)”。若能從長方形的長、寬和長方體的長、寬、高入手，更能體現(xiàn)幾何直觀本質(zhì)。

厘清信息化思維與幾何直觀學(xué)習(xí)的價值與聯(lián)系

1.幾何直觀的價值

（1）從定義看價值

從字義上有兩處理解：一是幾何，圖形是數(shù)學(xué)研究的基本的、主要的研究對象;二是直觀，直觀的理解首先是最淺層次的“看得見、摸得著”，再到“看得見、摸不著”，最后是“看不見、摸不著”但是“想得到”。

（2）從課標(biāo)看價值

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用[1]?！睅缀沃庇^與數(shù)學(xué)的內(nèi)容聯(lián)系緊密。許多數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，如度量、坐標(biāo)、函數(shù)圖像、解析幾何、極坐標(biāo)、向量等，既具“數(shù)的特性”，也有“形的特征”，顯然，只有從這兩個方面認(rèn)識它們，才能有更加清晰的認(rèn)識，更容易掌握它們的本質(zhì)意義。

2.信息化思維的價值

（1）從特點看價值

信息化思維并不是指學(xué)生會使用某一電腦軟件或掌握哪一門技術(shù)，而是指學(xué)生在解決問題中能夠想到用信息技術(shù)的手段去思考、去決策的能力或思維方式。軟件的知識是學(xué)不完的，如果眼光局限于知識性內(nèi)容的學(xué)習(xí)，結(jié)果也只能是只見樹木，不見森林。

又由于信息技術(shù)的非數(shù)學(xué)學(xué)科特點較多，我們這里研究的是與小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)性的特點。小學(xué)階段，學(xué)生處于“具體運算階段”，而計算機(jī)處理數(shù)據(jù)、圖像等信息更加準(zhǔn)確、快捷;此外，信息技術(shù)本身具有的就是信息性，體現(xiàn)在日常生活中人們對信息的收集與獲取、對信息的存儲與傳播等。因此，良好的信息技術(shù)能力能夠提高學(xué)生的社會適應(yīng)能力。

（2）從課標(biāo)看價值

《中小學(xué)信息技術(shù)課程指導(dǎo)綱要（試行）》中指出：“中小學(xué)信息課程的任務(wù)是：培養(yǎng)學(xué)生對信息技術(shù)的興趣和意識，讓學(xué)生了解或掌握信息技術(shù)基本知識和技能，使學(xué)生具有獲取信息、傳輸信息、處理信息、應(yīng)用信息技術(shù)手段的能力，形成良好的文化素養(yǎng)，為他們適應(yīng)信息社會的學(xué)習(xí)、工作和生活打下必要的基礎(chǔ)[2]?！庇纱丝磥?，學(xué)生掌握必要的信息技術(shù)也是時代發(fā)展的需要。

3.信息化思維與幾何直觀學(xué)習(xí)的聯(lián)系

（1）信息技術(shù)是探究幾何直觀良好的輔助性工具

信息技術(shù)經(jīng)常被用于解決某一“難以直觀化難題”的工具，是幾何直觀的重要操作手段，以“繪制平面圖”為例，學(xué)生手繪也可以，請問信息技術(shù)的優(yōu)勢在哪里？首先是精準(zhǔn)的尺寸標(biāo)注：能夠等比例標(biāo)注出實際的建筑大小，避免因人為繪圖帶來的誤差。準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)背后，滲透了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度——“以事實為依據(jù)”。信息技術(shù)能夠讓圖形“動”起來，再現(xiàn)“動”的過程和結(jié)果，如對稱、旋轉(zhuǎn)、翻折等，是培養(yǎng)幾何直觀的妙招。

（2）信息化思維是改變學(xué)習(xí)方式的關(guān)鍵

學(xué)生在操作計算機(jī)時，能夠化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。如學(xué)生想要實現(xiàn)某一效果，不知道該按哪個鍵？……教師可以啟發(fā)學(xué)生能夠避開這個操作嗎？而不是直接把結(jié)果告知學(xué)生。再如，學(xué)生在用計算機(jī)繪制校園花壇時，圖形過于復(fù)雜，教師也是應(yīng)建議學(xué)生換個角度思考，而不是直接出示結(jié)果圖。學(xué)生解決了圖形的問題，從而完成項目中的小目標(biāo)，不僅推動了項目的前進(jìn)，更能夠激發(fā)“我要學(xué)”的求知欲。

策略建構(gòu)

1.情境任務(wù)驅(qū)動幾何直觀化策略

（1）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)畫圖動機(jī)

基于信息化思維的幾何直觀，是一種理性、科學(xué)的思維模式。但我們并不會在教學(xué)過程中直接給予學(xué)生相應(yīng)的信息技術(shù)支持，要求大家據(jù)此繪圖。這看似直接切入，節(jié)省了時間，實則將學(xué)生和信息化思維割裂開來。小學(xué)生信息能力的發(fā)展前提是需要具體問題的支持。因此首要途徑應(yīng)該是創(chuàng)設(shè)具體情境，這不但能激發(fā)他們主動收集信息的積極性，還能告訴他們，為什么我們要用信息手段來解決問題，切實為學(xué)生提供了具體經(jīng)驗的支持。

在“繪制平面圖”一課中，筆者提供了如下情境：播放《哈利波特與混血王子》片段后，提問：“哈利通過什么發(fā)現(xiàn)了斯內(nèi)普教授的蹤跡？”哈利在斯內(nèi)普轉(zhuǎn)彎的前一秒用隱形斗篷躲了過去，說明這幅地圖怎么樣？（學(xué)生答繪制準(zhǔn)確，圖與現(xiàn)實沒有差別）如果讓你來主持繪制某一地點的平面圖，你會怎樣做來確保任務(wù)的成功？（學(xué)生答要保證這個平面圖和現(xiàn)實實際情況是一樣的，沒有差錯）

雖然學(xué)生沒有明確提出“信息”這個詞，但已經(jīng)意識到要解決情境中的問題，需要借助一個準(zhǔn)確的平面構(gòu)圖平臺，而準(zhǔn)確的平面圖需要信息技術(shù)的支持，學(xué)生所提到的“建筑的具體大小、測量的結(jié)果”其實就是數(shù)據(jù)?！熬唧w的資料”實際上就是“獲取信息”的需要。在筆者設(shè)立情境后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生接下來面對制作平面圖之前收集信息的熱情和專注度明顯有所提升。反之不創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生不會意識到信息獲取的作用。因此，即使課堂時間有限，我們也不能操之過急，只有讓學(xué)生產(chǎn)生“獲取信息”的需求，在接下來的環(huán)節(jié)中學(xué)生才能保持較高的積極性。

（2）真實任務(wù)，驅(qū)動幾何直觀的數(shù)據(jù)收集

在引入了情境之后，學(xué)生獲取的動機(jī)已經(jīng)調(diào)動起來。但這時候?qū)W生還不清楚具體的問題是什么？獲取信息是為誰服務(wù)的？為了達(dá)到這個目標(biāo)我們需要獲取什么信息？不同類型的信息獲取方式是否一樣？給出“真實任務(wù)”能夠幫助解決學(xué)生的困惑。

真實任務(wù)是延續(xù)之前情境而來的任務(wù)，和教師所創(chuàng)設(shè)情境有緊密關(guān)聯(lián)。以筆者在“繪制平面圖”一課中的嘗試為例，筆者先以“美麗校園”為背景創(chuàng)設(shè)情境后，以“繪制母校平面圖幫助施工”切入，讓學(xué)生明確“小組合作繪制將軍山小學(xué)平面圖”的任務(wù)。此時，學(xué)生會給出非常多的答案，如建筑物、俯視圖、道路名稱、比例尺的選擇、位置關(guān)系、繪圖工具、測量工具等。這里面有些信息收集起來容易，有些很困難;有些能夠通過互聯(lián)網(wǎng)獲取，有些不好獲取。但沒關(guān)系，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生盡可能全面地去思考、補(bǔ)充，全面客觀地收集信息是信息化思維的重要環(huán)節(jié)。

2.信息化思維指導(dǎo)幾何直觀思維參與的策略

有足夠全面客觀的信息為繪制平面圖提供了必要條件，可是如何分析處理大量信息？如何將有效信息應(yīng)用到平面圖繪制當(dāng)中？如果教師能引導(dǎo)學(xué)生用信息化思維進(jìn)行信息篩選和信息處理，它就能在學(xué)生對如何用信息化思維思考幾何直觀問題感到困難時提供腳手架，突破幾何直觀教學(xué)中的重點和難點。

（1）聯(lián)系實際，推進(jìn)學(xué)生利用信息化思維處理信息的能力

在繪制平面圖的過程中，是否所有收集到的信息都能用得上？答案是否定的。根據(jù)課標(biāo)對小學(xué)階段平面圖的要求，教參并沒有對平面圖的精確程度加以要求。對于小學(xué)生來說，完全還原對象是極為困難的。因此在真正用信息技術(shù)繪圖之前，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生思考并篩選出實際繪圖中的關(guān)鍵信息，這樣的信息可以是數(shù)據(jù)，也可以是圖形等，這種對信息的分析和篩選過程是信息化思維的重要環(huán)節(jié)，即信息處理能力。

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過思考、討論，對大量信息進(jìn)行了篩選，一部分學(xué)生將對任務(wù)沒有幫助的信息篩選清除，另一部分學(xué)生則將繪圖中無法實現(xiàn)的信息刪除。最后大家分析得到了比較統(tǒng)一的意見，得出本次平面圖中最關(guān)鍵且能夠?qū)崿F(xiàn)的信息。

（2）數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展復(fù)雜信息化思維處理信息的水平

當(dāng)學(xué)生篩選出了和繪圖有直接關(guān)聯(lián)的信息后，是否就可以開始繪圖了呢？顯然是不能的。學(xué)生所篩選的信息是作品對象的必要信息，而平面圖沒有必要還原其實際大小。所以，學(xué)生下一步要考慮的是如何對這些信息進(jìn)行處理，將其轉(zhuǎn)換成用以準(zhǔn)確還原平面圖的信息。這一步學(xué)生需要利用到已有的數(shù)學(xué)中的“比例”“比例尺”的知識，是六年級下冊第四單元的內(nèi)容。筆者仍以“繪制平面圖”為例。

師：如何準(zhǔn)確地將教學(xué)樓還原到我們的平面圖中去？需要先考慮什么因素？

生：要先確定平面圖的比例尺。

生：根據(jù)測量的數(shù)據(jù)，我們把比例尺定為1∶2000。

師：復(fù)習(xí)一下，1∶2000這個比例尺表示的含義是什么？

生：圖上距離1厘米，實際距離2000厘米，也就是20米。

師：計算一下，某同學(xué)測量學(xué)校一條邊的實際長約是120米，在平面圖上，應(yīng)畫幾厘米？結(jié)果寫在數(shù)學(xué)記錄本上，我給2分鐘時間。

學(xué)生計算。

生：把圖上距離看成х，列出比例方程，х：12000=1：2000，解得，х=6，那么應(yīng)該在圖上畫6厘米長的線段。

師：所以這位同學(xué)要畫的平面圖的大小是？

生：一條邊的長是6厘米。

師：如果想畫的大一點怎么辦？

生：可以以6厘米為“單位1”，分別乘想要擴(kuò)大的倍數(shù)就可以了。

可以看出，學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識可以很快地確定繪制平面圖的比例尺，圖1中所表示圖案的大小，為后面的幾何直觀思維打好數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)。學(xué)生有了“數(shù)”的基礎(chǔ)，接下來將面臨“形”的難題。從教師所給的將軍山小學(xué)平面圖中看，教學(xué)樓的形狀是不規(guī)則的，呈倒轉(zhuǎn)的字母“L”型。怎么處理這樣的問題呢？

師：在繪制圖形時大家遇到了什么困難？

生：教學(xué)樓從上面看是一個不規(guī)則的圖形，不好畫。

師：想想可以怎么解決？

生：轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形。

生：分割成一小塊一小塊，每一塊都是規(guī)則的就可以了。

師：請你上來分割一塊給大家看看。

圖1 ?學(xué)生用分割法對稍復(fù)雜圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化

師：像這樣，可以對圖形進(jìn)行適當(dāng)處理，把復(fù)雜的問題簡單化。請繼續(xù)對其他圖形進(jìn)行操作。

（3）圖示化表達(dá)，深化信息描述能力

數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識幾何直觀的重要數(shù)學(xué)方法，在信息處理的過程中得以發(fā)展。學(xué)生在完成對“數(shù)”與“形”的重點掌握后，即將面臨“數(shù)形結(jié)合”的難點，而這也是幾何直觀素養(yǎng)形成所必須要求的一步。

實際教學(xué)中，在進(jìn)行數(shù)據(jù)信息與圖像信息的圖示化表達(dá)時，學(xué)生會遇到困難。首先需要考慮的就是圖像的擺放位置。這里的位置在圖中無非就是每一個圖形之間的距離和其所占的位置。圖中包含了通過信息處理得到按比例縮小的建筑物大小與其余物體大小，且位置、形狀基本準(zhǔn)確。作為平面圖來說，這是科學(xué)的、合理的，有助于接下來在計算機(jī)上進(jìn)行繪圖。

（4）信息化操作，深化信息應(yīng)用能力

小組根據(jù)組內(nèi)信息技術(shù)水平、繪圖軟件使用情況選擇合適的信息工具，對手繪平面圖加以信息化處理，得到較為精確的平面圖，這個過程中教師并不給出繪圖軟件的選擇。并且在實際操作過程中，學(xué)生提出某些疑問后，老師不直接告訴其操作按鈕，而是啟發(fā)其利用其他手段代替，這樣做的好處是，鍛煉學(xué)生在利用信息軟件繪圖時養(yǎng)成獨立思考、獨立解決問題的能力。

圖2左邊圖是學(xué)生第一次電腦繪圖后的結(jié)果，這樣的結(jié)果顯然是不完整的，教師此時要引導(dǎo)學(xué)生加以完善。從平面圖的應(yīng)用意義倒逼學(xué)生反思自己的作品缺陷在哪里，提高優(yōu)化作品意識，發(fā)展信息應(yīng)用能力。

3.信息化思維與幾何直觀思維評價策略

信息化思維在參與平面圖設(shè)計與制作的過程中發(fā)展幾何直觀的思維。信息化思維不是“注重結(jié)果”“唯信息論”的思維，而是強(qiáng)調(diào)信息獲取、處理、應(yīng)用的全過程的思維，這也為我們的評價方式提供參考。教師對整個項目化學(xué)習(xí)的評價應(yīng)該是多維度的，從兩個學(xué)科加以評價，并且既要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注形成性評價。

（1）信息化評價量表

評價不應(yīng)帶有教師的個人導(dǎo)向，例如，若教師提議繪制的平面圖越精美，就額外加分，小組內(nèi)就會做出相應(yīng)調(diào)整。本節(jié)課的最初目標(biāo)是為了建設(shè)母校，所以能夠在平面圖中把綠化、道路等信息標(biāo)注出來，教師應(yīng)給予適當(dāng)加分?？紤]到六年級學(xué)生的操作水平有限，即使沒有準(zhǔn)確復(fù)制，也不用倒扣分，教師要兼顧不同層次學(xué)生的信息水平。

（2）項目化學(xué)習(xí)的形成性評價

筆者發(fā)現(xiàn)，把小組分工合作納入評價體系之前，課堂生態(tài)暴露出一些負(fù)面現(xiàn)象：人人爭當(dāng)組長無人愿意當(dāng)組員、組內(nèi)成員之間互相埋怨、分工不夠具體等。教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位，因?qū)嶋H教學(xué)中，如果學(xué)生的學(xué)習(xí)以小組為單位，那小組合作能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，因此小組分工合作的情況應(yīng)該納入評價中。這樣改變之后，小組合作明顯變得和諧、高效多了。

克萊因提出：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上”。幾何直觀在小學(xué)學(xué)習(xí)的各個階段都發(fā)揮著重要的作用，并對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響。而目前對于幾何直觀的研究還局限于數(shù)學(xué)學(xué)科，信息化思維在解決數(shù)形問題等方面深刻地影響著幾何直觀，是學(xué)生培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)的好途徑，不過往往需要通過項目化學(xué)習(xí)的方式，而這種學(xué)習(xí)方式比一般的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要耗時長，復(fù)雜性強(qiáng)，綜合要求高，那么是否還存在其他的整合方式呢？為此，筆者將繼續(xù)研究下去。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃辦“十三五”重點自籌課題“小學(xué)數(shù)學(xué)生態(tài)結(jié)構(gòu)化教學(xué)表現(xiàn)性評價的實踐研究”（課題編號：B-b/2020/02/75）階段性研究成果

參考文獻(xiàn)

中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]. 北京師范大學(xué)出版社，2011.

中華人民共和國教育部. 中小學(xué)信息課程指導(dǎo)綱要（試行）[S]. 北京師范大學(xué)出版社，2000.

作者單位：江蘇南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室 ? 江蘇南京市將軍山小學(xué)