況周煒，趙臨龍

(安康學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 安康 725000)

1 問題背景

射影幾何是研究二次曲線幾何性的重要方法，比如對二階曲線過其外一點作切線就可以通過極點與極線的關系來實現(xiàn)[1]。而對于二次曲線特殊的圓，歐氏幾何中也存在過其外一點作切線[2-4]，其作圖方法與射影幾何作圖法有所不同，兩者之間是否存在聯(lián)系值得討論。

2 二階曲線切線的射影幾何作圖

問題1：已知二階曲線Γ及不在Γ上的一點P，求作點P關于二階曲線Γ的切線。

作法：如圖1。

圖1

①過點P作過二階曲線Γ的兩條割線與二階曲線Γ分別交于點A、B、C、D。

②連接AD、BC交于點Q。

③連接AC、BD交于點I。

④作過Q、I的直線交二階曲線Γ于點H、G。

⑤連接PH、PG，則PH、PG就為二階曲線Γ的切線。

證明：∵ABCD為完全四點形，而且PQI為完全四點形ABCD的對邊三點形，∴(AB,PE)=-1,(CD,PF)=-1，∴E、F為二階曲線Γ的調(diào)和共軛點，所以HQ為點P的極線，即PH、PG為二階曲線Γ的切線。

3 圓的歐氏幾何作圖

問題2：已知圓與圓外任意一點P，作過點P關于圓的切線。

作法：如圖2。

圖2

①過點P作過圓的兩條割線與圓分別交于點A、B、C、D且割線PAB過圓心。

②連接AD、BC交于點I。

③連接AC、BD交于點R。

④作過R、I的直線交圓于點H、G。

⑤連接PG、PH，則PH、PG就是圓的切線。

證明：連接OP交HG于點E，連接OH、OG。

(1)

(2)

則(AO+OE)(PO-OB)=(OB-OE)(PO+OA)

∴(OH)2=(OG)2=OE·OP，∴PH、PG為圓的切線。

可見，過圓外任意一點P作其圓的切線都可以利用射影幾何方法來實現(xiàn)，但對于特殊的圓要用到圓的直徑，能夠?qū)A與二次曲線過其外任意一點P作其切線統(tǒng)一起來。

4 圓作切線的應用

圖3

證明：連接OP、OA，OP與AB交于點G，作OH⊥CD，垂足為點H。設AB交PD于點E′，則∠OHP=∠OGA=90°，∴OGE′H四點共圓，∴PE′·PH=PG·PO

在命題1中，極點P與極線AB的調(diào)和共軛點關系為(CD,PE)=-1。

由此得到命題。

命題2是根據(jù)2001年TI杯全國初中數(shù)學競賽試題得到的新命題，從統(tǒng)一的作圖法可以看出，命題1的結論完全可以推廣到二次曲線，對于橢圓、雙曲線、拋物線都成立。

5 解題啟示

射影幾何作圖不僅可以解決歐式幾何的作圖問題，還能將問題由圓推廣到二次曲線，充分揭示圓與二次曲線的內(nèi)在關系，從宏觀角度給出問題的本質(zhì)屬性。但射影幾何也不是萬能的，只是通過討論幾何圖形的位置來給出相應結果[7-10]。