【摘 要】滯后的數(shù)學(xué)內(nèi)容和單一的學(xué)習(xí)方式制約了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與創(chuàng)造力的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式要深度變革，需要學(xué)習(xí)內(nèi)容與方式協(xié)同發(fā)展，才能抵達(dá)深度學(xué)習(xí)。我們經(jīng)過七年探索，形成了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容開發(fā)與探究性學(xué)習(xí)協(xié)同發(fā)展的學(xué)習(xí)新樣態(tài)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 學(xué)習(xí)方式 深度學(xué)習(xí)

要實(shí)現(xiàn)對(duì)更美好更理想的數(shù)學(xué)教育教學(xué)的追求，一定是基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方式的深度變革。而現(xiàn)實(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)被減縮到一紙一筆，重結(jié)果輕過程，重知識(shí)輕能力，重講授輕探索，重解題輕創(chuàng)造。為何學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)型滯后？究其原因有三方面：

首先，數(shù)學(xué)內(nèi)容不利于學(xué)習(xí)方式深度變革。現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的一些內(nèi)容編排，把結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)體系，視為客觀存在的絕對(duì)真理，顯得冰冷而無情，數(shù)學(xué)家當(dāng)年創(chuàng)造數(shù)學(xué)、發(fā)明數(shù)學(xué)的歷程和足跡，早已經(jīng)被“擦除”得干干凈凈。

其次，訓(xùn)練性學(xué)習(xí)方式占據(jù)了學(xué)生大部分時(shí)間。這種狀況使學(xué)生排斥顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)主動(dòng)性降低，功利性大大增加，不利于學(xué)習(xí)方式深度變革。

最后，數(shù)學(xué)內(nèi)容不斷被家庭與培訓(xùn)機(jī)構(gòu)前置。一些家庭和培訓(xùn)機(jī)構(gòu)急功近利，總是把知識(shí)學(xué)習(xí)不斷提前。據(jù)調(diào)查，98%的入學(xué)兒童會(huì)20以內(nèi)加減法計(jì)算，甚至?xí)晌粩?shù)、三位數(shù)的加減法計(jì)算。在不合適的年齡，學(xué)習(xí)不合適的知識(shí)，再加上不合適的學(xué)習(xí)方式，堆積的知識(shí)再多，也不能生長“素養(yǎng)與智慧”。

滯后的數(shù)學(xué)內(nèi)容和單一的學(xué)習(xí)方式制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣與創(chuàng)造力的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式變革，需要學(xué)習(xí)內(nèi)容與方式協(xié)同發(fā)展，才能促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。七年的實(shí)踐探索，我們探尋到了基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容開發(fā)撬動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式深度變革的新路徑，構(gòu)建了基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式新樣態(tài)，并以“數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)中心”為學(xué)習(xí)系統(tǒng)支持，促進(jìn)“訓(xùn)練性學(xué)習(xí)”為主向“探究性學(xué)習(xí)”為主的成功轉(zhuǎn)型。

一、序列化設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”內(nèi)容

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)原則

（1）“可視性學(xué)習(xí)”原則

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容要化抽象為具體，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，使學(xué)生能在可視的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中深度理解概念、法則與原理。不僅實(shí)驗(yàn)材料、實(shí)驗(yàn)活動(dòng)、實(shí)驗(yàn)成果是可視的，實(shí)驗(yàn)過程也要能使不同的學(xué)習(xí)者、不同的學(xué)習(xí)途徑、不同的表達(dá)方式得到包容與放大，讓實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)變得思維可視化。

（2）“嘗試性學(xué)習(xí)”原則

任何實(shí)驗(yàn)需要在不斷嘗試與質(zhì)疑中，才有可能走向成功。開發(fā)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，無論是驗(yàn)證性還是探索性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，都要以學(xué)生不斷的嘗試為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中經(jīng)歷提出問題、猜想嘗試、合作驗(yàn)證、歸納推理等高認(rèn)知學(xué)習(xí)過程。

（3）“再創(chuàng)性學(xué)習(xí)”原則

設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要符合“高認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)任務(wù)”特點(diǎn)，突出問題解決、合作溝通、批判質(zhì)疑、多元表征、評(píng)價(jià)創(chuàng)造等高認(rèn)知思維，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)性”學(xué)習(xí)全過程，成為問題的探索者、研究者與解決者。

（4）“差異性學(xué)習(xí)”原則

面對(duì)存在差異的學(xué)生，教師要運(yùn)用差異的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生根據(jù)自己發(fā)展的需求，自主選擇學(xué)習(xí)方式，從而滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容特點(diǎn)

（1）核心性——基于數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與思想

數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與思想是設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的重要切入點(diǎn)和組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的載體。如我們?cè)O(shè)計(jì)了“巧移汽車”，滲透“逆推思想和策略”;“小紐扣大學(xué)問”，滲透“分類思想”;“百變立方體”，培養(yǎng)學(xué)生空間動(dòng)態(tài)觀念。

（2）內(nèi)隱性——基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

與常規(guī)數(shù)學(xué)內(nèi)容相比，開發(fā)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，要重視數(shù)學(xué)關(guān)系的理解感悟、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、數(shù)學(xué)基本思想的感悟等數(shù)學(xué)內(nèi)隱性知識(shí)的“智慧”。如我們開發(fā)的“用天平怎么創(chuàng)造平衡”，在于構(gòu)建“等式”表示左右等價(jià)性的內(nèi)涵，滲透代數(shù)思維，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)方程積累找“等量關(guān)系”的經(jīng)驗(yàn)。

（3）疑難性——基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的疑難問題

針對(duì)教科書中的疑難問題，借助好玩的學(xué)具，采用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式，讓不同層次的學(xué)生主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)研究中來。例如，針對(duì)學(xué)生對(duì)三視圖理解的困難，我們?cè)O(shè)計(jì)了“模型穿框”數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生思維穿越于“二維”與“三維”轉(zhuǎn)化與想象中，培養(yǎng)學(xué)生的空間推理能力與想象力。

（4）整合性——基于綜合實(shí)踐的內(nèi)容整合

現(xiàn)行教科書專設(shè)綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容，我們嘗試把“綜合實(shí)驗(yàn)內(nèi)容”設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，既彰顯綜合實(shí)踐內(nèi)容的應(yīng)用價(jià)值，又賦予數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)的探究價(jià)值。如二年級(jí)下冊(cè)“小小設(shè)計(jì)師”的實(shí)踐活動(dòng)，我們?cè)O(shè)計(jì)成三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)串，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“想象—實(shí)驗(yàn)—分析”的探究過程，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生空間想象與分割轉(zhuǎn)化等幾何素養(yǎng)。

（5）跨域性——基于跨領(lǐng)域跨學(xué)科的融合

把不同領(lǐng)域的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來就是創(chuàng)新能力，我們把數(shù)學(xué)與音樂、美術(shù)、科學(xué)、體育一些共性內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，開發(fā)了“顏色的魅力”“水杯琴”“音符與分?jǐn)?shù)”“如何用綠豆測(cè)量樹葉面積”等實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生跨界創(chuàng)新與學(xué)習(xí)能力。

（6）啟智性——基于數(shù)學(xué)啟智玩具與游戲

根據(jù)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，我們補(bǔ)充與精選一些能傳承數(shù)學(xué)文化與思維魅力的啟智性玩具與游戲，開發(fā)了“巧取數(shù)棒”“棋盤上的智慧”“神奇的尺子”等游戲類實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以實(shí)驗(yàn)游戲的形式，引導(dǎo)學(xué)生研究其數(shù)學(xué)概念與原理。

3.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的序列設(shè)計(jì)

根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)原則，我們?cè)敿?xì)規(guī)劃了一至六年級(jí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，在不增加學(xué)生課時(shí)量的前提下，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心知識(shí)、方法與思想，以“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“直觀想象”“數(shù)據(jù)分析”“數(shù)學(xué)建模”“推理論證”為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，設(shè)置了數(shù)量與運(yùn)算、模式與關(guān)系、圖形與測(cè)量、拓?fù)渑c變換、統(tǒng)計(jì)與分析、隨機(jī)與概率六個(gè)模塊。并且，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容充分指向“經(jīng)驗(yàn)與思想增長”，例如，操作經(jīng)驗(yàn)、探究經(jīng)驗(yàn)、思考經(jīng)驗(yàn)以及基本思想方法。典型內(nèi)容見下表。

我們?cè)陂_發(fā)每個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，遵守宜少不宜多的原則，歷時(shí)七年開發(fā)設(shè)計(jì)了一至六年級(jí)共計(jì)120項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使之內(nèi)容序列化、結(jié)構(gòu)化，平均每個(gè)學(xué)期安排10個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，共計(jì)15課時(shí)。

二、基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式變革

好的學(xué)習(xí)方式應(yīng)該具備五要素：學(xué)習(xí)者核心能力和素養(yǎng)發(fā)展;個(gè)性化和多樣化發(fā)展;認(rèn)知和能力的同步進(jìn)階;知識(shí)和實(shí)踐的有機(jī)融合;保護(hù)和激發(fā)求知欲、創(chuàng)新力，激勵(lì)學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)沖破了原先數(shù)學(xué)“訓(xùn)練性學(xué)習(xí)”的泥潭，讓學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦中更加個(gè)性化、多樣化地開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在好玩又具挑戰(zhàn)性的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生潛能，實(shí)現(xiàn)了向好的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)型的最大可能。我們認(rèn)為要實(shí)現(xiàn)好的學(xué)習(xí)方式，除了需要好的內(nèi)容作為前提外，還要積極倡導(dǎo)五個(gè)方面的學(xué)習(xí)。

1.倡導(dǎo)提出問題，形成實(shí)驗(yàn)猜想

沒有問題，學(xué)習(xí)就不會(huì)深度發(fā)生。學(xué)生提不出問題，也就形成不了實(shí)驗(yàn)猜想。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，首先，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)敢于提問的文化氛圍。其次，要設(shè)計(jì)蘊(yùn)含著高認(rèn)知水平的問題，鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并形成實(shí)驗(yàn)猜想。例如，在教學(xué)“神奇的鏡子”實(shí)驗(yàn)課時(shí)，教師出示萬花筒讓學(xué)生玩，玩了幾分鐘后，讓學(xué)生提出問題，學(xué)生問道：“萬花筒里面會(huì)裝一萬面鏡子嗎？”“萬花筒怎么產(chǎn)生那么多影子的？”“我知道萬花筒里面只有三面鏡子，為什么會(huì)產(chǎn)生那么多鏡子？”在此基礎(chǔ)上，教師再呈現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：兩面成90°的鏡子，產(chǎn)生了3個(gè)虛像。教師讓學(xué)生繼續(xù)提問，并形成一些猜想，如鏡子的夾角與虛像有什么關(guān)系？夾角越小，是不是虛像越多？如果兩面鏡子平行，會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)影子？最后，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，教師要勇于面對(duì)學(xué)生提出的問題，珍惜與尊重每個(gè)“問題”與“猜想”，只有發(fā)自內(nèi)心“欣賞”這些“問題”與“猜想”，學(xué)生才會(huì)愿意去提問、去猜想。

2.倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程

自主學(xué)習(xí)能力是21世紀(jì)核心素養(yǎng)的本質(zhì)和核心，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力對(duì)其終身學(xué)習(xí)具有重要意義。我們專門設(shè)計(jì)了“數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)中心”，作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課與課后實(shí)驗(yàn)探究的學(xué)習(xí)系統(tǒng)支持?！爸行摹泵娣e約200平方米，近500多件大小不同的實(shí)驗(yàn)學(xué)具與器材，供學(xué)生進(jìn)行自主實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，教師要敢于退居幕后，讓學(xué)生成為提出問題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、收集數(shù)據(jù)、分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、探秘實(shí)驗(yàn)原理的主角，要舍得讓學(xué)生進(jìn)行長時(shí)間的自主探索。為此，筆者所在的杭州市天長小學(xué)從頂層設(shè)計(jì)了長短課，常規(guī)課設(shè)定35分鐘，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課則定為1小時(shí)，從時(shí)間上確保實(shí)驗(yàn)探究的深度發(fā)生。如“用綠豆如何測(cè)量樹葉面積”，如果實(shí)驗(yàn)時(shí)間僅有40分鐘，就無法確保實(shí)驗(yàn)猜想、方法討論、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等核心環(huán)節(jié)的順利完成，就會(huì)成為走過場。

3.倡導(dǎo)大膽嘗試，培育實(shí)驗(yàn)精神

無數(shù)例子證明，進(jìn)行科學(xué)研究最需要的精神估計(jì)就是大膽嘗試。我們?cè)O(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中，必須把好玩有趣的實(shí)驗(yàn)學(xué)具加入進(jìn)去。為什么要做這樣的規(guī)定呢？因?yàn)閷W(xué)生對(duì)學(xué)具有天生的好感，學(xué)具可以讓學(xué)生反復(fù)嘗試，學(xué)具可以讓指尖智慧發(fā)生，學(xué)具可以讓實(shí)驗(yàn)過程的思維可視化。例如，教學(xué)“百變立方體”這節(jié)實(shí)驗(yàn)課時(shí)，“百變立方體”是學(xué)生課前與教師合作完成的，課中可以用它拼組，可以用它驗(yàn)證分割，可以同桌合作創(chuàng)拼各種美麗的圖案，課后還可以四人小組合作，創(chuàng)拼出動(dòng)物、房子、火箭，這樣好玩的學(xué)具，學(xué)生當(dāng)然愿意去大膽嘗試，愿意去大膽創(chuàng)造。

4.倡導(dǎo)團(tuán)隊(duì)協(xié)作，學(xué)會(huì)實(shí)驗(yàn)合作

當(dāng)下，一項(xiàng)有難度的研究，靠單槍匹馬，很難進(jìn)行下去，因?yàn)榭赡苌婕岸鄠€(gè)學(xué)科，多個(gè)領(lǐng)域，需要數(shù)學(xué)家，需要編程高手，需要工程技術(shù)，甚至需要藝術(shù)創(chuàng)意?？墒牵从^我們的課堂學(xué)習(xí)，所謂合作學(xué)習(xí)局限于三五分鐘和狹隘的教室里。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，除了課上60分鐘外，一些綜合性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，常常需要一周，乃至一個(gè)月投入研究，這就促使學(xué)生要進(jìn)行團(tuán)隊(duì)協(xié)作，學(xué)會(huì)合作才能比較順利地完成研究任務(wù)。例如，在“西湖斷橋—雷峰塔最佳出行方式設(shè)計(jì)的實(shí)證研究”中，靠一個(gè)人完成公交車、共享自行車、共享電動(dòng)車、步行、游輪等交通工具的實(shí)證調(diào)查，那是難度很大的任務(wù)，如果選擇團(tuán)隊(duì)協(xié)作，那么就比較容易，組建6個(gè)團(tuán)隊(duì)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)2個(gè)人，每個(gè)團(tuán)隊(duì)調(diào)查一項(xiàng)交通工具所需要的時(shí)間，再進(jìn)行數(shù)據(jù)共享，然后發(fā)揮小組中數(shù)學(xué)最好的學(xué)生的才能，帶領(lǐng)大家一起研究“模糊數(shù)學(xué)”，從通暢性、經(jīng)濟(jì)性、安全性、環(huán)保性、景觀性五個(gè)維度建立“最佳路線評(píng)價(jià)模型”，采取“確定權(quán)系數(shù)法”，最終實(shí)驗(yàn)得出共享電動(dòng)車得分最高為0.7979，為最佳出行工具。

5.倡導(dǎo)跨界融合，追求實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新

在今天這樣一個(gè)時(shí)代，僅僅在一個(gè)孤立的學(xué)科領(lǐng)域中教育學(xué)生是不夠的。學(xué)生需要在實(shí)驗(yàn)情境中，超越學(xué)科界限聯(lián)結(jié)各種學(xué)習(xí)，在各學(xué)科之間建立聯(lián)系，將各個(gè)學(xué)科中學(xué)到的內(nèi)容整合起來，通過跨領(lǐng)域探究和批判性思維實(shí)現(xiàn)跨域情境的學(xué)習(xí)遷移。這是深度學(xué)習(xí)的要義，是項(xiàng)目學(xué)習(xí)的要義，也是探究學(xué)習(xí)的追求，因?yàn)楹玫膶W(xué)習(xí)方式本身就在追求知識(shí)與實(shí)踐的深度融合。對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的跨界探究，其目的就是打破學(xué)科邊界，提升學(xué)生學(xué)習(xí)與真實(shí)情境的關(guān)聯(lián)意識(shí)，實(shí)現(xiàn)跨界思考問題、解決問題，追求實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新。

以上五個(gè)方面的倡導(dǎo)，其實(shí)就是對(duì)好的學(xué)習(xí)方式五要素的深刻回應(yīng)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與實(shí)踐的深入融合，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知與能力的同步進(jìn)階。但如何實(shí)現(xiàn)個(gè)性化與多元化發(fā)展，如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究志趣和創(chuàng)新力的長遠(yuǎn)發(fā)展，如何激勵(lì)學(xué)生自主探索和團(tuán)隊(duì)協(xié)作研究相結(jié)合，需要在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)過程中得以實(shí)現(xiàn)，因?yàn)檫^程是促使好的學(xué)習(xí)方式發(fā)生的唯一途徑。

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