陳銀 姚俊俊

【摘 要】作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，幾何課程越來越受到大家的關(guān)注，學(xué)生的幾何素養(yǎng)也逐漸進(jìn)入公眾視野。本文從借力數(shù)學(xué)實驗入手，在單一結(jié)構(gòu)中豐富幾何概念，在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)中理清幾何關(guān)系，在拓展結(jié)構(gòu)中應(yīng)用幾何模型，切實培育學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗 幾何素養(yǎng)

“圖形與幾何”作為數(shù)學(xué)課程四大領(lǐng)域之一，占比僅次于“數(shù)與代數(shù)”。由于幾何內(nèi)容的高度抽象性，以及幾何學(xué)習(xí)缺少幾何實驗、想象、推理與建模等諸多原因，使得幾何內(nèi)容成為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，學(xué)生幾何素養(yǎng)的培養(yǎng)堪憂。這里所說的幾何素養(yǎng)是指面對不同形式的幾何對象，嘗試選擇合適的幾何知識來解決實際問題中所表現(xiàn)出的一種幾何綜合性的能力。如何讓學(xué)生的幾何素養(yǎng)豐厚起來？我們倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)實驗課能較好地促進(jìn)學(xué)生幾何素養(yǎng)的提升嗎？由于數(shù)學(xué)實驗注重幾何操作、想象、實踐等直觀動態(tài)活動，能有效促進(jìn)學(xué)生對幾何概念、幾何關(guān)系、幾何模型等豐富表象的動態(tài)認(rèn)知，獲得空間觀念，進(jìn)而讓學(xué)生的幾何素養(yǎng)豐厚起來。

一、借力數(shù)學(xué)實驗，豐富幾何概念

小學(xué)是幾何學(xué)習(xí)的起步階段，由于幾何的概念比較抽象，因此，小學(xué)階段教師應(yīng)盡量幫助學(xué)生理解每一個幾何概念的內(nèi)涵，學(xué)生有了正確的概念才會有正確的數(shù)學(xué)思維。教師可以用多樣化的方法解釋原理，幫助學(xué)生理解、鞏固幾何概念，充分明白每個實驗的目的。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識四連方”時，學(xué)生除了要掌握5種基本形式，在數(shù)學(xué)實驗課中，教師還要關(guān)注學(xué)生靈活進(jìn)行拼組，體驗圖形的運(yùn)動變換，進(jìn)一步發(fā)展有序思考的能力。將“L”型放進(jìn)九宮格中，共有多少種不同的擺放方法？將所有的擺放方法羅列出來需要學(xué)生觀察五連方“L”型的幾何特征，有一個小正方形比較突出，將“L”型拆分成3+1的圖形。多次實驗后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以采用拆分—定位—組合的方式，先確定突出的1個正方形的位置，再把3個正方形進(jìn)行組合。其中，在確定突出的1個正方形的位置時，方法也是多樣的，可以直接進(jìn)行翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、平移，也可以跟九宮格中的數(shù)字進(jìn)行結(jié)合，突出的1個正方形放在九宮格中數(shù)字1的位置有2種方法，數(shù)字2兩種方法，以此類推，發(fā)現(xiàn)每個數(shù)字都有兩種放法，但是數(shù)字5無法擺放，因此也可以用算式2×9-2=16（種）來解決（見圖1）。

四連方的實驗原理就是找準(zhǔn)四連方的幾何概念，通過開展系列活動，進(jìn)行分類整理，學(xué)生有了初步感知，了解每個實驗背后的深層原理，掌握幾何特征，從而學(xué)會辨析問題的實質(zhì)原因。蔡金法教授發(fā)現(xiàn)學(xué)生的操作性實踐經(jīng)驗要比數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號等抽象思維經(jīng)驗更直觀，而數(shù)學(xué)實驗鼓勵學(xué)生大膽提出猜想與實踐，有利于將抽象的幾何知識具體化。教師可以利用數(shù)學(xué)實驗的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，知道幾何概念產(chǎn)生和發(fā)展的來龍去脈，從而真正起到培育學(xué)生幾何素養(yǎng)的效果。

二、借力數(shù)學(xué)實驗，理清幾何關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是相關(guān)聯(lián)的，因此在數(shù)學(xué)實驗課中對幾何概念進(jìn)行深刻理解以及加強(qiáng)概念之間的聯(lián)系，通過將單一結(jié)構(gòu)中零散的幾何概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，使幾何的內(nèi)涵和外延不斷豐盈，從學(xué)習(xí)開始時由外而內(nèi)的結(jié)構(gòu)理解，到由內(nèi)而外的關(guān)聯(lián)生長。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課遵循階段目標(biāo)，每個階段的知識點(diǎn)是固定的，而數(shù)學(xué)實驗課打破了常規(guī)的知識結(jié)構(gòu)，依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，在設(shè)計教學(xué)目標(biāo)時并不僅僅局限于在某年級的重點(diǎn)知識點(diǎn)上，而且關(guān)注發(fā)展目標(biāo)，從學(xué)生的主體出發(fā)，將知識點(diǎn)形成點(diǎn)狀網(wǎng)，從整體上建構(gòu)幾何知識。

推理能力的發(fā)展對于理清幾何關(guān)系起著非常重要的作用，無論是數(shù)學(xué)，還是學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常使用的思維方式都是推理。幾何關(guān)系推理的過程是揭示幾何內(nèi)在多種關(guān)聯(lián)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)幾何對象之間本質(zhì)關(guān)系的過程。推理能力的發(fā)展貫穿于整個幾何學(xué)習(xí)過程中，包括合情推理和演繹推理，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論，這兩種推理相輔相成。

例如，在學(xué)習(xí)《觀察物體》一課后，學(xué)生已經(jīng)會從不同角度觀察物體，教師要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力可以這么做：從正面和右面這兩個角度觀察同一個物體看到的形狀，你能想象出這是一個什么樣的立體圖形嗎？最少用幾個小正方體？

學(xué)生經(jīng)過一步一步推理，發(fā)現(xiàn)3行3列中，只要每一行和每一列都只有1 個小正方體，就能保證不管是從正面看還是從右面看，看起來都有3個小正方形。

實驗過程中通過觀察發(fā)現(xiàn)正面、右面觀察都是3個正方形，進(jìn)行比較分析共同的特點(diǎn)，抽取其本質(zhì)幾何屬性，嘗試推理出不同的擺放方法（見圖2），實驗驗證推理是否成立。推理能力的培養(yǎng)需要學(xué)生在實驗中不斷積累成功或失敗的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗在之后的數(shù)學(xué)實驗探索中會逐步形成能力，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。在厘清幾何關(guān)系中需要綜合各種數(shù)學(xué)信息，建立起多維度的幾何網(wǎng)絡(luò)，探尋幾何對象間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生對幾何關(guān)系的推理能力。

三、借力數(shù)學(xué)實驗，建立幾何模型

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)就是教會學(xué)生如何去思考?！睂W(xué)生在合作交流中，分享了學(xué)習(xí)經(jīng)驗;在質(zhì)疑批判中，建構(gòu)了模型;在補(bǔ)充理解中，幾何素養(yǎng)進(jìn)一步提升。模型思想的滲透應(yīng)該貫穿整個幾何教學(xué)的始終，數(shù)學(xué)建模的過程充滿挑戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中進(jìn)一步抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建基本幾何模型，在尋求結(jié)果、解決問題的過程中不斷拓展模型應(yīng)用。

1.幾何建?！趩栴}情境中建立基本模型

建模是一個綜合性的過程，教師引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實情境進(jìn)行抽象并概括，在整個建模過程中培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力，不僅僅是知識與技能，更多的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，積累活動經(jīng)驗，情感態(tài)度等方面也得到了培養(yǎng)。

例如，研究“長方形周長的變化”時，實驗要求是長方形邊上剪掉若干塊長方形后，周長發(fā)生改變了嗎？學(xué)生首先要了解長方形周長的概念，剪掉若干塊后，變成不規(guī)則圖形，求不規(guī)則圖形周長的過程中發(fā)現(xiàn)與原有長方形周長之間的聯(lián)系，通過平移發(fā)現(xiàn)周長的變化，學(xué)生需要了解實驗問題，明確初始條件和最終目標(biāo)，從而建立基本模型（見圖3）。

2.模型應(yīng)用——在解決問題中加深模型理解

建模之后，學(xué)生需要在實際生活中體會模型的作用，靈活選擇模型，而不是簡單地重復(fù)或者生硬地套用，突出解決實際問題的思維過程，并進(jìn)行大膽的猜想，進(jìn)一步分析思維過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化。

例如，利用一張白紙通過不同的方式轉(zhuǎn)變成不同的立體圖形，并比較體積的大小。已知長方形長是18.84cm，寬是12.56cm，你能想辦法圍成一個圓柱體嗎？體積是多少呢？不同層次的推理能力展示的結(jié)果也是不一樣的。

實驗結(jié)果1，不剪開，直接圍。通過沿著長方形的長或?qū)捑硪痪淼玫綀A柱體（見圖4）。

實驗結(jié)果2，剪一次圍成圓柱體。豎著剪平均分成兩份圍成圓柱體，橫著剪平均分成兩份圍成圓柱體。

實驗結(jié)果3，按照豎剪、橫剪的分類有序思考，圍成的圓柱體的體積也有規(guī)律可循。豎切后再進(jìn)行拼接，豎切等分的份數(shù)越多，如果“左右”圍成，則圓柱的底面半徑越來越短，高越來越長，體積越來越小;如果“上下”圍成，則圓柱的底面半徑越來越長，高越來越短，體積越來越大。橫切后再進(jìn)行拼接，如果“左右”圍成，則圓柱的底面半徑越來越長，高越來越短，體積越來越大;如果“上下”圍成，則圓柱的底面半徑越來越短，高越來越長，體積越來越?。ㄒ妶D7、圖8）。

學(xué)生經(jīng)歷平面圖形到幾何立體圖形的形成過程，通過問題解決、模型建構(gòu)，發(fā)現(xiàn)不同的方式可以得到不同的立體圖形。學(xué)生對幾何模型構(gòu)建的過程體驗是深刻的，探究學(xué)習(xí)更加真實，探究的結(jié)果也更加科學(xué)，記憶也就更深刻。在嘗試中積累經(jīng)驗，從而真正理解幾何知識。從最貼近學(xué)生生活的素材選取數(shù)學(xué)模型，能充分提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，生活中的原型作為學(xué)習(xí)素材，會讓學(xué)生感到很熟悉，也很新奇，以解決自己的問題作為新知探索的動力。在嘗試中學(xué)會幾何知識，從不同角度進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，在這個過程中，學(xué)生能更清楚地認(rèn)識到生活中的幾何圖形，感受到數(shù)學(xué)與生活是密不可分的。

小學(xué)生的幾何素養(yǎng)發(fā)展十分重要，它影響著幾何學(xué)習(xí)乃至其他任何學(xué)科的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)實驗課促使學(xué)生有機(jī)會親身體驗知識的建構(gòu)過程。教師要搭建數(shù)學(xué)實驗與幾何學(xué)習(xí)之間的橋梁，在具體情境中學(xué)會合理提取適當(dāng)?shù)母拍?，進(jìn)行深層次思維的數(shù)學(xué)猜想和驗證，引導(dǎo)學(xué)生溝通操作與思維之間的聯(lián)系，從而學(xué)會思考，切實提高幾何素養(yǎng)。