孫夢(mèng)爽

【摘? ? 要】數(shù)形結(jié)合思想是一種數(shù)學(xué)思想方法。由于“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩種比較普遍的存在，通過研究發(fā)現(xiàn)，通過以“數(shù)”化“形”，可以幫助學(xué)生更加容易理解某些具體的圖形，而通過某些具體的圖形也能夠幫助學(xué)生理解比較抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以形成了兩種比較普遍的數(shù)學(xué)觀念，即“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”?？傊?，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，有利于學(xué)生更加容易掌握知識(shí)。本文主要探討數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合? 高中數(shù)學(xué)? 函數(shù)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G4? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2021.17.047

學(xué)生學(xué)習(xí)不僅要以學(xué)會(huì)知識(shí)為主要目的，更重要的是要在學(xué)習(xí)的過程中尋求更為巧妙的解決問題的方法，要在學(xué)習(xí)過程中做到“會(huì)學(xué)，巧學(xué)”，才能夠在學(xué)習(xí)中取得更大的提升。數(shù)學(xué)作為主要學(xué)科之一，是高中階段邏輯性與思維性較強(qiáng)的理科學(xué)科，對(duì)于現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)科教育而言，巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中能夠起到至關(guān)重要的作用。

近幾年，隨著我國(guó)社會(huì)科學(xué)水平和綜合能力的穩(wěn)步上升，國(guó)家也大力推動(dòng)教育事業(yè)不斷前進(jìn)，教育部門對(duì)于學(xué)生的教育教學(xué)越來(lái)越重視與關(guān)注。高中數(shù)學(xué)在高中所學(xué)學(xué)科中處于重要位置，高考作為選拔人才的一道門檻，受到所有人的重視，而高中函數(shù)這部分內(nèi)容在高考試卷所占比例較大，也是理科思維與邏輯關(guān)系較強(qiáng)的知識(shí)內(nèi)容，其中，數(shù)形結(jié)合思想是高中函數(shù)的教學(xué)與解題思維方法之一。

作為高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科教育教學(xué)工作者，筆者教學(xué)生在面臨一道題的時(shí)候要學(xué)會(huì)主動(dòng)思考和理解問題，善于歸類分析并利用數(shù)學(xué)模型解決此問題。所以，將“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中是非常有必要的，因?yàn)閿?shù)學(xué)這一門科目主要研究的就是數(shù)量關(guān)系與空間幾何之間的關(guān)系。而“數(shù)形結(jié)合”這一思想恰恰將兩者緊密地結(jié)合在一起，通過兩者之間相輔相成的關(guān)系來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)于不同知識(shí)的理解以及學(xué)習(xí)。由于函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容非?，嵥?，也非常復(fù)雜，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的時(shí)候都會(huì)感受到很大的挑戰(zhàn)性。函數(shù)對(duì)于學(xué)生來(lái)說是一項(xiàng)相對(duì)比較抽象的內(nèi)容，通過借助一些具體形象的事物，比如曲線圖、函數(shù)模型等，能夠幫助學(xué)生更加深入地理解抽象的函數(shù)究竟是什么樣子的，這樣不僅能夠加深學(xué)生的印象，促進(jìn)學(xué)生的理解以及學(xué)習(xí)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的能力，給社會(huì)培養(yǎng)全能性人才。所以，高中數(shù)學(xué)教師一定要有意識(shí)地將“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用到課堂教學(xué)當(dāng)中。本文主要從“深入研究教材內(nèi)容，挖掘數(shù)形結(jié)合思想”“結(jié)合具體類型，滲透數(shù)形結(jié)合思想”“小組合作學(xué)習(xí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題”以及“根據(jù)具體應(yīng)用，總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想”這四個(gè)方面進(jìn)行具體的探討[1]。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

（一）學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣和積極性

俗話說：“知者不如好知者，好知者不如樂知者?！迸d趣是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中最好的老師，無(wú)論是哪一門學(xué)科，學(xué)生都要對(duì)一切充滿興趣和熱情，將所學(xué)學(xué)科看作自己喜歡的事情，才能夠積極主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)過程中。然而，現(xiàn)如今大部分高中階段的學(xué)生由于來(lái)自家庭與學(xué)校乃至自身的壓力較大，將數(shù)學(xué)看作一門極其枯燥無(wú)味的學(xué)科，缺乏對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱情，在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程中處于死氣沉沉的狀態(tài)，所以教師要利用巧學(xué)妙學(xué)的方法激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生可以主動(dòng)積極地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[2]。

（二）學(xué)生對(duì)教師的依賴性較大，導(dǎo)致思維固定化

目前，部分教師仍然采用傳統(tǒng)老舊的課堂教學(xué)方法，一味地將知識(shí)強(qiáng)行灌輸給學(xué)生，而忽略學(xué)生是否能夠完全接受，形成“師講生聽”的固定課堂教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生在面臨問題的時(shí)候不會(huì)獨(dú)立思考問題。而數(shù)學(xué)本就是一門比較靈活的學(xué)科，如果過度依賴教師的講解和分析，對(duì)于稍微難一點(diǎn)的題目就無(wú)從下手，需要?jiǎng)e人稍加提示才能夠想到解題思路，這樣的思維模式太過固定化，對(duì)于學(xué)習(xí)效率大打折扣，不利于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

（三）師生之間缺乏溝通交流

溝通是人與人之間最基本的交流方式，是社交過程中必須掌握的一門技能，在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生與學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間的溝通、交流也是必不可少的。然而，由于學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)繁重，課間活動(dòng)時(shí)間都被用在學(xué)習(xí)上，課堂上教師總是一副嚴(yán)厲的形象，導(dǎo)致學(xué)生比較害怕教師，種種現(xiàn)象的結(jié)合影響學(xué)生與學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間缺乏交流與溝通。學(xué)習(xí)需要學(xué)生與教師之間相互討論，才能促進(jìn)學(xué)習(xí)效率，并加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)與內(nèi)容的理解精確程度，所以教師需要正確認(rèn)識(shí)到這一問題，并積極改

變這種現(xiàn)狀。

二、研究數(shù)形結(jié)合思想走進(jìn)高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的具體策略

（一）深入研究教材內(nèi)容，挖掘數(shù)形結(jié)合思想

高中數(shù)學(xué)教師在開展課堂教學(xué)的過程中，主要的依據(jù)以及課堂教學(xué)內(nèi)容的主要來(lái)源都是高中數(shù)學(xué)這本教材。因此，教師在滲透數(shù)形結(jié)合思想的過程中也要基于教材內(nèi)容，通過深入挖掘教材內(nèi)容將數(shù)形結(jié)合的思想與教材內(nèi)容有效結(jié)合起來(lái)，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果?！昂瘮?shù)”這一章節(jié)的內(nèi)容非常適合通過數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行教學(xué)，因?yàn)橥ㄟ^應(yīng)用這一思想能夠使學(xué)生更加容易理解函數(shù)中一些比較抽象的內(nèi)容。但是，對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)方面的知識(shí)，教師如果應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，反而會(huì)使問題變得復(fù)雜，不利于學(xué)生的理解以及掌握。所以，雖然都屬于高中數(shù)學(xué)函數(shù)方面的知識(shí)，教師也要對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)分析，合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合這一思想[3]。

例如，在教學(xué)“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”的時(shí)候，這一部分內(nèi)容主要包含五個(gè)小節(jié)，分別是：指數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及函數(shù)的應(yīng)用。教師根據(jù)教材中的內(nèi)容以及新課標(biāo)對(duì)于這部分知識(shí)教學(xué)的要求設(shè)計(jì)了三個(gè)重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)，分別是“引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的含義、圖像以及性質(zhì)”、“引導(dǎo)學(xué)生能夠熟練運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解答與數(shù)學(xué)有關(guān)的實(shí)際問題”“要求學(xué)生能夠?qū)煞N函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，并且通過數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決函數(shù)問題”。教材上對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)是這樣定義的，即對(duì)數(shù)函數(shù)是以冪（真數(shù)）為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)。這種定義在學(xué)生看來(lái)是非常抽象的，大部分學(xué)生通過看定義的方式都不能對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)有一個(gè)具體的感知。因此，教師可以通過數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生講解，利用信息技術(shù)為學(xué)生分別展示對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的圖像，并且結(jié)合圖像對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)等多方面內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)講解，學(xué)生通過一邊觀察圖像一邊聽教師的講解，往往能夠達(dá)到比較良好的學(xué)習(xí)效果。教師在備課的過程中還可以將對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)為學(xué)生制作成微課視頻，在講解完教材中的主要內(nèi)容以后，教師通過播放微課視頻的形式幫助學(xué)生鞏固這部分知識(shí)。通過視頻中具體形象的圖像給予學(xué)生更加直觀的感受，給學(xué)生留下更加深刻的印象。

（二）結(jié)合具體類型，滲透數(shù)形結(jié)合思想

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合這一思想方法的運(yùn)用一般包含兩種方式，一種是“以數(shù)解形”，而另一種則是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”簡(jiǎn)單來(lái)說就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，可以通過將圖形賦予一些具體的數(shù)據(jù)，使整個(gè)圖形變得更加具體可感，并且通過這些具體的數(shù)字使整個(gè)圖形變得更加清晰，通過這樣的方式有利于加深學(xué)生的印象，促進(jìn)學(xué)生的深入理解?！耙孕沃鷶?shù)”則恰恰相反，這種方式是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，面對(duì)一些比較抽象的數(shù)字內(nèi)容，可以通過畫圖像等方式進(jìn)行具體的感知，讓學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)字的具體運(yùn)行方式有一個(gè)比較深刻的印象。通過圖像對(duì)數(shù)字賦予具體的形象，可以使學(xué)生將眼光放在所有的數(shù)字上，而不僅僅局限于某幾個(gè)數(shù)字。通過這樣的方式也能夠使學(xué)生更加容易理解以及學(xué)習(xí)。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中主要應(yīng)用的是“以形助數(shù)”這種方式，因?yàn)橥ㄟ^具體的函數(shù)圖像往往能夠使學(xué)生更加清晰地了解函數(shù)的性質(zhì)。但是，函數(shù)在本質(zhì)上是由許許多多的數(shù)字組成的，所以通過函數(shù)圖像也能夠使學(xué)生了解所有的數(shù)字的變化趨勢(shì)以及性質(zhì)和特點(diǎn)[4]。

例如，在為學(xué)生講解“三角函數(shù)”的時(shí)候，這一部分主要包含的內(nèi)容分別是任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角恒等變換以及三角函數(shù)的應(yīng)用。教師根據(jù)這一部分內(nèi)容設(shè)計(jì)了三個(gè)重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)，分別是“引導(dǎo)學(xué)生理解任意角的概念以及弧度的意義，要求學(xué)生能夠正確地進(jìn)行弧度與角度的換算、引導(dǎo)學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦以及正切的意義，并且學(xué)會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切，引導(dǎo)學(xué)生了解任意角的余切，正割以及余割的定義”和“引導(dǎo)學(xué)生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并且掌握正弦以及余弦的誘導(dǎo)公式”。在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，重點(diǎn)目標(biāo)是要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的概念、圖像以及性質(zhì)。綜合分析這三點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容就可以發(fā)現(xiàn)，可以使用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想為學(xué)生講解。因?yàn)閳D像就是數(shù)形結(jié)合思想中所談到的“形”，而性質(zhì)以及概念就是數(shù)學(xué)結(jié)合思想中所談到的“數(shù)”，通過借助具體的圖像并且賦予概念性的講解，能夠達(dá)到良好的教學(xué)效果。

（三）小組合作學(xué)習(xí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題

教師在課堂教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)將學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升以及學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為課堂教學(xué)的重點(diǎn)目標(biāo)對(duì)待，而不能局限在向?qū)W生傳授教材中的知識(shí)以及內(nèi)容上面，這不利于學(xué)生的成長(zhǎng)以及發(fā)展。教師在函數(shù)教學(xué)的過程中，通過應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想進(jìn)行教學(xué)，能夠使學(xué)生對(duì)這種思想有初步的了解以及認(rèn)識(shí)，但是并不能保證每一位學(xué)生都能夠熟練地將這種思想應(yīng)用到自己的學(xué)習(xí)以及解決實(shí)際問題當(dāng)中，因此達(dá)不到良好的學(xué)習(xí)效果?；谶@一點(diǎn)，教師也要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用這種思想解決實(shí)際問題。在課堂教學(xué)中，教師可以為學(xué)生展示某些函數(shù)例題，并且引導(dǎo)學(xué)生用這種思想對(duì)相應(yīng)的問題加以解決?？紤]到高中階段的學(xué)生剛剛接觸到這種思想，對(duì)這種思想還不太熟悉，所以應(yīng)用起來(lái)會(huì)遇到多方面的困難以及挑戰(zhàn)，為了不打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位使用這種思想，共同解決某一個(gè)實(shí)際生活中的問題。通過這樣的方式也能夠促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)以及理解[5]。

例如，在教學(xué)“冪函數(shù)”的時(shí)候，教材中這部分內(nèi)容主要是要求學(xué)生能夠理解“冪函數(shù)”的概念，并且通過具體的實(shí)例研究?jī)绾瘮?shù)的圖像和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生能夠通過數(shù)形結(jié)合思想研究?jī)绾瘮?shù)，并且解決冪函數(shù)的有關(guān)問題。在課堂教學(xué)中，教師借助冪函數(shù)的圖像為學(xué)生細(xì)致講解了冪函數(shù)的性質(zhì)以及冪函數(shù)的概念等多方面知識(shí)，保證學(xué)生對(duì)冪函數(shù)有一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)以及了解。之后，為了檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，教師為學(xué)生展示了一個(gè)與冪函數(shù)有關(guān)的例題，主要是要求學(xué)生判斷一些簡(jiǎn)單的函數(shù)是否屬于冪函數(shù)。教師要求學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位共同解決這些問題。在解決的過程中，學(xué)生需要根據(jù)題干中的信息將函數(shù)圖像畫出來(lái)，并且與冪函數(shù)的圖像進(jìn)行對(duì)比，判斷某些函數(shù)是否屬于冪函數(shù)。通過這樣的方式能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解以及應(yīng)用。

（四）根據(jù)具體應(yīng)用，總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形作為學(xué)習(xí)思考的基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所涉及的特殊符號(hào)作為一種數(shù)學(xué)的象征，構(gòu)成一張學(xué)習(xí)網(wǎng)，歸納包裹所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)中所呈現(xiàn)出的規(guī)律。俗話說得好：“學(xué)習(xí)不僅要知其然，也要知其所以然?！边@同樣適用于教學(xué)工作的開展。教師在開展函數(shù)教學(xué)的過程中，往往會(huì)將數(shù)形結(jié)合思想直接告訴學(xué)生，讓學(xué)生知道數(shù)形結(jié)合思想的概念以及應(yīng)用方式等等，然后學(xué)生就會(huì)通過教師的介紹應(yīng)用這種思想解決實(shí)際問題。但是，學(xué)生雖然知道有這種思想存在，卻不知道這種思想是如何來(lái)的以及這種思想存在的根據(jù)是什么，所以學(xué)生在利用這種思想解決實(shí)際問題時(shí)會(huì)感到困惑以及迷惘。為了解決這種情況，教師要有意識(shí)地根據(jù)一些具體的實(shí)際應(yīng)用在眾多的例題當(dāng)中總結(jié)出數(shù)形結(jié)合思想。通過這樣的方式能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合這一思想有更加深入的理解以及體會(huì)，從而能夠更加熟練地將這個(gè)思想運(yùn)用到實(shí)踐當(dāng)中，有利于提升學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力[6]。

三、結(jié)束語(yǔ)

現(xiàn)如今面臨新高考改革的教學(xué)模式，教師要對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式和傳授方法做出改變，逐步讓學(xué)生適應(yīng)新高考改革，利用現(xiàn)代化教學(xué)和新型教學(xué)思想讓學(xué)生更加容易接受與理解數(shù)學(xué)這門抽象化的學(xué)科。總而言之，通過探討“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，不僅能夠使教師更加深入地理解“數(shù)形結(jié)合”思想的含義，還能夠使教師將其熟練地與教材中函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容緊密地結(jié)合在一起，從而達(dá)到更加良好的教學(xué)效果。通過在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想能給予學(xué)生更加直觀形象的體驗(yàn)，使學(xué)生更加容易理解函數(shù)中一些比較抽象的知識(shí)以及內(nèi)容，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率以及效果。高中數(shù)學(xué)教師可以借鑒以上提到的幾個(gè)方面的內(nèi)容，將“數(shù)形結(jié)合”思想有效地應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)當(dāng)中。

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