摘 要：本文主要從2021年高考卷試題入手剖析，從核心素養(yǎng)視角洞察其中出題目的，剖析高考題本質(zhì)原理，因此要注重素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重，夯實(shí)基礎(chǔ)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)建完整的知識體系.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;邏輯推理;數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)運(yùn)算;直觀想象;數(shù)據(jù)分析

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0070-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：何正文（1988-），男，廣東省茂名人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

2021新高考卷更注重考察學(xué)生核心素養(yǎng)的能力，落實(shí)立德樹人的總目標(biāo).本文對今年高考卷的試題進(jìn)行分析，對試題考點(diǎn)和背景往往由于考察學(xué)生的良好數(shù)學(xué)思維而靈便方法，因此在對試卷進(jìn)行分析后，筆者從數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)剖析.

一、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是對具體問題進(jìn)行抽象出數(shù)學(xué)數(shù)量與幾何圖形的問題，需要學(xué)生能夠?qū)㈩}目中的問題“翻譯”出數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)問題.今年高考題注重傳統(tǒng)文化為背景，讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題.

例1 （2021年新高考Ⅰ卷填空題第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

詳解 （1）對折4次可得到如下規(guī)格：54dm×12dm，52dm×6dm，5dm×3dm，10dm×32dm，20dm×34dm，共5種;

（2）由題意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=120n+12n-1，設(shè)S=120×220+120×321+120×422+…+120n+12n-1，則12S=120×221+120×322+…+120n2n-1+120n+12n，兩式作差得12S=240+

12012+122+…+12n-1-120n+12n=240+601-12n-11-12-120n+12n=360-1202n-1-120n+12n=360-120n+32n，因此，S=720-240n+32n=720-15n+32n-4.

故答案為：5;720-15n+32n-4.

分析 本題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，讓考生體驗(yàn)從剪紙藝術(shù)抽象出數(shù)列的數(shù)學(xué)問題，在第一問，學(xué)生可以按對折列舉一般操作可以計(jì)算出來;第二問必須深層次抽象出數(shù)列問題了.數(shù)列抽象問題應(yīng)注意以下四點(diǎn)：

（1）對于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解;

（2）對于anbn結(jié)構(gòu)，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和;

（3）對于an+bn結(jié)構(gòu)，利用分組求和法;

（4）對于1anan+1結(jié)構(gòu)，其中an是等差數(shù)列，公差為dd≠0，則1anan+1=1d1an-1an+1，利用裂項(xiàng)相消法求和.

例2 （2021年全國高考乙卷理科選擇題第9題）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高.如圖1，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）.

圖1

A. 表高×表距表目距的差+表高 B. 表高×表距表目距的差-表高

C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差-表距

詳解 如圖1所示，由平面相似可知，DEAB=EHAH，F(xiàn)GAB=CGAC，而DE=FG，所以DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH，而CH=CE-EH=CG-EH+EG，即AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高.故選A.

分析 本題以魏晉時(shí)期我國數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景，讓考生體驗(yàn)從古籍問題抽象出幾何的數(shù)學(xué)問題，再回到古籍答案，利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

二、邏輯推理

數(shù)學(xué)邏輯推理能力考察學(xué)生清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，對問題進(jìn)行分析、歸納、推理.今年高考題重視在實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生推理，得到結(jié)論.發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實(shí)際的學(xué)科特點(diǎn).

例3 （2021年全國高考乙卷理科選擇題第6題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）.

A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種

詳解 根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有C25種選法;然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C25×4！=240種不同的分配方案，故選C.

分析 本題以北京冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)為試題背景，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.

例4 （2021年新高考1卷選擇題第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）.

A. 甲與丙相互獨(dú)立 B. 甲與丁相互獨(dú)立

C. 乙與丙相互獨(dú)立 D. 丙與丁相互獨(dú)立

詳解 P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（?。?636=16， P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙），P（甲?。?136=P（甲）P（丁），P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙），P（丙?。?0≠P（?。㏄（丙），故選B.

分析 本題根據(jù)具體問題，從獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷，判斷事件A，B是否獨(dú)立，先計(jì)算對應(yīng)概率，再判斷P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

三、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)知識可以以模型化的形式進(jìn)行展示，模型化思維有利于知識系統(tǒng)化，當(dāng)然數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)模型，數(shù)學(xué)知識點(diǎn)就是數(shù)學(xué)建模的支點(diǎn)，因此建模思想是高考考察學(xué)生一個(gè)很重要的思想方法.

例5 （2021年新高考1卷選擇題第7題）若過點(diǎn)a，b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）.

A. eb

C. 0

詳解 在曲線y=ex上任取一點(diǎn)Pt，et，對函數(shù)y=ex求導(dǎo)得y′=ex，所以，曲線y=ex在點(diǎn)P處的切線方程為y-et=etx-t，即y=etx+1-tet，由題意可知，點(diǎn)a，b在直線y=etx+1-tet上，可得b=aet+1-tet=a+1-tet，令ft=a+1-tet，則f ′t=a-tet.

當(dāng)t0，此時(shí)函數(shù)ft單調(diào)遞增，當(dāng)t>a時(shí)，f ′t<0，此時(shí)函數(shù)ft單調(diào)遞減，所以，ftmax=fa=ea，由題意可知，直線y=b與曲線y=ft的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則b0，當(dāng)t>a+1時(shí)，ft<0，作出函數(shù)ft的圖象如圖2所示.

圖2

由圖可知，當(dāng)0

分析 函數(shù)題往往其解題需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，函數(shù)題具有規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式.根據(jù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用圖像研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果.

四、數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算更加重視表達(dá)數(shù)學(xué)思維，是解題思路的最基礎(chǔ)的條件.高考題解決數(shù)學(xué)運(yùn)算的問題給予學(xué)生更多選擇性，同時(shí)也注重學(xué)生和其他核心素養(yǎng)結(jié)合一起考察.

例6 （2021年全國卷甲卷解答題第18題）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列an是等差數(shù)列;②數(shù)列Sn是等差數(shù)列;③a2=3a1.

注 若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

詳解 選①②作條件證明③：

設(shè)Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a+b2;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因?yàn)閍n也是等差數(shù)列，所以a+b2=a2a-a+2b，解得b=0;

所以an=a22n-1，所以a2=3a1.

選①③作條件證明②：

因?yàn)閍2=3a1，an是等差數(shù)列，

所以公差d=a2-a1=2a1，

所以Sn=na1+nn-12d=n2a1，即Sn=a1n，

因?yàn)镾n+1-Sn=

a1n+1-a1n=a1，

所以Sn是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

設(shè)Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a+b2;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因?yàn)閍2=3a1，所以a3a+2b=3a+b2，解得b=0或b=-4a3;當(dāng)b=0時(shí)，a1=a2，an=a22n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=2a2滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)an為等差數(shù)列;

當(dāng)b=-4a3時(shí)，Sn=an+b=an-43a，S1=-a3<0不合題意，舍去.

綜上可知an為等差數(shù)列.

分析 試題給出部分已知條件，要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個(gè)命題，給考生充分的選擇空間，充分考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，從而考察學(xué)生的運(yùn)算能力，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法.

選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出Sn，結(jié)合an，Sn的關(guān)系求出an，利用an是等差數(shù)列可證a2=3a1;

選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出Sn，結(jié)合等差數(shù)列定義可證;

選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出Sn=an+b，結(jié)合an，Sn的關(guān)系求出an，根據(jù)a2=3a1可求b，然后可證an是等差數(shù)列.

五、直觀想象

直觀想象是指通過幾何直觀和空間想象，利用圖形解決問題.今天高考題在開放性和直觀性的基礎(chǔ)上在逐漸加大力度，這樣能夠更好的推動(dòng)學(xué)生想象能力的培養(yǎng).

例7 （2021年全國高考乙卷理科填空題第16題） 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖3

圖4

詳解 選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，E，F(xiàn)分別為棱B1C1，BC的中點(diǎn)，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐E-ADF.

故答案為：③④.

分析 有多組正確答案，有多種解題方案可供選擇，考查了考生的空間想象能力，三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

六、數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是通過適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)分析方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，考生提取有用信息和形成結(jié)論而對數(shù)據(jù)加以詳細(xì)研究和概括總結(jié)的過程.今年高考題從目前社會(huì)與經(jīng)濟(jì)出發(fā)，使得考生更加關(guān)注國家建設(shè).

例8 （2021年新高考1卷理科解答題第18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列;

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解析

（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.

PX=0=1-0.8=0.2;

PX=20=0.81-0.6=0.32;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100P0.20.320.48

（2）由（1）知，EX=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.

PY=0=1-0.6=0.4;

PY=80=0.61-0.8=0.12;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以EY=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

分析 以“一帶一路”知識競賽為背景，考查了考生對概率統(tǒng)計(jì)基本知識的理解與應(yīng)用.（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類似，找出先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

例9 （2021年全國高考甲卷理科選擇題第2題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

圖5

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）.

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

詳解 因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%，故A正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04+0.02×3=0.10=10%，故B正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（萬元），超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選C.

分析 本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，以我國在脫貧攻堅(jiān)工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過圖表給出了某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果，以此設(shè)計(jì)問題，考查考生分析問題和數(shù)據(jù)處理的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]