蘇日娜 喻平

摘要：心理學(xué)研究表明，中學(xué)生的思維發(fā)展有一定的規(guī)律，在思維發(fā)展的關(guān)鍵階段進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕逃深A(yù)，可以取得較好的教學(xué)效果。對(duì)相關(guān)的研究做簡(jiǎn)單的梳理，借助這些研究成果提出一些中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議：在初一至初二階段強(qiáng)調(diào)邏輯思維培養(yǎng);在初三至高一階段加強(qiáng)空間思維的培養(yǎng);在高一至高二階段突出概括能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：思維發(fā)展;數(shù)學(xué)教學(xué);邏輯思維;空間思維;概括能力

心理學(xué)一般把人類的思維分為直觀行動(dòng)思維、具體形象思維、抽象邏輯思維三種形式。前兩種形式適用于學(xué)前兒童和小學(xué)低年級(jí)階段兒童，中學(xué)生的思維形式主要是抽象邏輯思維。心理學(xué)研究表明，中學(xué)生的思維發(fā)展有一定的規(guī)律，在其思維發(fā)展的關(guān)鍵階段進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕逃深A(yù)，可以取得較好的教學(xué)效果。本文對(duì)中學(xué)生思維發(fā)展的相關(guān)研究做簡(jiǎn)單的梳理，并借助這些研究成果提出一些中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議。

一、心理學(xué)對(duì)中學(xué)生思維發(fā)展的研究

（一）中學(xué)生的思維發(fā)展

林崇德教授將抽象邏輯思維分為兩種水平：一種需要具體經(jīng)驗(yàn)的支持，屬于經(jīng)驗(yàn)型抽象邏輯思維;另一種則是從具體上升為理論，又用理論指導(dǎo)去獲得具體知識(shí)，包括歸納過程和演繹過程兩種形式。抽象邏輯思維也可以分為形式邏輯思維和辯證邏輯思維兩個(gè)階段：形式邏輯思維是指依據(jù)形式邏輯法則來推理的思維;辯證邏輯思維是指在形式邏輯思維的基礎(chǔ)上應(yīng)用哲學(xué)的對(duì)立性、轉(zhuǎn)化性、系統(tǒng)性的思維。

一般說來，初中階段的思維形式多是經(jīng)驗(yàn)型，高中階段的思維形式多是理論型。從初二開始，學(xué)生的抽象邏輯思維由經(jīng)驗(yàn)型向理論型轉(zhuǎn)化，到高二，這種轉(zhuǎn)化基本完成。初二明顯表現(xiàn)出飛躍、突變和分化，高二則趨于定型。

全國(guó)青少年心理研究協(xié)作組曾對(duì)全國(guó)23個(gè)省、市、自治區(qū)的初一、初三和高二學(xué)生進(jìn)行大規(guī)模的調(diào)查研究。研究結(jié)果顯示，形式邏輯思維在初一階段就已占據(jù)優(yōu)勢(shì)，到高二階段已經(jīng)基本成熟，說明具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡和轉(zhuǎn)變?cè)谛W(xué)階段就已基本完成。歸納推理、演繹推理在各年級(jí)間存在顯著差異。初一學(xué)生雖已開始具備各種推理能力，但假言、選言、復(fù)合、連鎖等演繹推理和運(yùn)用推理解決問題的能力都還比較弱。與初一學(xué)生比較，初三學(xué)生的推理能力已有質(zhì)的區(qū)別，說明初二是一個(gè)轉(zhuǎn)折期。而辯證邏輯思維在初一階段已經(jīng)初步具備，到高二階段明顯占據(jù)優(yōu)勢(shì)。在性別差異方面，男女生的思維發(fā)展水平?jīng)]有顯著差異。而林鐘敏等的研究也表明中學(xué)男女生在形式邏輯推理能力方面不存在顯著差異。

黃煜烽等對(duì)全國(guó)19個(gè)省、市的三種不同類型學(xué)校的初一、初三、高二學(xué)生進(jìn)行了邏輯推理能力的測(cè)量研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在整個(gè)中學(xué)階段，學(xué)生的推理能力隨著年級(jí)的提高而發(fā)展，而歸納推理的發(fā)展在初二階段尤為迅速;在整個(gè)中學(xué)階段，歸納推理發(fā)展的水平要高于演繹推理，而在演繹推理中，直言推理能力發(fā)展較好，連鎖推理能力發(fā)展較差。

Csapó設(shè)計(jì)了數(shù)字類比、言語(yǔ)類比、數(shù)字序列、言語(yǔ)序列、編碼、排除六項(xiàng)歸納推理測(cè)驗(yàn)，以三、五、七、九、十一年級(jí)學(xué)生為被試。不同年級(jí)學(xué)生的比較結(jié)果表明，歸納推理能力發(fā)展最快的時(shí)期是五年級(jí)到九年級(jí)之間;在三年級(jí)時(shí)學(xué)生就有了歸納推理能力，在九年級(jí)之后歸納推理能力的發(fā)展只有輕微的變化。

在形式邏輯上，假言推理一般有兩種形式：一是充分條件的假言推理，即以一個(gè)充分條件的假言判斷為前提的推理，表現(xiàn)形式為“如果……則……”;二是必要條件的假言推理，即以一個(gè)必要條件的假言判斷為前提的推理，表現(xiàn)形式為“只有……才……”。李丹等對(duì)小學(xué)三年級(jí)到初中三年級(jí)的495名被試進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：假言推理能力在小學(xué)三年級(jí)就有初步表現(xiàn)，但真正掌握要到初中一年級(jí)，在小學(xué)六年級(jí)、初中一年級(jí)之間出現(xiàn)加速現(xiàn)象;總的看來，發(fā)展階段比直言三段論式推理推遲一年左右。

滕洪昌等對(duì)從小學(xué)到大學(xué)的學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，發(fā)現(xiàn)被試對(duì)充分、必要條件假言推理的掌握存在差異，即對(duì)必要條件的掌握明顯高于充分條件，這說明學(xué)生假言推理能力的發(fā)展是不平衡的。但從發(fā)展的角度來講，學(xué)生的推理能力逐漸提高，有持續(xù)上升的趨勢(shì)，初中生和高中生沒有顯著差異。

劉志雅等用“和”“或”“當(dāng)且僅當(dāng)……那么……”“如果……則……”“只有……才……”等文字呈現(xiàn)形式對(duì)各個(gè)階段的學(xué)生進(jìn)行了復(fù)合命題測(cè)試。結(jié)果顯示，在兒童期、少年期和成年期中，后兩個(gè)時(shí)期相對(duì)于前一個(gè)時(shí)期，復(fù)合命題的理解能力獲得顯著發(fā)展。各種命題類型的理解表現(xiàn)出不同的發(fā)展特點(diǎn)：聯(lián)言命題的理解在小學(xué)階段已基本完備;選言命題和充要條件命題的理解在小學(xué)階段也得到初步發(fā)展，在初中和大學(xué)階段獲得顯著發(fā)展并達(dá)到較高的水平;充分條件命題和必要條件命題的理解基本上要到初中階段才初步具備，需要終身發(fā)展并難以達(dá)到較高的水平。

李云峰等發(fā)現(xiàn)，直言三段論式正誤辨別過程以具體內(nèi)容為材料時(shí)，中學(xué)生在各個(gè)年齡階段有顯著差異，但采用相同命題時(shí)，中學(xué)生并沒有表現(xiàn)出年齡特點(diǎn)。這說明內(nèi)容的效應(yīng)隨年齡增長(zhǎng)而增強(qiáng)。在初一時(shí)，女生的反應(yīng)時(shí)間要長(zhǎng)于男生，但正確率較高。他們認(rèn)為，高一至大一是關(guān)鍵期，年齡發(fā)展差異在此階段尤為顯著;同時(shí)也是男女思維出現(xiàn)差異的重要時(shí)期。

郝嘉佳等選取小學(xué)二年級(jí)、小學(xué)五年級(jí)、初二和高二約1900名學(xué)生，對(duì)其具體形象思維、形式邏輯思維和抽象邏輯思維的發(fā)展模式和軌跡進(jìn)行全面描繪。對(duì)具體形象思維，主要從心理旋轉(zhuǎn)和空間想象兩個(gè)方面測(cè)量;對(duì)形式邏輯思維，主要從歸納推理和演繹推理兩個(gè)方面測(cè)量。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的視知覺空間能力和推理能力在11歲之前逐漸發(fā)展，從11歲開始發(fā)展變得緩慢。這表明，11歲之前是學(xué)生思維發(fā)展最為迅速的階段，也是培養(yǎng)學(xué)生思維的敏感期。之后，學(xué)生的各種思維表現(xiàn)出不同的發(fā)展模式。形象歸納推理能力從小學(xué)二年級(jí)到高二一直保持上升的趨勢(shì);心理旋轉(zhuǎn)和抽象演繹推理能力高二顯著高于初二，小學(xué)五年級(jí)高于小學(xué)二年級(jí)，而初二與小學(xué)五年級(jí)之間沒有顯著差異，這表明初二之前都是平緩期，初二之后進(jìn)入發(fā)展期。與此相反，空間想象、抽象歸納推理與形象演繹推理能力，初二顯著高于小學(xué)五年級(jí)，小學(xué)五年級(jí)顯著高于小學(xué)二年級(jí)，但初二與高二之間沒有顯著差異，這表明初二之后進(jìn)入平緩期，初二之前都是發(fā)展期。因辯證思維到中學(xué)階段才開始發(fā)展，基于此，研究發(fā)現(xiàn)，高二顯著高于初二。

“青少年科學(xué)思維能力的發(fā)展與培養(yǎng)”課題組采取定性研究與定量研究相結(jié)合的方式，綜合應(yīng)用文獻(xiàn)法、測(cè)驗(yàn)法，研究了青少年的思維發(fā)展。結(jié)果顯示，高中生已經(jīng)具備了抽象思維能力，但還沒有成熟。抽象思維方面，邏輯推理能力較強(qiáng)，分析綜合能力較弱，而抽象概括能力更弱;男女生之間存在差異但不顯著，男生高于女生。中學(xué)生的形象思維能力隨著年齡的增長(zhǎng)而不斷發(fā)展，但仍存在關(guān)鍵期和成熟期。從初三到高一這一階段是中學(xué)生形象思維能力迅速發(fā)展的時(shí)期，高二趨于成熟。而且，形象思維能力存在性別差異：初一、初二時(shí)并無明顯差異，但初三時(shí)男生的發(fā)展速度明顯高于女生;男生的形象思維能力在高一階段基本成熟，女生到高二階段才會(huì)基本具備形象思維能力。

總之，中學(xué)生的思維發(fā)展呈逐步上升態(tài)勢(shì)，思維的不同形式存在一些發(fā)展的關(guān)鍵期。

（二）思維能力的培養(yǎng)

張緒揚(yáng)認(rèn)為，培養(yǎng)思維能力不應(yīng)該只限于激發(fā)腦力活動(dòng)或興趣，良好的思維方法與習(xí)慣尤為重要。他將思維能力分為4個(gè)維度，作為實(shí)驗(yàn)的因變量：（1）思維的速度，即單位時(shí)間內(nèi)正確完成的心理操作量;（2）思維的廣度，即思路的開闊程度，表現(xiàn)在解決問題時(shí)，能從多方面攝取信息，考慮到與問題有關(guān)的各方面的程度;（3）概括力，即通過分析綜合、抽象概括，從具體事實(shí)和材料中得出一般原理和結(jié)論的能力;（4）發(fā)揮力，即發(fā)現(xiàn)一事物與其他事物的聯(lián)系，在已有信息的基礎(chǔ)上產(chǎn)生大量新信息的能力。他根據(jù)英國(guó)學(xué)者E.Debono的思維課改編教材，在實(shí)驗(yàn)班利用課外活動(dòng)時(shí)間開設(shè)思維課，每周1課，共上10周。該教材共10章，所教的思維方法包括：要看到事物的正面和反面，不要簡(jiǎn)單地接受或拒絕，而要全面地考慮一種情境的所有因素;要有一些為人們廣泛理解并共同遵守的規(guī)則;要注意一種行動(dòng)的眼前后果和長(zhǎng)遠(yuǎn)后果，弄清行動(dòng)的目的;在行動(dòng)之前，要有一個(gè)明確的計(jì)劃;要按問題的重要性排列順序，優(yōu)先解決比較重要的問題;要找到解決問題的新思路，不要拘泥于老一套的辦法;在任何時(shí)候都必須做決定;要放棄自己的觀點(diǎn)去考慮別人的觀點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這樣的訓(xùn)練能夠提高思維的速度、開闊思維的廣度、增強(qiáng)概括力，對(duì)思維能力的培養(yǎng)有明顯的促進(jìn)作用。

蔡曉暉等也做了類似的研究，他們的實(shí)驗(yàn)教材是根據(jù)英國(guó)學(xué)者大衛(wèi)·劉易斯和美國(guó)學(xué)者詹姆斯·格林的訓(xùn)練材料改編的，主要特點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力。改編后的教材共分5講：第一講是概述;第二講是如何分析內(nèi)容結(jié)構(gòu);第三講是如何更有效地學(xué)習(xí);第四講是如何更有效地解決問題;第五講是如何更好地決策。初一和高一的學(xué)生經(jīng)過12周、每周1次課（45分鐘）的訓(xùn)練，結(jié)果顯示，中學(xué)生在掌握了一定的思維策略后，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)提高其智能水平，在一定范圍內(nèi)，思維能力訓(xùn)練的效果是可以遷移的。

趙愛蘭對(duì)初二的學(xué)生專門開設(shè)了7次思維課，內(nèi)容涉及：未來世界的特征及對(duì)人才的要求;創(chuàng)造性思維的種類、特征;中學(xué)生最優(yōu)學(xué)習(xí)方法，選擇最優(yōu)學(xué)習(xí)方法的原則及六環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)法;快速閱讀及自學(xué)方法;創(chuàng)造性思維訓(xùn)練（通過11個(gè)例題學(xué)習(xí)6種類型創(chuàng)造性思維方法）。實(shí)驗(yàn)表明，創(chuàng)造性思維的專門訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的發(fā)散思維能力與邏輯推理能力。

林崇德教授把思維品質(zhì)訓(xùn)練看作發(fā)展學(xué)生思維能力的突破口。思維品質(zhì)包括思維的敏捷性、靈活性、深刻性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性。思維的敏捷性方面，采用的訓(xùn)練策略是要求學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中提高速度，掌握一些運(yùn)算方法。思維的靈活性方面，主要采用一題多解的方式，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維。思維的深刻性方面，一是要求學(xué)生學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，二是訓(xùn)練學(xué)生的概括能力;三是培養(yǎng)學(xué)生的推理能力特別是連續(xù)推理能力。思維的批判性方面，主要訓(xùn)練學(xué)生的反思能力，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平。思維的獨(dú)創(chuàng)性方面，采用學(xué)生獨(dú)立編題，解答開放題等方式展開訓(xùn)練。

二、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）在初一至初二階段強(qiáng)調(diào)邏輯思維的培養(yǎng)

大量的心理學(xué)研究表明，初一至初二階段是學(xué)生邏輯思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。如果在這個(gè)階段不注意培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，即使在后面加強(qiáng)培養(yǎng)，也可能事倍功半。

這里，我們不得不提及2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》和2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》。兩者都極大地削弱了初中平面幾何證明的內(nèi)容，降低了邏輯推理的要求。這個(gè)做法顯然存在很大的問題：在培養(yǎng)邏輯思維能力最佳的年齡階段削弱了培養(yǎng)邏輯思維能力最佳的內(nèi)容載體，產(chǎn)生的后果是嚴(yán)重的。我們希望，這樣的過失在新一輪課程改革中不再重演。

邏輯思維的培養(yǎng)主要依托邏輯推理的訓(xùn)練。按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的界定，邏輯推理包括演繹推理和合情推理（歸納與類比）。因此，要對(duì)初一至初二階段的學(xué)生加強(qiáng)這兩類推理的訓(xùn)練。

1.在平面幾何教學(xué)中嚴(yán)格訓(xùn)練演繹推理。

一般說來，平面幾何問題都是封閉性問題，即條件充分，結(jié)論明確，解答就是依據(jù)已有的定理、公理、公式等，從條件推出結(jié)論，整個(gè)過程都是演繹推理。在教學(xué)中，可以采用由淺入深、循序漸進(jìn)的方式訓(xùn)練學(xué)生。比如，分為如下幾個(gè)階段：（1）教師寫出證明步驟，讓學(xué)生填寫每一步推理的依據(jù);（2）教師寫出證明步驟，但其中缺少某一步，由學(xué)生補(bǔ)全這一步;（3）教師寫出證明步驟，但其中至少缺少某兩步，由學(xué)生補(bǔ)全缺少的步驟;（4）教師給出題目，由學(xué)生自己完成全部證明過程。

此外，完全有必要給學(xué)生講一點(diǎn)邏輯規(guī)則。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在初中“圖形與幾何”部分有一個(gè)關(guān)于“定義、命題、定理”的內(nèi)容，涉及的就是邏輯規(guī)則。這個(gè)內(nèi)容可以放到引入證明的階段，讓學(xué)生提前知道簡(jiǎn)單的邏輯規(guī)則，訓(xùn)練學(xué)生用邏輯語(yǔ)言表達(dá)命題之間的關(guān)系，養(yǎng)成推理意識(shí)。例如，命題1：如果一個(gè)數(shù)是正整數(shù)，則它是有理數(shù);命題2：如果一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，則它是實(shí)數(shù);命題3：如果一個(gè)數(shù)是正整數(shù)，則它是實(shí)數(shù)。將上述命題用邏輯語(yǔ)言寫出推理的格式如下：若x→y，y→z，則x→z。

2.加強(qiáng)歸納推理與類比推理的訓(xùn)練。

根據(jù)顧泠沅教授的研究，在解題過程中訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理能力，可以引導(dǎo)學(xué)生首先對(duì)已知信息進(jìn)行表征，然后對(duì)共同特性進(jìn)行識(shí)別與歸納，在大腦中形成猜想，最后進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。樣例的典型性和多樣性是影響學(xué)生歸納推理準(zhǔn)確性的重要因素。選擇的題目典型性高，就表明對(duì)這個(gè)類型的題目代表性高，從而，將特征歸納推理到整個(gè)類別時(shí)，就會(huì)有較高的準(zhǔn)確性。相較于典型性，多樣性的作用不那么穩(wěn)定：有時(shí)，樣例之間的多樣性太高反而會(huì)對(duì)學(xué)生造成壓力。

例1平面上n條直線兩兩相交，其中任意三線不共點(diǎn)。它們能把平面分成多少個(gè)部分？

一般而言，這類問題都是從特殊入手，觀察特殊情形，然后歸納出規(guī)律。設(shè)n條直線把平面分成f（n）個(gè)部分，考察n=1，2，3等特殊情形，可得f（1）=2，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3……由此猜想f（n）=f（n-1）+n=f（n-2）+（n-1）+n=…=2+2+…+（n-1）+n=1+n（n-1）2。

歸納思維的訓(xùn)練在小學(xué)教材中比較常見，因此初中生并不陌生。類比推理的訓(xùn)練在小學(xué)教材中相對(duì)較少，因此在初中階段應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)。類比包括知識(shí)結(jié)論的類比、思想方法的類比等。

比如，教學(xué)“因式分解”內(nèi)容時(shí)，可以有目的地選編一些典型的題目，通過改變其“發(fā)散點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生思考拓展，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力。例如，根據(jù)a2+（x+y）a+xy=（a+x）（a+y）相應(yīng)地可以得出：（1）1+（x+y）+xy=（1+x）（1+y）（當(dāng)a=1時(shí)）;（2）（A+B）2+（x+y）（A+B）+xy=（A+B+x）（A+B+y）（當(dāng)a=A+B 時(shí)）;（3）a2+（A+1）a+A=（a+A）（a+1）（當(dāng)x=A，y=1時(shí)）。

3.開展專門的邏輯思維訓(xùn)練。

在前面的綜述部分已經(jīng)說明，對(duì)學(xué)生開展專門的思維訓(xùn)練確實(shí)能夠產(chǎn)生很好的效果。因?yàn)檫@個(gè)階段正是學(xué)生發(fā)展邏輯推理的最佳時(shí)期，容易塑造，利于催生。因此，如果學(xué)校要打造校本課程，建議設(shè)置一門邏輯推理課程，每周上1節(jié)課，堅(jiān)持下去，定能產(chǎn)生明顯的效果。這種訓(xùn)練不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)任務(wù)，而且是所有學(xué)科共同的教學(xué)任務(wù)，因?yàn)檫壿嬎季S能力的提升會(huì)遷移到所有學(xué)科的學(xué)習(xí)中。

（二）在初三至高一階段加強(qiáng)空間思維的培養(yǎng)

從教材編制的傳統(tǒng)看，初二開設(shè)平面幾何課程，高一開設(shè)立體幾何課程，是有道理的。心理學(xué)的諸多研究也支持這一觀點(diǎn)：初三至高一是發(fā)展空間思維的最佳時(shí)段。

形象思維與空間思維是有區(qū)別的。形象思維是以具體表象為材料的思維，是抽象邏輯思維的基礎(chǔ)。而空間思維可與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中定義的“直觀想象”等價(jià)看待，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！爸庇^想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。”

在教學(xué)中，可以采用多種方式訓(xùn)練學(xué)生的直觀想象：（1）圖形的變換;（2）在復(fù)雜圖形中識(shí)別簡(jiǎn)單圖;（3）圖形的折疊與展開;（4）數(shù)形結(jié)合;（5）圖形與計(jì)算;（6）圖形推理;（7）根據(jù)圖形提出數(shù)學(xué)問題。這些方式都是訓(xùn)練學(xué)生空間思維的有效手段。下面，舉幾個(gè)數(shù)形結(jié)合的例子：

完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2的幾何模型如圖1所示，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的幾何模型如圖2所示。

例2若a、b是小于1的正數(shù)，試證明：a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22。

這是一個(gè)代數(shù)問題，但用代數(shù)的方法證明比較麻煩。其實(shí)，這個(gè)不等式出自一個(gè)幾何模型。如圖3，作邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，分別在AB、AD上取AE=a，AG=b。過E、G分別作EF∥AD、GH∥AB，交DC于F、BC于H。EF與GH交于點(diǎn)O。連接OA、OB、OC、OD、AC、BD，則有OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2。而OA+OC ≥AC，OB+OD ≥BD，即a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥2，（1-a）2+b2+a2+（1-b）2≥2。兩個(gè)式子相加，即得結(jié)論。

（三）在高一至高二階段突出概括能力的培養(yǎng)

1.采用概念形成的方式教學(xué)。

概念形成是指人們對(duì)同類事物中若干不同例子進(jìn)行感知、分析、比較和抽象，歸納概括出這類事物的本質(zhì)屬性，從而獲得概念的方式。顯然，概念的形成本身就是一個(gè)概括的過程，因而，這種教學(xué)方式的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。

概念形成的教學(xué)操作可以為：（1）教師提出一組實(shí)例讓學(xué)生辨認(rèn)，指出它們有哪些共同的屬性;（2）由學(xué)生提出這一組例子的共同成分的假設(shè)，并依據(jù)這些假設(shè)檢驗(yàn)每一個(gè)例子;（3）通過與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相關(guān)觀念聯(lián)系，概括抽象出對(duì)象共同的、本質(zhì)的屬性;（4）給出概念的定義;（5）用正例和反例強(qiáng)化。

例如，教學(xué)“冪函數(shù)”時(shí)，可以摒棄直接給出概念定義的傳統(tǒng)方式，嘗試從學(xué)生熟悉的背景出發(fā)，得到有關(guān)實(shí)例。比如，已知邊長(zhǎng)為x的正方形的面積為y，那么y關(guān)于x的函數(shù)可以表示成什么？得到y(tǒng)=x2后，再給出一組例子y=x、y=x14、y=x3、y=x、y=1x等，讓學(xué)生觀察，歸納出這些函數(shù)的共同特征。最后形成定義，取名為冪函數(shù)。

2.加強(qiáng)解決變式問題的訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)問題的解決不僅需要具體知識(shí)，還要用到一些一般性方法。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生要學(xué)會(huì)概括解題方法，以方法來歸類問題。所以在解題教學(xué)中，可以重點(diǎn)從變式問題出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

例3求y=x+1x，x>0的最小值。

變式1求y=x+1x，x<0的最大值。

變式2求y=2sin x+sin x2，x∈[0，π]的最小值。

變式3已知3x+y=5，x>0，y>0，求xy的最大值。

對(duì)于原題，可以直接運(yùn)用基本不等式得到y(tǒng)=x+1x≥2x·1x=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1x，即x=1時(shí)，y取到最小值。變式1不滿足“正數(shù)”的條件，可以變形為-y=-x+1-x≥2-x·1-x=2，即x=-1時(shí)，y取到最大值—2。變式2由于x∈[0，π]，0

解答一組變式問題，實(shí)質(zhì)是要學(xué)生概括出解決基本不等式問題的通性通法，即“一正二定三相等”，從而發(fā)展學(xué)生的概括能力。

3.開展專門的數(shù)學(xué)抽象訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)抽象是指從一些具體的事物中找出它們的共性，這是需要概括的。通過數(shù)學(xué)抽象的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。當(dāng)然，面對(duì)一類事物，通過觀察，有時(shí)概括出它們的共同屬性并不困難，難的是概括出它們共同的本質(zhì)屬性。換句話說，概括出的可能只是表面的共同屬性，而非內(nèi)在的本質(zhì)屬性。一般說來，數(shù)學(xué)抽象只關(guān)注對(duì)象的數(shù)量特征和圖形特征。這事實(shí)上為數(shù)學(xué)抽象指明了思維的方向。

例4請(qǐng)你觀察下面一組圖形（如圖4），它們有什么共同屬性？你能為這一組圖形取一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿謫幔?/p>

通過觀察，學(xué)生可能會(huì)提出許多觀點(diǎn)，如多邊形、六邊形、六角形等。這些的確是它們的共同屬性，但是，如果只停留在這些屬性層面上，則沒有太大的價(jià)值。進(jìn)一步觀察，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些六邊形比較特殊，它們的三組對(duì)邊都分別平行。類比平行四邊形的定義“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”，這種圖形可以取名為平行六邊形。這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，抽象出了這類圖形的本質(zhì)特征。顯然，觀察者的概括能力在數(shù)學(xué)抽象中起著至關(guān)重要的作用。

*本文系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（中學(xué)）系列文章之十。

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