于道洋 寧連華

【摘 要】 “平衡”是中華傳統(tǒng)文化的重要觀點，也是數(shù)學教學所追求的更高境界.數(shù)學教學中的平衡主要包含了教學內容、教學提示語、課堂處理方式、教學材料選取等方面，從以上幾個角度入手可以對數(shù)學教學當中如何實現(xiàn)精妙的“平衡”展開論述，并結合具體課例詳細闡釋相應的教學設計、教學策略、預期和實際的教學效果.通過教學中各個環(huán)節(jié)的設計，數(shù)學課堂能在動態(tài)平衡中引領學生走向更高的層次.

【關鍵詞】 平衡;啟發(fā)用語;教學材料

1 研究背景

當前，數(shù)學教育工作者在優(yōu)化教學策略、完善教育教學理論、提高教學境界等方面可謂用心良苦.在傳統(tǒng)文化復興和數(shù)學文化日漸引起人們重視的時代背景下，具有中國特色和中國氣派的教學策略、教學風格熱度漸升，逐步進入了研究者的視線.其中，“平衡”這一概念引發(fā)了筆者的濃厚研究興趣，它既是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的要義，又符合我國現(xiàn)代數(shù)學教育的理念、目標與追求：培養(yǎng)學生邏輯推理能力與數(shù)學直覺并重，數(shù)學基本能力與數(shù)學興趣并重，這無疑都體現(xiàn)著一種平衡的意味.因此，筆者將結合個人的教學實踐，從以下幾個方面試圖對數(shù)學教學中“平衡”的運用和把握展開論述和探究.

2 數(shù)學教學“遠與近”的平衡

2.1 教學內容的“遠與近”

著名教育家杜威在他的名著《思維與教學》中寫到：“在地理科里，兒童絕不喜歡研究鄉(xiāng)土的環(huán)境，卻神往于大海高山.在語文科里，他們很不愿意描寫切身的經(jīng)驗，而暢寫著深文奧義……相熟的和相近的本身并不能引起思維，只有拿它們來了解陌生的和相遠的才有用處.”這啟發(fā)我們，在設計教學內容時，應當注意“遠與近”的平衡，也即現(xiàn)實生活中頻繁接觸到的事物與抽象思辨話題的配置比例.為深入闡發(fā)這一分論題，特舉例如下.

筆者在為高中學生講解平面向量時，提到了“建立坐標系”的解題策略.顯然，學生對于高中數(shù)學題目中的各類技巧并無太多興趣，因為這距離他們太“近”了.基于這樣的現(xiàn)實情況，筆者從“數(shù)學哲思”的角度進行了新的教學設計.首先告訴學生，“坐標系絕不僅僅是一種數(shù)學工具，事實上，它教會我們思考問題要從兩個維度出發(fā)：縱向看歷史，橫向看世界.時?；赝c，環(huán)顧不同象限，才能找準人生的坐標”.這番話一出，學生頓時來了興致，因為這距離他們比較“遠”，在平素學習中也從未有過這樣的思索.筆者因勢利導，進一步提出“高中數(shù)學的世界里，我們只見過平面直角坐標系、空間直角坐標系、極坐標系，其實這個大家族里的成員還有球坐標系，柱坐標系等等.你自然會問，不同的坐標系之間可以相互轉換嗎，當然可以.有時候，變換了坐標系，也是變換了一種評價體系和衡量尺度.你無法改變社會的評價，但你可以控制自己內心的標準.我們的生命歷程，就是發(fā)掘、體會更多評價方式的歷程，當我們真正學會了認識自己，才能心安，心定，專注于真正重要的事情”.這引發(fā)了學生更加強烈的思考欲望，最后，筆者回到他們熟悉的“建系”技巧，只不過又將距離拉“遠”了一些：“通過建立坐標系，原來凌亂無序的事物被瞬間統(tǒng)一在了某個系統(tǒng)之內，這一方法才因之成為解題的利器”.至此，學生對于建立坐標系這樣一個平凡技巧的認識煥然一新.

2.2 教學啟發(fā)用語的“遠與近”

在數(shù)學的課堂教學環(huán)節(jié)中，教師常常需要根據(jù)學生掌握情況使用啟發(fā)式教學用語以推進教學進程.每每談到啟發(fā)用語，數(shù)學教育領域研究者們通常想到早在數(shù)千年前孔子的名句“不憤不啟，不悱不發(fā)”，它道出了啟發(fā)式教學的真諦.而筆者此處意在強調這句話的后半部分：舉一隅不以三隅反，則不復也.這句話的字面意思是十分容易理解的，然而，它也恰恰暗示了另外一層含義：不是所有的學生都能舉一反三，這是教學過程中客觀存在的現(xiàn)實情形.這一點應當引起數(shù)學教育工作者的注意，面對領悟能力不同的學生，應當使用“遠近高低各不同”的教學啟發(fā)用語.對于課堂中使用的提示語，筆者舉例如下：

設函數(shù)f（x）=x·2x+x，A0為坐標原點，An為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N*）的點，向量an=∑nk=1Ak-1Ak，i=（1，0），設θn為an與i的夾角，則∑nk=1tanθk=.

在為高三學生講解上述題目時，筆者先提出了一個問題：“這道題的本質是在求什么？”，這是較“遠”的提示語，對于班上學習能力較強的學生，意在啟發(fā)他們透過此題紛繁的符號表達直擊本質.而這對于學生的確難度不低，于是筆者進一步給出稍“近”的提示語：“向量an的坐標實際上只與誰有關？”，如此一來，絕大部分學生都能夠找到解題的切入點.在解題結束后，筆者又給出了一句較“遠”的提示語：“解決這道題目，你們用了哪些提示語來幫助自己推進解題過程？”，這一問法意在啟發(fā)學生做解題后的自我反思，強化元認知，對自己的思維過程進行回溯，從而提高其解題能力.

3 無意識處理與有意識處理的平衡

在數(shù)學教學當中，教師往往習慣于有意識處理，即對題目與知識點進行詳盡的講解.但某些情形下，適度采用無意識處理也許會收到事半功倍之效.例如，在為即將升入高中的學生講解因式分解一節(jié)時，筆者設置了這樣幾道習題：（1）x3-3x2+4;（2）x3-9x+8;（3）x9+x6+x3-3.面對中考成績接近滿分的幾名學生，筆者講解了上述題目的因式分解過程之后，并沒有立刻提出任何問題，而是繼續(xù)講解下一類因式分解方法.因為，筆者希望通過此處的無意識處理，讓學生自然產生好奇：一個多項式能夠進行因式分解的判斷依據(jù)是什么.這比教師進行有意識處理，也就是強行灌輸?shù)男Ч@然會好得多.為了讓這種無意識處理收到預期的效果，我在上述習題的選擇上做了“有意識處理”，即滿足因式分解定理的多項式和不滿足的均選入習題，如此一來，學生在尋找規(guī)律的過程中遭遇到挫折，便自然產生疑問.果然，該講解結束時，學生提問：“起初我找到的規(guī)律是滿足各項系數(shù)和為0的才可以因式分解，但是題目當中出現(xiàn)了反例”.此時，教師再給出因式分解定理，然后進行解釋：“滿足該定理的一定可以因式分解，不滿足的未必不能因式分解，但是有了該定理作為判斷依據(jù)，本身已經(jīng)對解題產生了重要的作用.”至此，無意識處理的作用得到了展現(xiàn)，學生對因式分解的理解也上升了一個臺階.

4 教學材料“新與舊”的平衡

在數(shù)學教學的新課引入環(huán)節(jié)，如何巧妙地利用學生已有的知識引導學生接受新知，是對每一位數(shù)學教育工作者的考驗.在此過程中，新材料與舊知識的取舍和使用比例，無疑決定著引入的效果，因此，教師需要找尋其中的平衡.談到教學材料新與舊的選擇，不能不提到維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，找準學生的最近發(fā)展區(qū)，才能把握好新舊知識之間的平衡.

例如，在為幾名準高一學生講解初升高銜接課當中的乘法公式部分時，筆者事先了解到，他們的中考成績十分優(yōu)異，且已經(jīng)學習過完全立方公式和基本的排列組合知識.因此，筆者做了如下設計：首先請他們寫出（a+b）n，n=2，3，4的各項展開式，并尋找規(guī)律.隨后，將學生找到的各項系數(shù)規(guī)律加以總結規(guī)范，寫出楊輝三角，再以楊輝三角作為新舊知識的交匯點引出二項式定理.對于學生而言，排列組合與完全平方（立方）公式均是舊知識，但他們從未想過兩者之間有何種聯(lián)系.因此，筆者給出這種教學設計的意圖恰恰在于，向學生揭示“二項式定理的本質是用排列組合的方式在各項當中選擇因式參與運算”，從而在學生的新舊知識之間建立聯(lián)系，拓寬他們思考的維度，使學生對數(shù)學產生更為整體化的認識.

5 結語

正所謂“致廣大而盡精微，極高明而道中庸”，中庸一詞的核心恰恰在于不偏不倚的平衡.平衡，不僅是數(shù)學教學中值得深思的關鍵點，更是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化所強調的核心思想，在傳統(tǒng)文化的語境中，平衡，是動態(tài)的，是處于不斷發(fā)展變化當中的.正因如此，平衡是一種難以言傳、難以把握、難以到達的至高境界，也是一種難以量化、難以測評的數(shù)學教學的高水準、高品位.為了縮短與這樣的高境界、高水準之間的距離，筆者認為既應當從傳統(tǒng)文化的養(yǎng)料中挖掘教育智慧為數(shù)學課堂所用，又應當對大量的講課、聽課、評課的課堂案例進行系統(tǒng)總結，從課堂引入、教學用語等方面將“平衡”落實為具體的教學設計，以服務于此后的課堂教學.因為從某種層面而言，數(shù)學教學既是一門科學，又可以稱作一門藝術，其分寸、火候的拿捏，是教學工作者經(jīng)驗、智慧、知識面等多個因素的綜合作用.教無定法，貴在得法，只有在長期的教學實踐中不斷摸索總結，方能達到“運用之妙，存乎一心”的教學境界，也方能在多種教學策略的動態(tài)平衡中引領學生走向更高的層次.

作者簡介 于道洋（1996—），男，山東濟南人，南京師范大學數(shù)學科學學院碩士研究生，研究方向為數(shù)學教育.

寧連華（1966—），男，江蘇豐縣人，南京師范大學數(shù)學科學學院教授，博士生導師，研究方向為數(shù)學教育.