劉藝 趙思林

【摘 要】 孫維剛對(duì)數(shù)學(xué)教育做出了卓越貢獻(xiàn).孫維剛的數(shù)學(xué)教育觀可歸結(jié)為數(shù)學(xué)教育的哲理觀、“五育”并舉的教育觀、結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)觀和自組織的學(xué)習(xí)觀.孫維剛的數(shù)學(xué)教育觀對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)教育有不少啟示：提升教育境界，做到“五育”并舉;運(yùn)用“結(jié)構(gòu)教學(xué)”，培養(yǎng)核心素養(yǎng);滲透數(shù)學(xué)德育，促進(jìn)持續(xù)發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】 孫維剛;數(shù)學(xué)教育觀;結(jié)構(gòu)主義;啟示

數(shù)學(xué)教育理念是教師對(duì)數(shù)學(xué)教育理想和數(shù)學(xué)教育觀念的統(tǒng)稱.孫維剛（1938～2002）（以下簡(jiǎn)稱孫先生）的教育理想是發(fā)展和提高學(xué)生的智力素質(zhì)，造就強(qiáng)大的數(shù)學(xué)頭腦，讓學(xué)生越來越聰明;孫先生的教育觀念是指學(xué)生通過學(xué)習(xí)，把外在的知識(shí)結(jié)構(gòu)變成內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而內(nèi)化為自身的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，最后形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即把學(xué)生培養(yǎng)成“三會(huì)”的數(shù)學(xué)頭腦.孫先生的教育觀點(diǎn)完全符合當(dāng)下《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》的教育理念.孫先生實(shí)行的六年教育大循環(huán)取得的教育效果從實(shí)踐上證明其教育觀念的先進(jìn)性和可行性.研究和借鑒孫先生的數(shù)學(xué)教育觀，對(duì)數(shù)學(xué)“五育”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)都是有益的.

1 孫先生簡(jiǎn)介

孫先生對(duì)數(shù)學(xué)教育做出了卓越貢獻(xiàn)，榮獲全國(guó)首屆蘇步青基礎(chǔ)教育獎(jiǎng)，他曾是北京市第二十二中學(xué)的著名特級(jí)教師.他致力于數(shù)學(xué)教學(xué)改革和學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)，進(jìn)行了三輪從初一年級(jí)至高三年級(jí)的大循環(huán)教學(xué)實(shí)驗(yàn)[1]，成效特別顯著.三輪實(shí)驗(yàn)班近40%的學(xué)生考進(jìn)清華和北大[2].孫先生為什么能成功？他除了高尚師德外，還得益于他有深厚的教育情懷以及以科學(xué)、系統(tǒng)、先進(jìn)的數(shù)學(xué)教育觀念為指導(dǎo).

2 孫先生的數(shù)學(xué)教育觀

2.1 數(shù)學(xué)教育的哲理觀2.1.1 用哲學(xué)的眼光看數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)哲學(xué)是用最普遍的方法思考和研究問題，屬于最高級(jí)的思維形式，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有居高臨下的指導(dǎo)意義.孫先生善于運(yùn)用哲學(xué)的眼光思考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的問題，他曾說過：“某些與數(shù)學(xué)看似毫不相干的知識(shí)其實(shí)和數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科都有著深刻的聯(lián)系，所謂同出一轍.”[3]因?yàn)樗痰膶W(xué)生學(xué)會(huì)了舉一反三和觸類旁通，懂得哲學(xué)的思想和智慧，懂得具有普遍性學(xué)習(xí)方法[4]和解題方法，因此他還通過教數(shù)學(xué)讓學(xué)生領(lǐng)悟物理學(xué)、化學(xué)、生物、語文等其他學(xué)科的學(xué)法，他的學(xué)生不僅獲全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽大獎(jiǎng)，而且也獲得化學(xué)、物理的全國(guó)大獎(jiǎng).孫先生的教學(xué)理論有兩個(gè)假設(shè)：一是各學(xué)科的思維起點(diǎn)幾乎是相同的，如質(zhì)疑或問題;二是各學(xué)科的思維結(jié)構(gòu)、思維規(guī)律和思維方法等是相似或相通的.據(jù)此可提煉出4種基本學(xué)習(xí)能力模型：發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的能力，選擇研究角度的能力，認(rèn)識(shí)知識(shí)聯(lián)系的能力，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并制作知識(shí)聯(lián)系導(dǎo)圖的能力[5].“建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并制作知識(shí)聯(lián)系導(dǎo)圖”實(shí)質(zhì)上是學(xué)生形成了相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，這4種學(xué)習(xí)能力可簡(jiǎn)化為：發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象（問題），選擇研究角度（探究），建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（知識(shí)），形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)（經(jīng)驗(yàn)）.這4種學(xué)習(xí)能力也是一種數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的生成路徑，即從發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的過程中捕捉問題，由問題引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)問題的多角度探究，由探究獲得知識(shí)進(jìn)而建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，最終把形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變?yōu)樽约核季S的經(jīng)驗(yàn).從而，此生成路徑可簡(jiǎn)化為“問題—探究—知識(shí)—經(jīng)驗(yàn)”.用哲學(xué)的眼光看，這個(gè)生成路徑其實(shí)包含了數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的生成模式.

2.1.2 用辯證唯物主義的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)辯證唯物主義有四大觀點(diǎn)：“世界是物質(zhì)的”（物質(zhì)性），“物質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的”（運(yùn)動(dòng)性），“運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的”（規(guī)律性），“規(guī)律是可認(rèn)知的”（認(rèn)知性）.辯證唯物主義這四大觀點(diǎn)用到數(shù)學(xué)里，就得到“世界的物質(zhì)性”對(duì)應(yīng)于“數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí)”，因?yàn)閿?shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象;“物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)性”對(duì)應(yīng)于“數(shù)學(xué)里變量、函數(shù)變化觀點(diǎn)”;“運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性”對(duì)應(yīng)于“數(shù)學(xué)思維的規(guī)律性”和“數(shù)學(xué)關(guān)系的規(guī)律性——公理、定理、公式、法則等”;“規(guī)律的認(rèn)知性”對(duì)應(yīng)于“數(shù)學(xué)是可認(rèn)知、可探究、可發(fā)現(xiàn)的”.如果把辯證唯物主義觀點(diǎn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)里，則可得到數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于現(xiàn)實(shí)情境或問題，教學(xué)過程是一個(gè)多變量參與的、復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循教學(xué)規(guī)律、學(xué)習(xí)規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)提倡認(rèn)知學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).孫先生在教學(xué)中適時(shí)地把一些辯證唯物主義觀點(diǎn)介紹給學(xué)生，其目的是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與辯證唯物主義的內(nèi)在聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)思維的境界和品質(zhì).孫先生認(rèn)為，學(xué)生若從系統(tǒng)、變化、聯(lián)系、規(guī)律、認(rèn)知的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)，學(xué)生就會(huì)把數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想看成“森林”中充滿生命活力的“樹木”.這樣一來，數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想就像“樹木”和“森林”一樣迸發(fā)生命活力.“森林”即系統(tǒng)，數(shù)學(xué)亦即系統(tǒng)，數(shù)學(xué)教學(xué)仍是系統(tǒng).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)是系統(tǒng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是系統(tǒng)的學(xué)習(xí).對(duì)數(shù)學(xué)中每個(gè)概念、定理、公式等我們都站在系統(tǒng)的高度來教、來學(xué)，這樣就易教、易學(xué)了.由數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、和諧性知，數(shù)學(xué)中的不同知識(shí)、方法、思想往往具有“普遍聯(lián)系性”，數(shù)學(xué)的發(fā)展一般是先發(fā)現(xiàn)事物的特殊結(jié)論，然后給予論證，再將得到的結(jié)論去推廣、認(rèn)識(shí)事物的一般情況.2.1.3 用“方法論”看待和處理數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題方法論是關(guān)于方法的學(xué)問，是“按規(guī)律辦事”的規(guī)律，是通式通法.孫先生因?yàn)榭偸钦驹谡軐W(xué)和“方法論”的高度進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)教學(xué)，所以他能夠教授數(shù)學(xué)中的通用方法，并能掌握數(shù)學(xué)教學(xué)的普遍規(guī)律.孫先生重視方法論的教學(xué)，善于講方法的方法，講普遍、通用、樸實(shí)、自然的數(shù)學(xué)方法，不太看重一招一式，也不拘限于一招一式，非常重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，一直強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的深刻理解代替反復(fù)練習(xí)[6].孫先生認(rèn)為，教學(xué)要反映知識(shí)間的聯(lián)系和規(guī)律，世界上各種事物的內(nèi)部和外部都存在著各種各樣的聯(lián)系，人類歸納、總結(jié)這些聯(lián)系和聯(lián)系中的規(guī)律，就得到了知識(shí)結(jié)構(gòu)[7].因此，孫先生常給學(xué)生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)問題”“敢提問題”“會(huì)提問題”的機(jī)會(huì)，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)“向知識(shí)提問”“向數(shù)學(xué)方法提問”的方法.他把中學(xué)數(shù)學(xué)的全部知識(shí)和解題方法總結(jié)為4個(gè)大規(guī)律、15個(gè)中規(guī)律、30個(gè)小規(guī)律[4]，真是把整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)講“薄”了、學(xué)“薄”了，這顯然有利于學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用這些規(guī)律去解決問題，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn).孫先生指出：“真正可靠的解題思考規(guī)律的形成，應(yīng)當(dāng)是在‘多解歸一基礎(chǔ)上，即在挖出一道題目的不同解法的共同點(diǎn)的基礎(chǔ)上，再比較一批題目各自的共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)的一致性，從而形成普適性的解題思考規(guī)律.”[8]他為學(xué)生指明了數(shù)學(xué)解題的“三求”境界：“求熟悉（一題多解），求共性（多解歸一），求規(guī)律（多題歸一）”.

2.2 “五育”并舉的教育觀

“教”與“學(xué)”是手段與目的的關(guān)系，教是手段，學(xué)是目的，教為學(xué)服務(wù).“教學(xué)”與“教育”也是手段與目的的關(guān)系，教學(xué)是手段，育人是目的，教學(xué)為教育服務(wù).教學(xué)和教育的本質(zhì)都是育人.孫先生不為教學(xué)而教學(xué)，而是以教育為目的，并真正落實(shí)“五育”（德智體美勞），讓學(xué)生在品德素養(yǎng)、智力素養(yǎng)、身心素養(yǎng)、藝術(shù)素養(yǎng)、勞動(dòng)素養(yǎng)等方面得到全面而優(yōu)異的發(fā)展.

孫先生認(rèn)為德育居“五育”之首，具有統(tǒng)領(lǐng)“五育”之作用，并用自己高尚師德“潤(rùn)物細(xì)無聲”地影響著學(xué)生，秉持“先做人，再做學(xué)問”的育人原則，致力于把學(xué)生培養(yǎng)成品德高尚、學(xué)問優(yōu)良的人.孫先生當(dāng)班主任確立的建班方針是“做誠(chéng)實(shí)、正派、正直的人;做有遠(yuǎn)大理想（為人民多做貢獻(xiàn)）的人;做有豐富感情（使別人生活得更幸福）的人.”[9]關(guān)于智育，孫先生認(rèn)為知識(shí)是需要的，但更需要的是駕馭知識(shí)的能力，其本質(zhì)是高超的思維水平，是智力素質(zhì)[10].他將課堂作為發(fā)展學(xué)生智力素質(zhì)的主渠道，從以知識(shí)為目標(biāo)轉(zhuǎn)移到造就一個(gè)強(qiáng)大的頭腦，把不聰明的孩子變聰明起來，讓聰明的更加聰明[11].孫先生的教學(xué)自始至終是將學(xué)生思維的發(fā)展和培養(yǎng)放在首位，他經(jīng)常說：聰明的頭腦要有高水平的思維，高水平的思維是在傳輸和汲取人類智慧結(jié)晶的知識(shí)的教與學(xué)中形成的[4].孫先生特別重視體育，他用數(shù)學(xué)、物理學(xué)等知識(shí)教同學(xué)們游泳、打籃球、打排球和練田徑的技術(shù)和原理，組織班內(nèi)小組間的籃球賽、帶全班去游泳，每天放學(xué)后女生要跑800米，男生跑1500米.美育方面，孫先生講音樂理論，演奏器樂，教大家唱歌、排練合唱，每年舉行文藝演出等[12].孫先生每天和學(xué)生一起掃地、擦桌子，大掃除就搶著干臟活，帶動(dòng)學(xué)生積極參與勞動(dòng)、師生搶著勞動(dòng)，逐步形成了勞動(dòng)光榮、熱愛勞動(dòng)的良好風(fēng)尚.由此可見，孫先生是實(shí)踐“五育”的典范.

2.3 結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)觀

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于讓學(xué)生建構(gòu)良好的以數(shù)學(xué)“四基”為素材的認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系和完整的結(jié)構(gòu).“數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象是代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).孫先生的教學(xué)注重站在系統(tǒng)的高度，揭示知識(shí)的本質(zhì)與聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)以知識(shí)為載體，把思維能力的提高、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展和完善作為根本目的，以造就數(shù)學(xué)的頭腦.孫先生由多年教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)總結(jié)提煉出“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”——使知識(shí)規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律得到融洽結(jié)合，使知識(shí)學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)、素養(yǎng)發(fā)展得到同步向前的教學(xué)結(jié)構(gòu)[7].“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”可提煉為結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)觀.

學(xué)生從外在知識(shí)結(jié)構(gòu)通過教與學(xué)獲得認(rèn)知結(jié)構(gòu)，需要通過同化或順應(yīng)過程.把知識(shí)變成學(xué)生的認(rèn)識(shí)，一定要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從知識(shí)結(jié)構(gòu)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)，需要遵循教學(xué)邏輯、學(xué)習(xí)邏輯和認(rèn)知邏輯.教學(xué)邏輯在照顧學(xué)情的前提下，以相關(guān)的教學(xué)理論、教學(xué)模式、教學(xué)方法指導(dǎo)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成;學(xué)習(xí)邏輯和認(rèn)知邏輯應(yīng)體現(xiàn)主體參與、操作感知、意義建構(gòu)、認(rèn)知理解、知識(shí)遷移、形成圖式等大腦內(nèi)部加工過程.因此，教學(xué)邏輯和學(xué)習(xí)邏輯的遵守需要考慮認(rèn)知沖突的設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)和學(xué)生深度思維的參與，還要考慮學(xué)習(xí)材料的組織及呈現(xiàn)的時(shí)機(jī)和方式.

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是個(gè)體經(jīng)歷心智操作和心力操作后獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是指?jìng)€(gè)體理解并記住了的數(shù)學(xué)信息[13].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是新舊經(jīng)驗(yàn)互動(dòng)、調(diào)適、內(nèi)化并增值成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程[14].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的反思、改造、完善的結(jié)果.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的標(biāo)志是在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)基礎(chǔ)上生成“三會(huì)”素養(yǎng)結(jié)構(gòu).“三會(huì)”素養(yǎng)概括了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精髓：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光（即抽象、一般性地看問題）觀察世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維（即邏輯思維和非邏輯思維）思考世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語言（即數(shù)學(xué)話語系統(tǒng)，包括數(shù)學(xué)模型）表達(dá)世界.其實(shí)就是一個(gè)人看問題、思考問題、解決問題的習(xí)慣，這些是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之后的積淀[15].

在結(jié)構(gòu)主義教學(xué)觀指導(dǎo)下，孫先生不搞題海戰(zhàn)術(shù)，不搞猜題押題，不加課，不占用雙休日，甚至不給學(xué)生留書面家庭作業(yè)，而是充分體現(xiàn)了李大潛院士推崇的“少慢精深”的教學(xué)觀.“少”，即由多化少，由薄到厚;“慢”，即細(xì)咽慢嚼，反復(fù)思考;“精”，即精講精練，吸收精華;“深”，即深度學(xué)習(xí)（思維），深入淺出.孫先生往往在一節(jié)課里只講一道題，這道題是他先下“題?！?，即先做10道題，從中精選出一道思維價(jià)值高、代表性強(qiáng)、精彩紛呈的“好題”，要求學(xué)生想出盡可能一題多解，達(dá)到熟練;然后再帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)掘不同解法的共同本質(zhì)和必經(jīng)之路，即多解歸一;最后總結(jié)一些題目的共同特點(diǎn)，抽象出思考規(guī)律，即多題歸一[4].對(duì)于講題，孫老師認(rèn)為要講出解題步驟是“怎么想出來的”，否則對(duì)提高學(xué)生的解題能力效果不大，甚至起消極作用[5].孫先生經(jīng)常采用“一題多解、多解歸一、多題歸一”的教學(xué)方式.如“一元一次方程的應(yīng)用”的教學(xué)，孫先生只用了一個(gè)例題，并對(duì)此例題采用多種角度的思考，得到9種解法;引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)：發(fā)現(xiàn)代數(shù)的方法（列方程的方法）包含了算術(shù)的方法，將算術(shù)法和代數(shù)法很好地結(jié)合起來;此外，在他的例題中還自然而然地列出了分式方程[10].在教學(xué)中，孫先生還鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)任何細(xì)節(jié)都追根溯源，并使其成為根深蒂固的習(xí)慣.如，有學(xué)生問“為什么要給整數(shù)和分?jǐn)?shù)的總體起名為‘有理數(shù)”時(shí)，他會(huì)耐心、科學(xué)的解釋到“這是歷史上日本人的一個(gè)錯(cuò)誤翻譯，rational number中的rational應(yīng)該譯它的第二個(gè)意思：能寫成兩個(gè)整數(shù)之比的，而不應(yīng)譯作合理的，因此整數(shù)和分?jǐn)?shù)的整體名為‘可比數(shù)更令人信服.”孫先生不僅沒有扼殺學(xué)生的思維，而且抓住了愛國(guó)主義教育機(jī)會(huì)[3].很多教師會(huì)認(rèn)為，上述“錯(cuò)誤翻譯”與數(shù)學(xué)無關(guān);但孫先生認(rèn)為，這樣做可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，并能收到數(shù)學(xué)育人的效果.

此外，孫先生把初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)看成一個(gè)整體，視為一個(gè)更大的結(jié)構(gòu)，并對(duì)初、高中數(shù)學(xué)大循環(huán)系統(tǒng)做了無縫銜接.孫先生在推進(jìn)素質(zhì)教育難以前進(jìn)的大背景下，統(tǒng)籌整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材，鼓足承擔(dān)教學(xué)改革風(fēng)險(xiǎn)的勇氣，實(shí)施了初一到高三的大循環(huán)教學(xué)，使得初、高中數(shù)學(xué)上下貫通，有機(jī)銜接.用半年多一點(diǎn)兒的時(shí)間，學(xué)完初中三年全部數(shù)學(xué)，同年參加中考數(shù)學(xué)，班平均成績(jī)超各校初三班級(jí)平均分12分之多;還在初中提前學(xué)完高中課程，在高中還講了不少大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí).這是典型的不只是為考試而教，而是為學(xué)生今后有更大發(fā)展而教的先進(jìn)理念.

2.4 自組織的學(xué)習(xí)觀

“自組織”是大自然最普遍的規(guī)律之一.從而，“自組織”也是學(xué)習(xí)之“道”.人的學(xué)習(xí)需要“他組織”，但從本質(zhì)上講更需要“自組織”，或者說最需要“自組織”.人類的學(xué)習(xí)是一個(gè)“熵減”的過程.系統(tǒng)論認(rèn)為，“自組織”是個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)達(dá)到“熵減”目的的最好方法之一.孫先生科學(xué)地運(yùn)用了這一學(xué)習(xí)之“道”.其具體做法是，強(qiáng)調(diào)激發(fā)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索并發(fā)現(xiàn)課本上沒有的知識(shí)、方法和規(guī)律，并利用各種條件給學(xué)生創(chuàng)造自主學(xué)習(xí)、合作探究的機(jī)會(huì);逐漸形成學(xué)生“想”在老師前面、“做”在老師前面、“說”在老師前面、“寫”在老師前面的自主學(xué)習(xí)的學(xué)風(fēng);逐漸養(yǎng)成自我管理、自主學(xué)習(xí)、自我監(jiān)督的良好習(xí)慣.

通過理想信念教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).“遠(yuǎn)大理想將產(chǎn)生刻苦學(xué)習(xí)的強(qiáng)大動(dòng)力;反過來智力素質(zhì)提高，使人看得遠(yuǎn)，有助于形成正確的人生觀，提高思想品德素質(zhì).”[5]孫先生認(rèn)為，讓學(xué)生把“要我學(xué)”變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”能有效激發(fā)內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，進(jìn)而養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣.孫先生每接手一個(gè)新班都會(huì)花一周左右時(shí)間進(jìn)行入學(xué)教育，其重點(diǎn)是讓學(xué)生樹立“為人民多做貢獻(xiàn)”的理想和信念，因?yàn)檫@是讓學(xué)生產(chǎn)生自信力、意志力、行動(dòng)力、堅(jiān)持力的不懈動(dòng)力源泉.

給學(xué)生創(chuàng)造自主探索的機(jī)會(huì)，指導(dǎo)學(xué)生們自己動(dòng)手去發(fā)現(xiàn)、歸納、證明、總結(jié)、完成.在教學(xué)中孫先生想盡辦法培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和探索精神，讓學(xué)生積極參與教學(xué)，充分思考;鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索、求異創(chuàng)新、發(fā)散思維、各抒己見，鍛煉多向思維;又在求異思維的基礎(chǔ)上，注意概括，鍛煉求同思維[5]，促進(jìn)了學(xué)生之間才智的相互欣賞和借鑒.孫先生對(duì)學(xué)生有兩個(gè)要求：一是超前思維，向老師挑戰(zhàn).他要學(xué)生時(shí)時(shí)搶在老師前面，猜想定理的結(jié)果.如果師生之間有分歧或想法與教材有分歧，就要試著去推翻老師或教材的結(jié)論.二是不做只會(huì)摘取果實(shí)的人.對(duì)每個(gè)定理、每個(gè)公式都要求自己動(dòng)手歸納、推導(dǎo)、證明，經(jīng)歷過程，熟知坎坷.孫先生堅(jiān)持學(xué)生自己去解每道例題，自己證明每個(gè)定理，自己推導(dǎo)每個(gè)公式.這實(shí)質(zhì)上是讓學(xué)生“自組織”地學(xué)習(xí)、思考和解決問題.

3 思考與啟示

3.1 提升教育境界，做到“五育”并舉

教學(xué)和教育的本質(zhì)都是育人.因此，“為育人而教”“為育人而學(xué)”是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有之道.育人的目的在于“五育”，即修德、啟智、強(qiáng)體、善勞、愛美.“五育”就像五支“火箭”，能夠提升學(xué)生的品位、品質(zhì)和德性，助推學(xué)生全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)地發(fā)展.通過發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，去激活學(xué)生“五育”的慧根.用系統(tǒng)的觀點(diǎn)和方法去建構(gòu)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)和素養(yǎng)系統(tǒng)，讓學(xué)生會(huì)用系統(tǒng)的眼光看數(shù)學(xué)、看“五育”，會(huì)用系統(tǒng)的思維思考數(shù)學(xué)之道、思考“五育”之術(shù)，真正做到“五育”協(xié)調(diào)發(fā)展、共同進(jìn)步.

3.2 運(yùn)用“結(jié)構(gòu)教學(xué)”，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”對(duì)當(dāng)下的課改和教學(xué)仍具指導(dǎo)意義和可操作性.孫先生的“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”實(shí)質(zhì)上是以知識(shí)結(jié)構(gòu)為起點(diǎn)、以認(rèn)知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)為內(nèi)在心理機(jī)制為中介、以素養(yǎng)生成為目標(biāo)的教學(xué)，形成了“知識(shí)結(jié)構(gòu)→認(rèn)知結(jié)構(gòu)→經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)→‘三會(huì)素養(yǎng)”的“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”.其中，“知識(shí)結(jié)構(gòu)”不是一個(gè)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單（機(jī)械）堆砌，而是以“核心知識(shí)”“基本技能”“通用方法”“普適思想”為支柱構(gòu)建的“知識(shí)結(jié)構(gòu)”.“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”是外在“知識(shí)結(jié)構(gòu)”與個(gè)體內(nèi)部“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”互動(dòng)、融合的結(jié)果，并且“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”遵循“四重邏輯”（即“知識(shí)邏輯”“教學(xué)邏輯”“學(xué)習(xí)邏輯”“認(rèn)知邏輯”）的約束.即是說，理想的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性（系統(tǒng)性）與“學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、認(rèn)知加工能力及可接受性”之間把握好平衡.布魯納的“結(jié)構(gòu)教學(xué)”和孫先生的教學(xué)實(shí)踐（實(shí)驗(yàn)）都表明，結(jié)構(gòu)教學(xué)法有利于讓學(xué)生系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)用系統(tǒng)的眼光和系統(tǒng)的思維去分析問題、解決問題，最終生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)即“三會(huì)”素養(yǎng).

3.3 滲透數(shù)學(xué)德育，促進(jìn)持續(xù)發(fā)展

只有通過“德育”，才能堅(jiān)定理想信念，才能確立人的正確發(fā)展方向，才能給人的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展提供不懈動(dòng)力.“德育”居“五育”之首，具有統(tǒng)領(lǐng)其他“四育”的作用，即是說，“德育”是其他“四育”的“推動(dòng)機(jī)”.反之，其他“四育”是實(shí)現(xiàn)“德育”的載體.事實(shí)上，“德育”里面講要曉之以“理”，這個(gè)“理”包括哲理、數(shù)理、物理、生理、心理和地理，當(dāng)然也包括各門學(xué)科中的理論、道理和規(guī)律，由于“道”和“德”都是研究并揭示萬事萬物的普遍規(guī)律或特殊規(guī)律的，因此，如果不懂得這些“理”，那么就難以或無法得到“道”和“德”.“德育”強(qiáng)調(diào)身心健康，重視修身養(yǎng)心，這實(shí)質(zhì)上就是完善的體育.“德育”重視勞動(dòng)教育，提倡體力勞動(dòng)與腦力勞動(dòng)相結(jié)合，數(shù)學(xué)正好可以做到體力勞動(dòng)與腦力勞動(dòng)的結(jié)合.“德育”提倡以美育德，以美育人.“德育”的實(shí)施需要良好方法，顯然各學(xué)科的教學(xué)就是滲透德育的有效途徑.滲透數(shù)學(xué)德育，對(duì)學(xué)生增強(qiáng)持久學(xué)力和持續(xù)健康發(fā)展是必要的、可行的.教師具有高尚師德是“身教”的必要條件，教師從各個(gè)方面（包括數(shù)學(xué)及教學(xué)）修德獲德，就能讓學(xué)生“明明德”，就能起到修德的楷模作用，就能潛移默化地影響和教化學(xué)生.

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