徐艷

【摘要】數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)思想中較高層次的思想之一，也是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備品質(zhì).2011版課標更是將數(shù)學(xué)模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，模型思想的建立是幫助兒童聯(lián)系和理解數(shù)學(xué)與外部世界的基本途徑，讓兒童理解抽象的數(shù)學(xué)的魔法，更能讓兒童體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

【關(guān)鍵詞】建模思想;數(shù)學(xué)教學(xué);培育

一、數(shù)學(xué)建模思想在教學(xué)中存在的問題及成因剖析

當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著“重”方法、技能的訓(xùn)練，“輕”數(shù)學(xué)思想的滲透的現(xiàn)象，我們分析課程內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、法則、公式、數(shù)量關(guān)系、規(guī)律等大部分課程都可以理解為數(shù)學(xué)模型，但實際教學(xué)中教師們建模意識淡薄，建模過程走馬觀花，建模思想流于空洞化、形式化、表面化.

1.建模意識過于淡薄，只注重傳授結(jié)論

【案例】蘇教版一年級上冊第100頁“20以內(nèi)進位加法表”（如圖1）

圖1

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律時，一年級學(xué)生看到的規(guī)律只是表面現(xiàn)象，或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律卻不能清晰地表達，最終還是教師總結(jié)規(guī)律，學(xué)生聽.

【成因剖析】教師的想法過于簡單，認為總結(jié)規(guī)律就是教學(xué)目標，沒有引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型的意識，更加覺得滲透函數(shù)建模對于低年級兒童太抽象，從而更注重傳授結(jié)論.

2.建模過程流于形式，只注重模型結(jié)果

【案例】蘇教版五年級下冊第92頁“圓的周長”

教學(xué)中教師指導(dǎo)學(xué)生初步感知圓周長大約是直徑的3倍，教師再讓學(xué)生動手測量大小不同的圓的周長，并進行計算，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)周長除以直徑的商總是3多一些.個別學(xué)生提早預(yù)習(xí)了內(nèi)容，知道該值在3.14左右，于是在操作過程中直接運用這一結(jié)果計算周長，假裝自己量過周長.在全班交流時，教師也會偏重3.1-3.2的結(jié)論的回答，對于部分孩子算出2.9或其他離譜答案的直接無視.

【成因剖析】教師忽視了一些學(xué)生的答案，主要是過于關(guān)注完成教學(xué)任務(wù)，擔(dān)心會浪費課堂時間，只要能建立圓周長計算公式的模型即可.兒童的探索過程流于形式，甚至存在沒有動手測量圓周長的現(xiàn)象，沒有真正經(jīng)歷建模過程.

3.建模過程基本忽視，只注重強化練習(xí)

【案例】教學(xué)蘇教版六年級下冊第76頁“整理與復(fù)習(xí)簡便計算”

本節(jié)課由教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)學(xué)過的運算律.經(jīng)過三年的簡便計算練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)能嫻熟地運用運算定律模型解決各種簡便計算問題，但是學(xué)生對于運算律模型中只有加法和乘法，沒有減法和除法心中還是存在一定疑慮的.

【成因剖析】教師過于關(guān)注技能訓(xùn)練，認為學(xué)生只要能利用模型解決問題即可，但是這些模型是較單一、線性的知識結(jié)構(gòu)，無法最大限度地讓兒童整合多類問題，導(dǎo)致模型網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的缺失.

二、培育兒童數(shù)學(xué)建模品質(zhì)的策略

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也是一個探索的過程，是為了讓兒童經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家建模再創(chuàng)造的過程，但是很多模型已經(jīng)是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們的成果，它們已經(jīng)被“濃縮”了，隱去了曲折、復(fù)雜的思維過程，呈現(xiàn)出經(jīng)過整理加工的嚴密、抽象、精煉的結(jié)論，而使其誕生的那些思想方法往往隱為內(nèi)在形式，成為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的具有潛在價值的“內(nèi)河流”.數(shù)學(xué)教學(xué)工作的一項重要任務(wù)，就是揭開數(shù)學(xué)這種嚴謹、抽象的面紗.在探究過程中將思維過程和思維方法全部教給學(xué)生，教師就需要挖掘出具有建模思想的教學(xué)內(nèi)容，經(jīng)過精心設(shè)計在課堂上有意識地滲透，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程并進行解釋與應(yīng)用，從而培育兒童數(shù)學(xué)建模的思想.

（一）催生建模意識，啟發(fā)兒童探索模型

創(chuàng)設(shè)問題情境實際上就是將數(shù)學(xué)模型“還原”的過程，也是兒童主動學(xué)習(xí)的前提.在兒童建模的原點創(chuàng)設(shè)情境，將現(xiàn)實生活中與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時引入課堂，尋找生活原型和數(shù)學(xué)對象之間的思維對應(yīng)點，在課堂上以問題情境的方式展示給學(xué)生.這樣既能激發(fā)學(xué)生探索模型的興趣，又能使學(xué)生用經(jīng)驗解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)兒童將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的意識.

例如，教學(xué)蘇教版三年級上冊第41頁“長方形、正方形周長的計算”時，適當(dāng)改變例3和“試一試”的問題形式，“籃球場長28米，寬15米.小明圍著籃球場跑一圈大約跑了多少米？”“一塊正方形手帕的邊長是25厘米，給它縫一圈花邊，花邊大約要多長？”這些提問將生活問題直接指向“長方形或正方形的周長是多少？”這一數(shù)學(xué)問題.在解答過程中進一步明確了周長的概念，又自然地引入了長方形、正方形周長計算公式的模型.

教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)問題情境，讓兒童在觀察和比較中初步感受模型系統(tǒng)的特征，理解問題的實際背景，為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)奠定扎實的基礎(chǔ).

（二）助推建模能力，磨礪兒童建立模型

1.建模結(jié)構(gòu)豐滿化，尋找新知與舊知的連接點

數(shù)學(xué)知識之間都是互相串聯(lián)的，所以新模型構(gòu)建可以有效利用之前舊模型建立的經(jīng)驗.教師可引導(dǎo)學(xué)生找到新舊模型之間的連接點，不斷豐富建模經(jīng)驗.

例如，教學(xué)蘇教版六年級上冊第15頁“圓柱的體積”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶圓面積公式模型的建立過程，啟發(fā)學(xué)生想辦法將圓柱體積轉(zhuǎn)化成已知幾何體的體積.在探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)不同模型的共同點，回憶建模過程，將有聯(lián)系的模型構(gòu)建成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而不斷豐滿模型結(jié)構(gòu).

2.建模過程多元化，尋找數(shù)與形的融合點

建模過程是一個抽象的過程，兒童如果只是學(xué)習(xí)知識的表象，沒有理解抽象后的數(shù)學(xué)模型是不能真正吸收知識的.教師可以利用代數(shù)與圖形的完美結(jié)合幫助學(xué)生理解原本抽象的模型.

例如，教學(xué)蘇教版四年級下冊第62頁的“乘法分配律”時，學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過程，建立乘法分配律的定律模型后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將其與學(xué)過的圖形面積計算融合起來，（如圖2）幫助學(xué)生進一步理解分配定律模型.

提問：在圖中，你找到乘法分配律了嗎？誰相當(dāng)于a？誰相當(dāng)于b？（a+b）×c表示什么？a×c+b×c表示什么？

建模的過程不應(yīng)該是單一的，應(yīng)該運用不同的思想與方法呈現(xiàn)多元化的模型，輔助幾何直觀、推理能力等深刻理解模型，慢慢積累建模經(jīng)驗，從而更好地應(yīng)用模型.

3.建模經(jīng)驗類比化，尋找知識與體系的結(jié)合點

數(shù)學(xué)的知識是一個大型的體系網(wǎng)，教師在平時教學(xué)時要根據(jù)學(xué)生的不同特點和學(xué)習(xí)內(nèi)容的不同要求，善于將模型結(jié)構(gòu)中的單一模型的建構(gòu)經(jīng)驗進行類比，增加學(xué)生自主遷移建模經(jīng)驗，進行類比，從而建立新模型.

例如，教學(xué)蘇教版六年級上冊第55頁的“比的基本性質(zhì)”時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生先復(fù)習(xí)一下以前學(xué)過的除法商不變的規(guī)律和分數(shù)的基本性質(zhì)，然后提問：既然除法有商不變規(guī)律，分數(shù)有分數(shù)的基本性質(zhì)，那么與除法、分數(shù)密切相關(guān)的比會有什么性質(zhì)呢？如果有，可能是什么呢？

建模經(jīng)驗是不斷累積的，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注前后知識的聯(lián)系，將新學(xué)知識與已有知識體系有效結(jié)合，讓學(xué)生在建模過程中學(xué)會舉一反三，在類比中進行正遷移，積累建模類比經(jīng)驗.

（三）延展建模應(yīng)用，激活兒童完善模型

模型不應(yīng)該僅僅是簡單的套用，這可能導(dǎo)致學(xué)生形成思維定式或產(chǎn)生惰性，無法完善建構(gòu)模型之間的聯(lián)系，從而導(dǎo)致不能靈活運用模型解決實際問題.因此，運用模型解決實際問題，除了設(shè)置不同情境但同一本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題外，還要進行延展，將所學(xué)模型與不同模型或模型相同但形式不同的實際問題進行對比，提升學(xué)生靈活運用模型解決問題的能力.

1.轉(zhuǎn)換視角，拓展運用模型

根據(jù)模型解決問題是一種能力，但是根據(jù)模型創(chuàng)編習(xí)題組就是高于解決問題的另一種能力，說明兒童真正掌握了模型的本質(zhì).

例如，教學(xué)蘇教版六年級上冊第106頁的第10題（如圖4），第（1）、（2）問是書上呈現(xiàn)的，在比較（1）和（2）的異同后，學(xué)生明確了倍數(shù)模型和分數(shù)模型的聯(lián)系，教師再次提問：你還能提出什么條件讓解題方法不變？

學(xué)生有補充百分數(shù)的，有改編成比的.從編出的習(xí)題可以看出學(xué)生掌握了倍、分數(shù)、比和百分數(shù)的模型結(jié)構(gòu)，四者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，學(xué)生通過自主拓展完善了模型結(jié)構(gòu).

2.靈活變式，形成模型鏈

很多數(shù)學(xué)問題都有一個核心模型，再演變出其他模型.如果教師沒有對核心模型進行變式，就難以引領(lǐng)學(xué)生縱向深入思維，所探究新模型就難以納入已有或后續(xù)所學(xué)的模型體系，更無法靈活運用模型解決實際問題.

例如，上面提到的乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c這個基本模型，可以將面積圖靈活變化（如圖5），進一步拓展乘法分配律的變式模型，比如（a+b+c+…）×d=a×d+b×d+c×d+…或（a-b）×c=a×c-b×c等.

因此，在核心模型建立后，深入挖掘模型的變式，可以激發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生思維得到更好的發(fā)展，從而形成模型鏈.

3.整合統(tǒng)一，整體感知模型體系

如果以前學(xué)習(xí)的知識相當(dāng)于一棵棵的樹，那么當(dāng)兒童進入復(fù)習(xí)階段時，就應(yīng)該看見一片森林、一片美麗的風(fēng)景.學(xué)生對學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識進行系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的梳理整合后，能夠在思想方法上進行提升，感知整體模型體系，有助于模型的整合統(tǒng)一.

例如，教學(xué)蘇教版六年級下冊第74頁“整理與復(fù)習(xí)——數(shù)的運算”（如表1）

加減法計算法則的模型的建立歷經(jīng)了小學(xué)五年的時間，在部分學(xué)生眼中，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算法則的模型都不相同，但其實本質(zhì)上是一個模型，即相同的計數(shù)單位才能相加減，如果將其納入統(tǒng)一的模型體系，計算法則的本質(zhì)就“顯山顯水”了.

三、總結(jié)

不管是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問題的解決，核心問題在于數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和建立.建模思想的培育不是短期訓(xùn)練便能見效的，需要經(jīng)歷一個從量變到質(zhì)變的長期滲透的過程，是一個循序漸進、不斷積累經(jīng)驗的過程.長此以往，學(xué)生在面對問題時，才會站得高，思路廣，對數(shù)學(xué)的理解就會由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍，從而促進學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.當(dāng)然，建模思想在小學(xué)階段只需要“滲透”，無須進一步“強調(diào)突出”.

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