肖旭平
摘要:數(shù)學(xué)考試作為檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的高低,了解同學(xué)們現(xiàn)有的解題水平的考試,十分注重學(xué)生的解題思維。依據(jù)現(xiàn)在新課標(biāo)的改革,除了讓學(xué)生能有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之外,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,創(chuàng)新思維也提到了現(xiàn)在教學(xué)的日程之上,而實(shí)現(xiàn)這一切的途徑,可通過解題才可以。在解題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生們求同存異的思維,通過總結(jié)歸納,在總結(jié)一類題型當(dāng)中共同的一部分,使用自己扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),找到一些比較新穎的解法,鍛煉學(xué)生們的創(chuàng)新思維,提高綜合素質(zhì)。
關(guān)鍵詞:求同存異;創(chuàng)新思維;解題方向
求同存異思維,是我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中相當(dāng)重要的解題思維,通過對比部分試題之間的差異性和共同性,來拓寬學(xué)生們的思維,發(fā)散思維,以最快速度找到問題的突破點(diǎn),進(jìn)而解決問題。但是平時(shí)的教學(xué)當(dāng)中學(xué)生們在遇到比較困難的問題,或者是稍微比之前的常規(guī)問題多出一點(diǎn)點(diǎn)變化的時(shí)候,往往會(huì)出現(xiàn)手足無措的茫然感覺,感覺無從下手,究其原因,是學(xué)生的思維非常的僵硬,見過的題型不多。要知道數(shù)學(xué)知識具有相當(dāng)強(qiáng)的靈活性,一個(gè)小小的知識點(diǎn),就可以衍生出相當(dāng)多不同的題目,這就需要學(xué)生們在解題的過程當(dāng)中,尋找這些題目的共性,或者是尋找一道題目中的不同解題方法,把握住當(dāng)中的核心脈絡(luò),真正吃透一道題,同樣也可以舉一反三,提升解題效率。
一、同一道題用不同思路解決
(一)例題
例如:已知函數(shù)f(x)=ax3 -3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)X0,且X0>0,則a的取值范圍為( )
A.(2, +∞) B. (-∞,-2)
C.(1, +∞) D.(-∞,-1)
(二)不同解法
解法一:求導(dǎo)得f(x)=3ax2-6x=3x(ax2-2),若a=0,則f(x)=-3x2+1,不合題意,舍去:若a≠0,令f (x)=0解得x=0或x=2/a。
當(dāng)a<0時(shí),可以得到f(x)在(-∞,2/a) 上呈現(xiàn)的趨勢是單調(diào)遞減。在(2/a,0)上則是單調(diào)遞增的趨勢,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,結(jié)合f(x)的圖像,只需有f(2/a)>0.解得a<2.
當(dāng)a>0時(shí),可以得到f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,由f(-1)=-a-2<0,f(0)=1>0,知f(x)在(-1.0)上有零點(diǎn),不合題意,舍去:
綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-2),因此答案選擇B。
解法二:由題意知,方程ax3-3x2+1=0與x軸正半軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn),所以x≠0,則a= -(1/x3)+3/x.令t=1/x≠0,等價(jià)于方程a=-t3+3t(t≠0)有唯一正根,來做出關(guān)于a的圖像,數(shù)形結(jié)合,a的取值范圍為(-∞,-2),答案選擇B.
解法三:取a=3,f(x)=3x3-3x2+1,檢驗(yàn)知不合題意,排除A,C;取a=-4/3,f(x)=-4/3(X3) -3x2+1,所以ACD都不是正確答案,選擇B
(三)解法分析
解法一:通過求導(dǎo),得出一個(gè)新的方程,代入題內(nèi)的已知條件,排除一種可能,隨后,用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判斷原圖像的走勢,最終得出結(jié)論。
解法二:運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思維,先是通過對于題意的判斷,得出來了X≠0的結(jié)果,其次再用等效替換法,設(shè)出了一個(gè)新的方程,并且通過數(shù)形結(jié)合,來達(dá)到解題的目的。
解法三:這也是最簡單的一種方法,將選擇題所給的答案帶入到題中去,進(jìn)而判斷出哪一個(gè)更符合題意。
(四)解法反思
解法一的特點(diǎn)就是中規(guī)中矩,也是這一類題型當(dāng)中比較常用的思路,通過求導(dǎo)來構(gòu)建新的方程,并且通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判斷,進(jìn)而得出答案,但是缺點(diǎn)就是運(yùn)算量太大,需要學(xué)生具有良好的邏輯思維能力,并且還要具備完善的數(shù)學(xué)知識體系,扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底才能夠解決這一類問題。
解法二更需要學(xué)生擁有天馬行空的想象力,能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用構(gòu)造方程,數(shù)形結(jié)合的思維,比起第一種來更為的簡單,但是對學(xué)生的數(shù)學(xué)水平要求極高。
解法三角度出奇,通過帶入題中所給的答案,來判斷哪一個(gè)更符合題意,這樣的方式更適合那些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生,同樣也是一種取向的方法,只能運(yùn)用在選擇題。
由此可知,通過對一道相對基礎(chǔ)的題型進(jìn)行不同角度的解法,不僅可以拓寬了同學(xué)們的創(chuàng)新思維,也能從多個(gè)方面理解知識的含義,對于課本上的知識理解得更清晰,更透徹,解題思路瞬間擴(kuò)大,思維更為的活躍,也可以從這多種類型的解題思路當(dāng)中,進(jìn)行求同存異,把握住核心脈絡(luò),進(jìn)行對知識的剖析,掌握住重點(diǎn),不僅減少了學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù),學(xué)習(xí)起來更輕松,也更讓學(xué)生對于這門課程充滿興趣,提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)。
二、結(jié)語
數(shù)學(xué)學(xué)科與其他的學(xué)科不同,需要一定的邏輯思維能力,學(xué)生們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程當(dāng)中,不僅要掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ),還需要擁有天馬行空的解題思維,在解決數(shù)學(xué)問題當(dāng)中,學(xué)會(huì)求同存異,通過同一種題型的不同解決方法,找到其核心脈絡(luò),拓展自己的解題思維,教師在教學(xué)途中同樣也要刻意地培養(yǎng)這一種思維能力,引導(dǎo)學(xué)生們?nèi)ブ鲃?dòng)思考,下意識的主動(dòng)去思索每一道題的核心,深入的理解課本上的知識,在做題的時(shí)候靈活應(yīng)用,甚至舉一反三,擴(kuò)展學(xué)生們對于解題的思維,提升他們對于數(shù)字的敏感度,適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)對于他們新的要求,嚴(yán)格要求自己,真正能夠全方位的成長,提高他們的綜合素質(zhì)。
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