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        最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)方法探討

        2021-04-15 19:21:09胡順治
        課程教育研究 2021年41期
        關鍵詞:質因數(shù)互質合數(shù)

        【摘要】在求兩個數(shù)的最大公因數(shù)時,新課標明確指出不再由公因數(shù)或最大公因數(shù),引進互質數(shù)的概念,是精簡數(shù)論初步知識的一個具體體現(xiàn)。而《標準》中有關求最大公因數(shù)的要求是:“能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”。建議學生采用“找”的方法,不再需要分解質因數(shù)與短除法。事實上,即便在過去學了分解質因數(shù)和短除法之后,也極少有學生在約分時用到。這一改進,雖說大大降低了學生學習的難度,但在教學中,筆者在課堂上和學生把其中的各種規(guī)律性知識與解決方法歸攏后,很多學生對本部分的知識能夠做到進一步系統(tǒng)化,解決方法多樣化[1]。

        【關鍵詞】質數(shù)? 合數(shù)? 互質? 質因數(shù)

        【中圖分類號】623.5? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2021)41-0104-02

        筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)學生在尋找兩個數(shù)最大公因數(shù)時,方法過于單調,幾乎是機械化去找、去操作。而且在碰見一些稍復雜的因數(shù)時,往往存在丟失現(xiàn)象,最后導致錯誤連連。針對最大公因數(shù)的求法問題,筆者認為完全可以發(fā)動學生多渠道去求,不必拘泥于一標,畢竟本節(jié)內容和后面的約分、最小公倍數(shù)、通分有太多聯(lián)系。聯(lián)系日常教學實際,結合一些習題和資料,筆者針對本部分進行了簡要梳理,期望對學有余力的孩子有所幫助,也望同行指正交流。

        一、最大公因數(shù)的幾條探索性規(guī)律及解決方法

        1.互質的兩個數(shù)最大公因數(shù)是(以下情況均是互質的情況)

        (1)1與其他任意自然數(shù)互質。

        (2)2和任何奇數(shù)都互質。

        (3)連續(xù)的兩個自然數(shù)互質。.

        如:8和9;14和15;111和112……

        (4)相鄰的兩個奇數(shù)互質。

        (5)不同的兩個質數(shù)互質。

        如:5和7;7和19;31和89……

        (6)當一個是合數(shù),一個為質數(shù)時(合數(shù)不是質數(shù)的倍數(shù)),這兩個數(shù)互質。

        2.當兩個數(shù)成倍數(shù)關系時,小的那個數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)[2]。

        如:4和8;16和32……。

        3.兩個數(shù)的所有公因數(shù)都是最大公因數(shù)的因數(shù)(最大公因數(shù)是所有公因數(shù)的倍數(shù))。如18與27的公因數(shù)有1、3、9。其中他們的最大公因數(shù)9也是其他公因數(shù)1、3、9的倍數(shù)。本條結論筆者認為,可以讓學生以此來判斷自己所找的最大公因數(shù)是否合適。

        二、其實除了以上幾種方法外,在尋找兩數(shù)最大公因數(shù)時還可以采用以下幾種方法[3]

        1.列舉法求18與27的最大公因數(shù):

        先分別找出18和27的因數(shù),然后看18和27的因數(shù)中公有的部分,再從中找出最大的一個。

        例如:求18與27的最大公因數(shù)。

        18的因數(shù)有:1、2、3、6、9、18。

        27的因數(shù)有:1、3、9、27。

        18與27的公因數(shù)有:1、3、9。

        18與27的最大公因數(shù)是9。

        2.篩選法求18與27的最大公因數(shù)。

        可以先找出18的因數(shù),再在這些因數(shù)中圈出27的因數(shù),進而找出兩者最大的那個因數(shù)。

        18的因數(shù):①,2,③,6,⑨,18。

        在18的因數(shù)中,1,3,9是27的因數(shù),自然9是18和27的最大公因數(shù)。

        3.文恩圖法求18與27的最大公因數(shù):

        上述三種方法對于求兩個數(shù)的最大公因數(shù),特別是數(shù)值較大時,顯然是不方便的。其實我們完全可以采用課本上補充的另一種方法—分解質因數(shù)。

        4.分解質因數(shù)法求18與27的最大公因數(shù)。

        首先我們把18和27分別分解成幾個質數(shù)相乘的形式,18=2×3×3,27=3×3×3。因為18和27的公因數(shù)必定包含18和27公有的質因數(shù),而最大公因數(shù)是其中最大的一個。自然它必須包含18和27共有的質因數(shù)3與3,這樣3乘3就是18和27的最大公因數(shù)。

        18=2×3×3

        27=3×3×3

        鑒于上面的方法,我們還可以用經(jīng)典的做法——短除的形式找到公因數(shù)和最大公因數(shù)。

        5.短除法求18與27的最大公因數(shù)。

        首先用3(18和27的最小質因數(shù))去除這兩個數(shù),看除完的商是否互質,如果不互質,接著繼續(xù)用他們的公因數(shù)(質數(shù))往下除,一直除到商互質為止,然后把所有除數(shù)相乘,得到的積就是18和27的最大公因數(shù)。

        與前邊的分解質因數(shù)法相比較,我們不難發(fā)現(xiàn):他們結果相同,而短除法所用到的兩次除數(shù)正是這兩數(shù)的公有質因數(shù)。而這兩個數(shù)的最大公因數(shù),則是這兩個數(shù)的公有質因數(shù)的連乘積。無疑給學生的學習帶來了一絲新意。

        在通過短除法求出最大公因數(shù)9后,我們結合第三條規(guī)律——最大公因數(shù)是所有公因數(shù)的倍數(shù)(所有的公因數(shù)都是最大公因數(shù)的約數(shù)),依次求出他們的其他公因數(shù)——1,3,當然我們也可以借助短除法解決三個數(shù)或者更多數(shù)的最大公因數(shù)問題。

        6.縮小倍數(shù)法求18與27的最大公因數(shù)。

        當把18縮小到原來的1/2時,發(fā)現(xiàn)9恰好也是27的因數(shù),通過進一步驗證會發(fā)現(xiàn)9是18與27的最大公因數(shù),同樣的研究策略,我們可以按照相同的方法求得兩個數(shù)或者三個數(shù)的最小公倍數(shù)。

        雖說在教學過程中,我們不要求學生對知識過于求全求深,但作為從教者來說,讓我們把知識內涵研細,研透。夯實了個人素養(yǎng)才會讓孩子們“人人都能在數(shù)學上獲得發(fā)展,不同的學生獲得不同發(fā)展”。

        三、結語

        準確快速地求出兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的學習是學生很難掌握的內容,又是至關重要的。通過研究不難發(fā)現(xiàn):當兩數(shù)成倍數(shù)關系或互質關系時可直接寫出它們的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù),當既要求最大公因數(shù)又要求最小公倍數(shù)時,用短除法或分解質因數(shù)法比較簡便;當只求最大公因數(shù)時,用短除法或縮小倍數(shù)法比較簡便;當只求最小公倍數(shù)時用大數(shù)翻倍法比較簡便,當兩個數(shù)比較大,比較復雜時,用短除法比較簡便。

        總之在探求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)時,需要學生看清數(shù)字之間關系,看清數(shù)據(jù)特征,看清條件與要求,用好最佳方法,認真細心計算,才能減少后期的計算迷茫。

        參考文獻:

        [1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[S];北京師范大學出版社,2012-1

        [2]劉來剛.名師解教材 五年級數(shù)學下 人教課標改進版[M].吉林大學出版社,2011.04

        [3]吳國和.求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的幾種方法[J].數(shù)學大世界(小學五六年級適用),2011-Z2(24)

        作者簡介:

        胡順治(1980年8月26日-),男,漢族,江蘇省連云港市人,大學學歷,一級教師(中一),研究方向:數(shù)學教育教學與班級管理。

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