王建云　王甜甜　全宏波　田智鯤　楊雪花

【摘要】拉格朗日中值定理是微積分的理論基礎(chǔ)，是建立函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相互關(guān)系的重要橋梁。介紹了拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用，如求解函數(shù)極限、證明不等式、證明恒等式、判斷函數(shù)的一致連續(xù)性、證明方程根的存在性、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判別級(jí)數(shù)的斂散性等。

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理? 輔助函數(shù)? 應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（湘教通〔2019〕291號(hào)，序號(hào)729）;湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（HNJG-2020-0587）;湖南工業(yè)大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2020A16）。

【中圖分類號(hào)】O172? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）08-0108-02

1.引言

拉格朗日中值定理是微積分的理論基礎(chǔ)，為微分中值定理的核心，它是羅爾定理的推廣，也是柯西中值定理的一種特殊情形。它建立起了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的定量關(guān)系，成為討論由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)推斷函數(shù)具有某些性質(zhì)的一個(gè)有效工具。拉格朗日中值定理的應(yīng)用非常廣泛，許多學(xué)者也對(duì)其進(jìn)行了一些相關(guān)的研究[1-9]。本文主要在求解函數(shù)極限、證明不等式、證明恒等式、判斷函數(shù)的一致連續(xù)性、證明方程根的存在性、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判別級(jí)數(shù)的斂散性等方面，對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地分析和討論，并通過具體例子來呈現(xiàn)一些應(yīng)用技巧。

2.拉格朗日中值定理的應(yīng)用

2.1求解函數(shù)極限

在拉格朗日中值定理的表達(dá)式中，f（b）-f（a）就是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a， b]上的增量。從而拉格朗日中值定理可以看作是，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a， b]上的增量與其區(qū)間長(zhǎng)度的比值等于f（x）在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。因此，當(dāng)求解函數(shù)極限的類型為函數(shù)是同一類型函數(shù)之差與自變量之差的比值，這時(shí)就可以使用拉格朗日中值定理先將其化簡(jiǎn)再求極限。

2.2證明不等式

2.3證明恒等式

2.4判斷函數(shù)的一致連續(xù)性

因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ硎俏⒎种兄刀ɡ碇幸粋€(gè)重要的內(nèi)容，它也具備微分中值定理的一些性質(zhì)，它也可以將函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。因此，我們可以運(yùn)用拉格朗日中值定理來探討導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。從而以此來了解函數(shù)在區(qū)間上的一些整體性質(zhì)，比如研究函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性。

2.5證明方程根的存在性

利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性，要根據(jù)題目中的方程構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），將題目中的區(qū)間設(shè)為區(qū)間[a，b]。如果關(guān)系式中出現(xiàn)某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)不同點(diǎn)處的值、某函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的值或者出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)不同點(diǎn)處的值等情形，這時(shí)都可以利用拉格朗日中值定理證明其根的存在性。

2.6 判斷函數(shù)的單調(diào)性

一般可以利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，有時(shí)候在函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中會(huì)出現(xiàn)或包含f（b）-f（a）的形式，這時(shí)候可以巧妙結(jié)合拉格朗日中值定理，化簡(jiǎn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，從而容易判斷其正負(fù)。

2.7 判別級(jí)數(shù)的斂散性

當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式中含有對(duì)數(shù)或具有單調(diào)性，則可以構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，利用拉格朗日中值定理得到一個(gè)關(guān)于級(jí)數(shù)通項(xiàng)的不等式，再利用級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的極限存在性來判斷該級(jí)數(shù)的斂散性。

3.結(jié)語

拉格朗日中值定理是微分學(xué)一個(gè)重要的定理，它的應(yīng)用非常廣泛，在很多問題的解答中，若能很好地結(jié)合拉格朗日中值定理，就可以拓寬學(xué)生的解題思路，使問題更加靈活地得到解決。在這個(gè)求解問題的過程中，關(guān)鍵點(diǎn)是將求解問題所需的輔助函數(shù)構(gòu)建出來，既能使函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的條件，又能讓求解的問題變得簡(jiǎn)單易行。

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作者簡(jiǎn)介：

王建云（1981年-），男，湖南常寧人，博士，講師，研究方向：微分方程數(shù)值方法及應(yīng)用。

田智鯤（1979年-），女，湖南龍山人，博士，副教授，研究方向：偏微分方程數(shù)值方法。