曹樹宏

【摘要】壓軸題的命題通常以知識生長結(jié)構(gòu)為導(dǎo)向，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，打通條件與結(jié)論之間的道路，通過知識關(guān)系鏈的邏輯環(huán)環(huán)相扣，建立一條思維鏈，從而找到問題的解決方法.這樣命題設(shè)計(jì)起點(diǎn)低，立意高，又遵循學(xué)生思維從最近發(fā)展區(qū)走向未知發(fā)展區(qū)，不僅能考查學(xué)生的綜合能力，同時(shí)能檢驗(yàn)和落實(shí)核心素養(yǎng)教學(xué)，是對深度學(xué)習(xí)效果的體現(xiàn)和延伸.

【關(guān)鍵詞】命題立意;知識生長結(jié)構(gòu);核心素養(yǎng);指導(dǎo)教學(xué)

一、題目來源

（2020杭州第23題）如圖1，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF.

（1）設(shè)⊙O的半徑為1 ，若∠BAC=30°，求線段EF的長.

（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P.

① 求證：PE=PF.

② 若DF=EF，求∠BAC的度數(shù).

本題文字不多，但信息量較大，條件比較豐富，有圓，有中點(diǎn)，有垂直，有特殊角，還側(cè)重考查幾何的圖形本質(zhì)屬性;以教材基本圖形為知識生長點(diǎn)，架設(shè)知識生長結(jié)構(gòu).問題（1）主要就是特殊角條件下的解三角形問題，而且包括等腰三角形及直角三角形，比較容易找到思路.

本題中蘊(yùn)含了豐富的基本圖形，不僅有中位線模型，還可以提煉出三角形比例線段基本圖形，正方形模型等.

二、問題內(nèi)涵

（一）從特殊到一般

特殊性1：在問題（1）中，條件是“⊙O的半徑為1，∠BAC=30°”.實(shí)際上考查兩個(gè)基本知識點(diǎn)：（1）直徑所對的圓周角是90°;（2）含30°角的直角三角形性質(zhì).問題（1）的設(shè)計(jì)不僅能讓更多學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅，還為學(xué)生繼續(xù)解決問題搭建了信心，是后續(xù)問題解決的知識生長點(diǎn)，以此為基礎(chǔ)架構(gòu)知識生長結(jié)構(gòu).

問題（2）是以“OE⊥AB”聯(lián)想垂徑定理，以“點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)”聯(lián)想中點(diǎn)作用，為知識生長點(diǎn)逐漸展開自己的知識結(jié)構(gòu).

特殊性2：圓是數(shù)學(xué)中最常見的圖形之一，它既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，圓心和直徑是圓這一圖形的核心要素， 充分利用這一特性編制問題，能更好地考查學(xué)生對圖形本質(zhì)的認(rèn)識.以圖形的特性為生長點(diǎn)架構(gòu)知識生長結(jié)構(gòu)，尋找位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是一條思維主線.

在問題（2）的解決中，利用對稱性就能啟發(fā)解決問題的思路.問題（2）是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，但題目條件“已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF.”決定了PE與PF的關(guān)系不變.學(xué)生要在動(dòng)態(tài)圖形中發(fā)現(xiàn)并證明這一事實(shí)，必須能分析出“動(dòng)態(tài)圖形中不變的量或關(guān)系”，容易聯(lián)想“中點(diǎn)”，從中點(diǎn)的作用入手找解決問題的方法.

（二）從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)

在分析一個(gè)幾何問題時(shí)，我們往往先著手觀察和分析圖形是“靜態(tài)”還是“動(dòng)態(tài)”.對于“靜態(tài)圖形”問題處理起來比較容易，各位置的量是不變的，通常直接計(jì)算或證明，利用勾股定理或圖形基本性質(zhì)就能完成;對于“動(dòng)態(tài)圖形”需要分析點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)或形動(dòng)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換.

問題（1）中，形狀大小是靜態(tài)的，即圓的大小不變，△ABC是含30°且斜邊為2的直角三角形不變，但是可以繞圓心旋轉(zhuǎn)，整體是動(dòng)態(tài)的.不影響計(jì)算，因?yàn)槿切闻c圓的相對位置是靜態(tài)的.

問題（2）顯然是動(dòng)態(tài)圖形，關(guān)注∠BAC的變化給圖形帶來的變化，問題顯然復(fù)雜起來，但是線段上中點(diǎn)位置是不變的，即點(diǎn)E相對于AB，點(diǎn)F相對于OC，點(diǎn)O相對于直徑AC與BD的位置都是不變的，這便是思考入手點(diǎn)，也是知識結(jié)構(gòu)的生長點(diǎn).

（三）從虛擬情境到實(shí)際情境

圓的情境往往是“虛擬”的，也就是說問題的本質(zhì)落實(shí)在三角形問題上，只要把握這一認(rèn)識，我們就可以在處理“圓”情境問題中做“減法”.比如可以將例題改編如下：

如圖2，已知線段AC，BD互相平分交于O點(diǎn)，且AC=BD.連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)，連接EF.

（1）設(shè)OC=1 ，若∠BAC=30°，求線段EF的長.

（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P.

① 求證：PE=PF.

② 若DF=EF，求∠BAC的度數(shù).

這樣改編之后，思考進(jìn)程絲毫不受影響，問題情境簡化，學(xué)生從“虛擬”圓情境回到真實(shí)的三角形問題情境中，反而有利于思考并找到解決方法.

三、知識生長點(diǎn)

教師要深層次地尋覓思維活動(dòng)軌跡，高標(biāo)準(zhǔn)地架設(shè)知識生長結(jié)構(gòu)，才能教給學(xué)生具有生長力的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)才能迸發(fā)出無與倫比的生命力量.

在解決問題（2）時(shí)，學(xué)生遇到很大的障礙，究其原因，是學(xué)生習(xí)慣把握方法，而忽視“知識生長點(diǎn)”尋源.問題（2）要證明相等的兩條線段在一條線上且共端點(diǎn)，顯然不能用熟悉的三角形知識去證明相等，學(xué)生的思路或方法容易受阻，這時(shí)就應(yīng)該回憶平時(shí)見到這類問題的場景，搜索其他“結(jié)構(gòu)”，探尋知識生長點(diǎn)，把握知識生長脈絡(luò)，找到平行四邊形或相似三角形來解決問題.

知識生長結(jié)構(gòu)圖如下：

（一）生長點(diǎn)示例

生長點(diǎn)1：能否證明PE與PF兩條線段所在三角形△OEF或△BEF是等腰三角形？進(jìn)而利用三線合一證明.（沒有條件）

生長點(diǎn)2：能否證明PE與PF兩條線段所在兩個(gè)三角形全等？（沒有發(fā)現(xiàn)）

生長點(diǎn)3：能否證明PE與PF兩條線段為兩個(gè)共斜邊直角三角形的斜中線？（沒有發(fā)現(xiàn)）

生長點(diǎn)4：PE與PF兩條線段能否通過第三條線段等量代換？（無法搭建第三條線段）

生長點(diǎn)5：能否證明PE與PF兩條線段所在兩個(gè)三角形等高且面積相等？（有想法，有待分析）

生長點(diǎn)6：能否證明PE與PF兩條線段為三角形相似的比例線段？（通過等量代換）

生長點(diǎn)7：能否證明PE與PF兩條線段是一個(gè)平行四邊形的對角線？（構(gòu)造平行四邊形）

生長點(diǎn)8：PE與PF兩條線段能否通過平行線等分線段來證相等？（構(gòu)造一組平行線）

生長點(diǎn)9：能否通過中位線證明？（構(gòu)造模型圖形）

（二）幾種典型做法

方法1 利用生長點(diǎn)6

如圖4，過O作OG∥PE，交AB于G點(diǎn)，由OF∶OA=1∶2，得AG∶GE∶EB=2∶1∶3，再得OG∶FE=2∶3，PE∶OG=3∶4，得PE=PF.

問題（2）第②小題設(shè)計(jì)意圖更是強(qiáng)化核心素養(yǎng)的考查，學(xué)生需要做到以下幾點(diǎn)：（1）重新甄別圖形的變化;（2）構(gòu)造正確圖形，提高畫圖能力;（3）由線相等帶來角度的變化（問題逆向設(shè)計(jì)）;（4）由“平行線等分線段”產(chǎn)生“位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系”的知識結(jié)構(gòu).

分析：

由已知條件得到一個(gè)不變的關(guān)系量“FE=FB”是解決問題的關(guān)鍵.

如圖8，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB于G點(diǎn)，可得OE∥FG∥CB.

因?yàn)镺F=CF，所以EG=BG，則FE=FB.

又因?yàn)镕D=FE，所以FB=FD.

因?yàn)镺D=OB，所以FO⊥BD.

所以△AOB是等腰直角三角形，所以∠BAC=45°.

其實(shí)，由此題條件“FD=FE”就把圖形從動(dòng)態(tài)又轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，此時(shí)兩條直徑互相垂直.這又可以回到基本模型上分析問題，充分把握FD=FB這一推想，問題迎刃而解.

在上述問題解答中，學(xué)生的思維不斷進(jìn)行自我修正，以便找到自己曾經(jīng)解決過得類似問題，沿著“知識生長線”這條路徑，思路慢慢打開，就能順利進(jìn)行下一步.

四、問題立意 指導(dǎo)教學(xué)

（一）以概念為本 鋪設(shè)知識生長點(diǎn)

數(shù)學(xué)作為一種概念性語言，天然就適合開展概念為本的教學(xué).平時(shí)我們只是在做數(shù)學(xué)，而沒有理解“做”的東西，這種傳統(tǒng)教學(xué)將數(shù)學(xué)當(dāng)作一種程序和技能來教，并直接假定學(xué)生已經(jīng)獲得概念性理解，而不是朝著概念性理解去教.概念為本的課堂教學(xué)中，更應(yīng)將教學(xué)延伸至引導(dǎo)學(xué)生理解那些支持技能的概念性關(guān)系.

例如，在初三復(fù)習(xí)課中學(xué)習(xí)“中位線”時(shí)，要理解支持這個(gè)概念的是“全等三角形”“平行四邊形”“圖形旋轉(zhuǎn)變換”“相似三角形”等知識，這樣學(xué)生的思維建立起了知識網(wǎng)絡(luò)，在觀察圖形和分析圖形時(shí)，就有了視角，也有了發(fā)展和遷移的能力.

例如，如圖9，已知在△AEF中，E是AB的中點(diǎn)，O是AF上一點(diǎn)，且OF∶OA=1∶2，求證：PE=PF.

初三的學(xué)生對這個(gè)問題是比較熟悉的，但做好上述工作，學(xué)生有了前置概念的學(xué)習(xí)，容易產(chǎn)生以下解決問題的視角.

學(xué)生視角1：作平行線，構(gòu)造中位線.

學(xué)生視角2：作平行線，構(gòu)造全等三角形.

學(xué)生視角3：作平行線，用相似知識.

學(xué)生視角4：作平行線，利用面積關(guān)系.

（二）通過變式教學(xué)，架設(shè)知識生長結(jié)構(gòu)

“單一的知識”發(fā)展到“復(fù)雜的問題”正是深度學(xué)習(xí)的要求， 我們有必要拓展對學(xué)習(xí)本質(zhì)的認(rèn)識，深入探尋學(xué)習(xí)和發(fā)展的內(nèi)在機(jī)理，通過推動(dòng)有意義的學(xué)習(xí)實(shí)踐來發(fā)展個(gè)體與復(fù)雜情境互動(dòng)的綜合能力，從根本上把握并實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng).

教學(xué)變式舉例

變式1：如圖10，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，AD=AC，EC交AD于點(diǎn)F.

（1）求證：AF=FD;

（2）求證：FC=3EF.

變式2：如圖11，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點(diǎn)，連接BE，DE.F為BC上一點(diǎn)，且∠EFC+∠EDC=180°.

（1）求證：EB=EF;

（2）求證：AE∶EC=1∶3.

教師在教學(xué)中，要加強(qiáng)單元整體學(xué)習(xí)模式，形成一條知識鏈，這樣有利于學(xué)生思考問題的連續(xù)性和整體性，思維不容易斷.我們要認(rèn)識到學(xué)習(xí)知識產(chǎn)生于發(fā)展過程，架設(shè)了知識結(jié)構(gòu)，形成思維鏈，在結(jié)構(gòu)的路線上或末端總能結(jié)出碩果.

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