覃創(chuàng)

【摘要】數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要部分.本文通過(guò)梳理前人對(duì)數(shù)學(xué)抽象的研究，從認(rèn)知發(fā)展的角度和認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來(lái)分析數(shù)學(xué)抽象，再結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》和PISA理論，提出了數(shù)學(xué)抽象的五個(gè)水平層次.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象;認(rèn)知發(fā)展理論;認(rèn)知神經(jīng)科學(xué);PISA理論

1 引 言

在核心素養(yǎng)推進(jìn)的過(guò)程中，貢獻(xiàn)最大的應(yīng)當(dāng)是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）.OECD對(duì)核心素養(yǎng)的研究起步早，參與人員多，代表性強(qiáng).完整的邏輯體系有三年一次的國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）調(diào)查檢驗(yàn)，其科學(xué)性、合理性得到普遍認(rèn)同.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心要素，因此我們想要理清數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得從數(shù)學(xué)素養(yǎng)談起.1956年10月的《數(shù)學(xué)通報(bào)》所刊登的蘇聯(lián)文獻(xiàn)譯稿中就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)一詞，這一詞首次出現(xiàn)在我國(guó)教育大綱里是1992年頒布實(shí)施的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定歷程由一維走向多維因素共同決定.目前，數(shù)學(xué)素養(yǎng)已發(fā)展為學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的綜合素質(zhì)，是個(gè)體、數(shù)學(xué)、社會(huì)生活等方面的綜合體.在數(shù)據(jù)互通、資源共享的時(shí)代背景下，越來(lái)越多國(guó)家認(rèn)可數(shù)學(xué)素養(yǎng)是公民眾多綜合素養(yǎng)之一.我國(guó)教育部于2014年3月印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見(jiàn)》提出：核心素養(yǎng)體系的概念和明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以此為依據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程為載體的，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心要素，具有可操作，可測(cè)量，可評(píng)價(jià)的特征.2017年12月中華人民共和國(guó)教育部制定頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下稱《課標(biāo)（2017年版）》）明確提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并從內(nèi)涵、價(jià)值、表現(xiàn)三方面描述了六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家M·克萊因曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生離不開(kāi)抽象，正是對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性和演繹法的堅(jiān)持造就了今日的數(shù)學(xué)體系.”數(shù)學(xué)抽象是對(duì)問(wèn)題情境中的數(shù)量關(guān)系與空間形式進(jìn)行抽象，從而得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維抽象過(guò)程，反映了數(shù)學(xué)的基本思想和數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.數(shù)學(xué)抽象也是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中必須具備的一種思維品質(zhì)，該思維品質(zhì)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中起著重要的基礎(chǔ)性作用.《課標(biāo)（2017年版）》將數(shù)學(xué)抽象看成是學(xué)生必備的一種素養(yǎng)，更突出了數(shù)學(xué)抽象的重要性.數(shù)學(xué)抽象如此重要，那怎樣來(lái)衡量數(shù)學(xué)抽象的抽象層次呢？因此，本文從認(rèn)知發(fā)展的角度和認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來(lái)分析數(shù)學(xué)抽象，再結(jié)合《課標(biāo)（2017年版）》和PISA理論，研究數(shù)學(xué)抽象的水平層次.

2 從認(rèn)知發(fā)展的角度來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象

認(rèn)知發(fā)展是個(gè)體在適應(yīng)環(huán)境的過(guò)程中對(duì)事物的認(rèn)知及面對(duì)問(wèn)題情境的思維方式和表現(xiàn)能力.認(rèn)知發(fā)展理論在皮亞杰的認(rèn)知理論中主要體現(xiàn)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的形式運(yùn)算階段，學(xué)生的思維已經(jīng)擺脫了具體事物的束縛，可區(qū)分形式與內(nèi)容，能用符號(hào)演算命題，能根據(jù)假設(shè)進(jìn)行邏輯推理.皮亞杰還從認(rèn)知發(fā)展論的角度描述抽象水平概念的投射和反射機(jī)制.數(shù)學(xué)抽象的水平層次由低到高分為5個(gè)水平層次，依次是經(jīng)驗(yàn)抽象、偽經(jīng)驗(yàn)抽象、反省抽象、再反省抽象及元反省抽象.經(jīng)驗(yàn)抽象是憑借主體經(jīng)驗(yàn)從客體中抽取信息，在整個(gè)抽象活動(dòng)中是最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的抽象;偽經(jīng)驗(yàn)抽象是抽取出來(lái)的客體屬性對(duì)主體屬性有所影響的時(shí)候，以這些屬性為對(duì)象的抽象活動(dòng);反省抽象是從低層次抽取出來(lái)的內(nèi)容投射到高層次上，在高層次上進(jìn)行重新組織與建構(gòu);再反省抽象即對(duì)反省進(jìn)行反省，使之能夠明確意識(shí)到操作中的協(xié)調(diào)，能對(duì)結(jié)果進(jìn)行明確的形式化;元反省抽象是對(duì)再反省抽象的產(chǎn)物的反省，它不僅能夠直接獲取問(wèn)題間的結(jié)構(gòu)，還能將提取到的結(jié)構(gòu)概括到不同情境中去，這一抽象只有在個(gè)體發(fā)展到形式運(yùn)算階段才能具備.學(xué)生進(jìn)入高中后，思維已從具體思維發(fā)展到抽象思維，且得到了相當(dāng)大的發(fā)展，可根據(jù)命題結(jié)構(gòu)、模型關(guān)系、演繹方式等解決問(wèn)題.因此，這一時(shí)期是學(xué)生智力發(fā)展的質(zhì)變時(shí)期，也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期.

3 從認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象

如何評(píng)定教育對(duì)象的心理素質(zhì)和特征，直到今日還主要是教育家們的經(jīng)驗(yàn)之談，缺乏系統(tǒng)的科學(xué)基礎(chǔ).腦的認(rèn)知功能包括知覺(jué)、注意、記憶、語(yǔ)言和思維以及智能和意識(shí)等心理過(guò)程.若將認(rèn)知心理學(xué)和神經(jīng)科學(xué)成果用于人腦認(rèn)知功能的研究，可形成認(rèn)知神經(jīng)科學(xué).認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究目的在于闡明認(rèn)知活動(dòng)的腦機(jī)制，即人類大腦如何調(diào)用其分子、細(xì)胞、腦組織等組件去實(shí)現(xiàn)各種認(rèn)知活動(dòng).在我國(guó)，認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的總體定位是以高級(jí)認(rèn)知功能發(fā)展變化為主，以學(xué)習(xí)和腦的可塑性為核心問(wèn)題，圍繞學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和機(jī)制以及特殊領(lǐng)域?qū)W習(xí)的認(rèn)知與腦機(jī)制開(kāi)展認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)研究，為我國(guó)基于腦科學(xué)的教育質(zhì)量的提升、人力資源的開(kāi)發(fā)和認(rèn)知障礙的矯治等提供依據(jù)，從而促進(jìn)兒童、青少年的智力和心理健康發(fā)展，提升我國(guó)人民素質(zhì)和綜合國(guó)力.從認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象就是數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知活動(dòng)中的腦機(jī)制反應(yīng).大腦對(duì)數(shù)學(xué)抽象的第一層是視網(wǎng)膜神經(jīng)元傳遞視覺(jué)信息，不同神經(jīng)信號(hào)從不同的樹突傳入細(xì)胞體，由細(xì)胞體進(jìn)行選擇性整合，選擇性整合得到最初的抽象信息;大腦對(duì)數(shù)學(xué)抽象的第二層是細(xì)胞集群的同步激活擴(kuò)散，具有相似功能的神經(jīng)元聚集成柱狀結(jié)構(gòu)，與其他神經(jīng)元區(qū)分開(kāi)來(lái);大腦對(duì)數(shù)學(xué)抽象的第三層是信息傳遞在不同的皮質(zhì)區(qū)上對(duì)不同對(duì)象特征進(jìn)行反應(yīng)，構(gòu)建起相互間的聯(lián)系;大腦對(duì)數(shù)學(xué)抽象的第四層是神經(jīng)信息的選擇性整體擴(kuò)散，發(fā)生在不同皮質(zhì)區(qū)的聯(lián)系，從而將其要素關(guān)系推廣到一般.

4 數(shù)學(xué)抽象的水平層次分析

PISA已在2003年和2012年以數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為主要測(cè)評(píng)對(duì)象，PISA2021年將再次以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主要測(cè)評(píng)對(duì)象，且在2019年5月公布了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測(cè)評(píng)框架，框架總體上沒(méi)有重大變化，但在內(nèi)涵 、建構(gòu)等方面做了適當(dāng)調(diào)整，總體展現(xiàn)出時(shí)代發(fā)展的特色和社會(huì)發(fā)展需求.PISA的測(cè)試量表可將學(xué)生的精熟度劃分為6個(gè)等級(jí)水平;在考查上注重學(xué)生的主觀性，測(cè)評(píng)將知識(shí)作為理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的手段，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，衡量學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，操作起來(lái)完整性強(qiáng)、目標(biāo)突出、具有較好的可操作性.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)抽象的闡述：數(shù)學(xué)抽象是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，從而得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)，并將抽象水平進(jìn)行了層次劃分，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象不僅是一種能力更是將其作為一種素養(yǎng)來(lái)看待，但說(shuō)服力不強(qiáng).由此，數(shù)學(xué)抽象的水平層次是從人們普遍認(rèn)可的皮亞杰認(rèn)知論和科學(xué)的認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)入手，借鑒PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)和《課標(biāo)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)抽象的描述，通過(guò)學(xué)習(xí)遷移得出的.

水平一 數(shù)學(xué)抽象的第一個(gè)層次為感知.感知就是能在熟悉的情景中了解抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，了解命題條件、結(jié)論及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，可稱為感知層次.這在認(rèn)知論中就是主體在客體中感知提取信息，由以往經(jīng)驗(yàn)獲得問(wèn)題的基本信息，屬于認(rèn)知論中的經(jīng)驗(yàn)抽象;從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)來(lái)看就是視網(wǎng)膜神經(jīng)元傳遞情境里的視覺(jué)信息，將不同神經(jīng)信號(hào)從不同的樹突傳入細(xì)胞體，經(jīng)細(xì)胞體進(jìn)行選擇性整合后得到最初的條件、結(jié)論等信息.

水平二 數(shù)學(xué)抽象的第二個(gè)層次為顯現(xiàn).從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)來(lái)看數(shù)學(xué)抽象的顯現(xiàn)水平，就是感知階段得到的最初信息促使細(xì)胞集群的同步激活擴(kuò)散，使具有相似功能的神經(jīng)元聚集成柱狀結(jié)構(gòu)來(lái)區(qū)分其他神經(jīng)元，顯示出與其他神經(jīng)元的不同，在認(rèn)知發(fā)展論中顯現(xiàn)就是抽取出來(lái)的客體對(duì)主體影響時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的特定屬性抽象活動(dòng)，可看作顯現(xiàn)層次.顯現(xiàn)就是數(shù)學(xué)抽象對(duì)具體情境、問(wèn)題的初步表現(xiàn)形式，具體表現(xiàn)有：用恰當(dāng)例子解釋簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題，理解命題條件和結(jié)論，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算，抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等.

水平三 數(shù)學(xué)抽象的第三個(gè)層次為聯(lián)系.這一層次是在關(guān)聯(lián)情景中抽象出一般數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，構(gòu)建相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識(shí)體系，可運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)、推理和論證，可稱聯(lián)系層次.對(duì)應(yīng)在認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)中就是信息傳遞在大腦不同皮質(zhì)區(qū)上對(duì)不同對(duì)象特征做出的反應(yīng)，由不同抽象特征建立起相互間的聯(lián)系;認(rèn)知發(fā)生論可將數(shù)學(xué)抽象的聯(lián)系層次看成是由低層次抽取出來(lái)的內(nèi)容投射到高層次，在高層次上進(jìn)行組織與建構(gòu)，促進(jìn)相互聯(lián)系.

水平四 數(shù)學(xué)抽象的第四個(gè)層次為整合.這一層次的抽象可稱為整合層次，整合從字面上看是把不同類型、不同性質(zhì)的事物組合在一起，使它們成為一個(gè)整體.數(shù)學(xué)抽象的整合層次是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征抽象出綜合情景中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后提煉出一類問(wèn)題的通性通法及表達(dá)出問(wèn)題所蘊(yùn)含的思想，從而使得數(shù)學(xué)抽象能夠明確地意識(shí)到操作中的協(xié)調(diào)關(guān)系，能將結(jié)果進(jìn)行明確的形式化.其在認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)中就是神經(jīng)元信號(hào)有選擇性整體擴(kuò)張，形成不同皮質(zhì)區(qū)的聯(lián)系，從而將其各要素關(guān)系推廣到一般.由此，數(shù)學(xué)抽象的整合層次為數(shù)學(xué)抽象形成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)思想方法、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、語(yǔ)言表征等要素的整合.

水平五 數(shù)學(xué)抽象的第五個(gè)層次為反饋.這一層次是在復(fù)雜情景中運(yùn)用數(shù)學(xué)原理解決問(wèn)題，認(rèn)知具體現(xiàn)象、表達(dá)自然對(duì)象和社會(huì)現(xiàn)象，可稱為反饋層次.上面四個(gè)層次得到數(shù)學(xué)抽象的四個(gè)基本操作步驟，抽象后需要從理論的高度來(lái)分析問(wèn)題和深化問(wèn)題，使問(wèn)題本身的意義得到拓展和延伸，還有抽象結(jié)果需要應(yīng)用于社會(huì)解決復(fù)雜問(wèn)題，解釋自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，促使數(shù)學(xué)抽象得到進(jìn)一步提升，這就體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象在現(xiàn)實(shí)生活中的研究?jī)r(jià)值.其在認(rèn)知發(fā)展理論中就是抽象產(chǎn)物的反省思維.反饋不僅能夠獲得問(wèn)題之間的結(jié)構(gòu)，還需將提取到的結(jié)構(gòu)概括到不同情境中去.

5 總結(jié)

此研究借鑒前人的理論、國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目和《課標(biāo)（2017年版）》中對(duì)數(shù)學(xué)抽象的描述，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的分析，得到數(shù)學(xué)抽象的5個(gè)水平層次，具體為：感知層：能在熟悉的情景中了解抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，了解命題條件、結(jié)論及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá);顯現(xiàn)層：是數(shù)學(xué)抽象對(duì)具體情境、問(wèn)題的初步表現(xiàn)形式，如用恰當(dāng)例子解釋簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算，抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等;聯(lián)系層：在關(guān)聯(lián)情景中抽象出一般數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，構(gòu)建相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識(shí)體系，可運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)、推理和論證;整合層：運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征抽象出綜合情景中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能提煉出一類問(wèn)題的通性通法及表達(dá)出問(wèn)題所蘊(yùn)含的思想;反饋層：在復(fù)雜情景中，運(yùn)用數(shù)學(xué)原理解決問(wèn)題，認(rèn)知具體現(xiàn)象、表達(dá)自然對(duì)象和社會(huì)現(xiàn)象.前四個(gè)層次完成了某一具體數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，但抽象之后需要從理論的高度來(lái)分析問(wèn)題、深化問(wèn)題，使問(wèn)題本身的意義得到拓展和延伸，這就體現(xiàn)出了反饋這一層次.總之，這一數(shù)學(xué)抽象思維水平層次，有利于衡量學(xué)生數(shù)學(xué)抽象狀況，結(jié)合其可設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教育教學(xué)活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).