常國(guó)良

摘要：本文從親身實(shí)踐的角度對(duì)抽象的高中數(shù)學(xué)知識(shí)感、悟、學(xué)，從基于感性的學(xué)習(xí)到基于理性的思考，將數(shù)學(xué)抽象如何形成的過程在課堂教學(xué)中層層展現(xiàn)，體現(xiàn)核心素養(yǎng)在一線教學(xué)實(shí)踐中如何落地。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 不等式 圖形計(jì)算器

新一輪《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》于2016年10月遞交了內(nèi)部討論稿，明確規(guī)定了新的課程目標(biāo)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中“數(shù)學(xué)抽象”位居六大核心素養(yǎng)之首?？梢赃@么說，數(shù)學(xué)的抽象性是困擾學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最大障礙，這與高中數(shù)學(xué)形式化程度較高有直接關(guān)聯(lián)。抽象知識(shí)怎么學(xué)？數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)怎么培養(yǎng)？只有通過反復(fù)解題才能獲得嗎？華師大張奠宙教授站在系統(tǒng)的高度告誡我們：好的教師在于引導(dǎo)學(xué)生如何將教材中冰冷的、線性的知識(shí)用火熱的思考、親身的實(shí)踐來獲得。人民教育出版社章建躍博士也說：數(shù)學(xué)抽象部分可以借助實(shí)驗(yàn)、信息技術(shù)等方式，讓學(xué)生獲得更好的形象感知。

一、基于數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究

中學(xué)數(shù)學(xué)有很多概念和性質(zhì)，學(xué)生對(duì)其的理解往往是基于純粹形式化的證明，這種方式有嚴(yán)密性，但是感知度不足。數(shù)學(xué)性質(zhì)往往有深刻的生活背景或物理形態(tài)的載體，性質(zhì)理解是否深刻，記憶能否牢固，與學(xué)生是否親身參與性質(zhì)的探討有很大的關(guān)聯(lián)。這里所談及的數(shù)學(xué)性質(zhì)是具有重要的意義和地位，并非解題經(jīng)驗(yàn)之類，而是影響某一知識(shí)層面的數(shù)學(xué)性質(zhì)。其具有下列特點(diǎn)：第一，是某一知識(shí)層面的核心，具備了多種知識(shí)在此處交匯；第二，性質(zhì)鑲嵌在一定的物理形態(tài)的背景中，可以借助實(shí)驗(yàn)獲得抽象；第三，性質(zhì)的解決涉及到觀察、推理、收集信息、整理信息、分析信息等一系列理解問題、分析問題、解決問題的知識(shí)和技能；第四，性質(zhì)的研究需要注重思維的啟發(fā)、抽象能力的培養(yǎng)，實(shí)驗(yàn)手段的使用滿足了這一要求。由此可見，基于實(shí)驗(yàn)手段的數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究可以成為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的一個(gè)新方式。

師：用滑動(dòng)變阻器、燈泡等物理器件搭建一個(gè)電路回路。

（每四人為一學(xué)習(xí)組，搭建電路實(shí)景圖，并拉動(dòng)滑塊進(jìn)行觀察。）

生1：緩慢拉動(dòng)滑動(dòng)變阻器上的滑塊，我發(fā)現(xiàn)燈泡的亮度從最明亮到最暗淡，最后又變成最明亮。

師：大家都觀察到類似的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，那意味著電路中實(shí)際電阻值怎樣變化呢？

生2：整個(gè)電路回路中實(shí)際電阻值的大小變化是：小——大——小。

師：結(jié)合物理相關(guān)知識(shí)思考，這是一個(gè)什么電路？如何計(jì)算電路中的實(shí)際電阻值？

二、基于數(shù)學(xué)探究的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)探究是新課程標(biāo)志性的熱門詞語，但是一線教師真正引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)探究的少之又少，而那些讓學(xué)生記憶深刻、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的探究幾乎沒有。偽探究我們見了不少，但是真正做探究是如何做呢？首先，教師須要明白什么是探究。美國(guó)國(guó)家教育科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)探究的定義是：探究是多層次、多方面的活動(dòng)，包括觀察、提出問題（通過查詢資料發(fā)現(xiàn)已知結(jié)論，指定調(diào)查研究計(jì)劃）；用多元的手段收集數(shù)據(jù)、分析調(diào)研數(shù)據(jù)、提出恰當(dāng)猜想；對(duì)研究初步結(jié)果進(jìn)行交流。在美國(guó)國(guó)家科學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)中，基于教學(xué)的探究有下列用法（節(jié)選）：第一，基于探究的教學(xué)：科學(xué)性教學(xué)的核心策略是積極思考對(duì)于學(xué)生真實(shí)探究所出現(xiàn)的反饋和問題。第二，基于探究的學(xué)習(xí)：從學(xué)生角度來說，探究的含義也可以是學(xué)習(xí)過程。美國(guó)國(guó)家課程教育標(biāo)準(zhǔn)指出，探究包含一種積極的學(xué)習(xí)過程——“學(xué)生去做的事，而不是為他們做好那些事”。用建構(gòu)主義的話來說，探究要讓學(xué)生思考我該怎么做，為什么這么做，甚至是做什么，區(qū)別以往被動(dòng)接受教師要求學(xué)生做，甚至是教師制定大量數(shù)學(xué)性質(zhì)、結(jié)論要求學(xué)生記憶。

因此，探究性學(xué)習(xí)是以科學(xué)研究的過程來類似做學(xué)習(xí)研究，從而在掌握知識(shí)的同時(shí)，體驗(yàn)、理解、思索科學(xué)研究的方式方法，掌握問題研究一般規(guī)律的方式。這種研究對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)興趣、培養(yǎng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用，也特別可以用感性的研究去理解一些抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

例2：幾何概型等可能的研究

辨析：這是學(xué)生給出的不同的解法。造成不同結(jié)果的原因是什么？經(jīng)過辨析，學(xué)生普遍認(rèn)為第二種解法存在問題，但是錯(cuò)誤的原因在哪里？數(shù)學(xué)表象的背后如何闡述抽象錯(cuò)誤的原因？本題的本意是要求兩直角邊x、y是（0，1）區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，從而點(diǎn)落在正方形區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)處都是等可能的；解法2的同學(xué)出于好心將問題進(jìn)行了簡(jiǎn)化運(yùn)算，其一一對(duì)應(yīng)的變換是令m=x2，n=y2，恰恰在此有可能出現(xiàn)了問題。為了闡述這種變換是否等可能，我們可以利用Excel VBA檢驗(yàn)。步驟如下：

（1）第一列記為橫坐標(biāo)x，選中A1格，利用Excel自帶函數(shù)Rand，填寫為Rand（0，1），自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，按住右下角拖動(dòng)至A3000，產(chǎn)生3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；同理：第二列記為縱坐標(biāo)，選中B1格，產(chǎn)生3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；

（2）第三列記為橫坐標(biāo)x2，選中C1格，計(jì)算“=A1*A1”，按住右下角拖動(dòng)至A3000，產(chǎn)生3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；同理：第四列記為縱坐標(biāo)y2，選中D1格，計(jì)算3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；

（3）選中A、B兩列，插入—圖表—散點(diǎn)圖，得到（x，y）均勻分布于圖4；

（4）選中C、D兩列，插入—圖表—散點(diǎn)圖，得到（x2，y2）非均勻分布于圖5。

思考：實(shí)驗(yàn)探究表明，一一對(duì)應(yīng)變換并不能保證變量的等可能性。其實(shí)從函數(shù)角度也非常好理解，非線性函數(shù)的自變量與函數(shù)值并不是等價(jià)變化的，統(tǒng)計(jì)學(xué)中線性相關(guān)說的正是這個(gè)道理。以信息輔助為手段，將變量間抽象的轉(zhuǎn)換關(guān)系以具體的散點(diǎn)圖展示出來，深刻理解了線性相關(guān)下幾何概型的等可能具備傳遞性，而非線性變換由于變換曲率的不同，自然無法達(dá)到隨心所欲的變換。實(shí)驗(yàn)教學(xué)將這種變換間的數(shù)學(xué)抽象表露無遺，促進(jìn)了學(xué)生的思考和理解，增加了學(xué)習(xí)的興趣。

三、基于碎片化時(shí)間的技術(shù)

隨著網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展，現(xiàn)代教學(xué)中微視頻教學(xué)、云端微資源的利用、微型化app的使用都不斷滲透到教學(xué)中。以微視頻、微博等典型的“微元素”方式促進(jìn)了“微時(shí)代”的迅速發(fā)展，“微”已經(jīng)置身于生活各個(gè)領(lǐng)域，從教學(xué)角度來說，微課程、微視頻、微課、微系統(tǒng)等等，占領(lǐng)了教學(xué)的碎片化時(shí)間，大大提高了學(xué)習(xí)的效率、開拓了教學(xué)的資源。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)可以利用碎片化時(shí)間，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)，在短時(shí)內(nèi)進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)問題實(shí)踐，在微型設(shè)備（如手機(jī)、平板、圖形計(jì)算器等）等利用相關(guān)app進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)，從技術(shù)的手段思考數(shù)學(xué)問題的抽象性。筆者常常以HP公司的圖形計(jì)算器為技術(shù)工具（或者圖形計(jì)算器的app），在碎片化時(shí)間內(nèi)尋求數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

例3：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究是一個(gè)難點(diǎn)，日常教學(xué)中更多是依賴形式化分析、理論證明，學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)的直觀感受比較缺失，我們可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)，選擇函數(shù)模型，利用圖形計(jì)算器實(shí)驗(yàn)、對(duì)比、分析，獲得更多的感性認(rèn)知，進(jìn)而思考復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的變換。

（1）打開圖形計(jì)算器界面，選擇APP“函數(shù)”；

（2）在編輯函數(shù)界面，選擇基本初等函數(shù)（即需要復(fù)合的函數(shù)）（圖6）；

（3）選擇相應(yīng)的基本初等函數(shù)進(jìn)行復(fù)合（圖7）思索初等函數(shù)圖象以及復(fù)合函數(shù)圖象變化，作圖、歸納結(jié)論，并可以利用單調(diào)性定義對(duì)其進(jìn)行理論性論證。

思考：對(duì)于一些一開始無法直觀判斷的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可以通過多次實(shí)驗(yàn)觀察，結(jié)合數(shù)學(xué)論證培養(yǎng)學(xué)生的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的抽象思維。在此教師也可以僅僅提供一個(gè)問題，讓學(xué)生主動(dòng)去探索問題，培養(yǎng)學(xué)生將自己面對(duì)的問題歸類、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)并驗(yàn)證的習(xí)慣，也可以更進(jìn)一步讓學(xué)生通過技術(shù)手段主動(dòng)復(fù)合不同的函數(shù)，提供多元的思考方向，為后續(xù)理論論證提供感性支撐。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯 郭振玲】