劉連橋

摘 要：數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，是當(dāng)代學(xué)生最基本的素養(yǎng)。如何理解并提高數(shù)學(xué)抽象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，高考如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的考查。本文對2015和2016年的高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)題目進(jìn)行分析，淺談數(shù)學(xué)抽象在高考試題中的考查形式，并分析數(shù)學(xué)抽象對學(xué)生素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象；核心素養(yǎng)；素養(yǎng)培養(yǎng)；數(shù)學(xué)新課標(biāo)

一、 數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵

通常所說的抽象，是指在認(rèn)識事物的過程中，舍去事物個別非本質(zhì)的屬性，進(jìn)而抽取出本質(zhì)屬性的過程和方法。數(shù)學(xué)抽象是指通過分析、觀察、研究，拋開事物偶然的、外部的、表象的東西，抽取事物最本質(zhì)、最內(nèi)在、最必然的東西，從數(shù)量關(guān)系和空間形式上揭露事情的本質(zhì)和客觀規(guī)律的一種具體的數(shù)學(xué)研究方法。通常，數(shù)學(xué)抽象中具有以下具體表現(xiàn)：首先，形成具體的數(shù)學(xué)概念和相應(yīng)規(guī)則；其次，形成具體的命題和相應(yīng)模型；最后，形成確切的數(shù)學(xué)方法具體思想。

二、 處于核心素養(yǎng)地位的數(shù)學(xué)抽象

教授鮑建生曾在文章中寫道，高中數(shù)學(xué)課程的修訂聚焦數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)問題上來，當(dāng)前我國的數(shù)學(xué)教育主要針對三大能力以及四基四能最后到核心素養(yǎng)培養(yǎng)；同時其指出青年學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象有利于把握高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，有利于培養(yǎng)更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)能力，提高對數(shù)學(xué)問題的研究和分析能力，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)抽象的理解和掌握。史寧中教授在數(shù)學(xué)抽象上也有自己的深刻見解，該教授曾作為義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂組長，其看法直接影響高中數(shù)學(xué)課程的修訂標(biāo)準(zhǔn)，同時史老還提出了抽象是將數(shù)學(xué)知識導(dǎo)入數(shù)學(xué)內(nèi)部、推理促使數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、模型溝通數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系等一系列重要思想。

三、 數(shù)學(xué)抽象在高考題目中的考查

數(shù)學(xué)抽象貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)的基本思想，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)。近年來，高考題目中對數(shù)學(xué)抽象考查屢見不鮮，要求考生牢固掌握“三基”，認(rèn)識數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和人文價(jià)值，掌握數(shù)學(xué)知識與技能，形成數(shù)學(xué)能力，能從數(shù)學(xué)的角度用數(shù)學(xué)的方法認(rèn)識問題、分析問題、解決問題。筆者為準(zhǔn)確分析數(shù)學(xué)抽象在高考題目中的考查形式以及考查方向，選取了2015和2016年的全國高考課標(biāo)卷試題進(jìn)行分析和總結(jié)。期望廣大考生能夠更好的理解數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，理解學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，形成舉一反三的能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，建立良好的數(shù)學(xué)抽象能力，理解知識的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。

四、 基于數(shù)學(xué)抽象的技能素養(yǎng)考查

高考課標(biāo)明確指出，數(shù)學(xué)課程必須重視運(yùn)算，具有作圖、分析、推理以及處理數(shù)據(jù)等能力。其中技能素養(yǎng)是通過基本技能的訓(xùn)練、總結(jié)，進(jìn)而慢慢形成的一種數(shù)學(xué)思維方式。要求考生注意掌握必備知識，挖掘數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，專注典型試題的研究。

【評析】 例1的第（Ⅰ）問是求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的基本定理、初等數(shù)列的求解公式以及數(shù)列的基本運(yùn)算能力和推理能力，其從側(cè)面考查了數(shù)學(xué)抽象在數(shù)列中的運(yùn)用。第（Ⅱ）問是考查裂項(xiàng)相消法的運(yùn)用，學(xué)生需要精通數(shù)列求解，能根據(jù)每項(xiàng)的前后抵消原理，求出{bn}的前n項(xiàng)和，該過程要求學(xué)生具有較高的計(jì)算能力和求解能力。

《考試大綱》指出，高考試題在考查目標(biāo)要注重必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值的考查。對數(shù)學(xué)抽象技能素養(yǎng)的考查可以有效考查學(xué)生的推理判斷能力以及求解計(jì)算能力，對考生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提出了較高的要求，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值。由此可以看出近年來數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)是十分重要的，不僅時時刻刻出現(xiàn)在高考題，還需要學(xué)生能夠熟練掌握，因此加強(qiáng)學(xué)生的素養(yǎng)培養(yǎng)顯得格外重要，隨著未來高考招生的變革，要求考生具備更高的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)科能力，在今后的學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)還需更上一層樓。

五、 基于數(shù)學(xué)抽象的思維素養(yǎng)考查

核心素養(yǎng)是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和語言的教育，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維和語言進(jìn)行閱讀、運(yùn)算、推理和表達(dá)。思維素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能的過程中日積月累而形成的，它解決問題的策略更加明確。思維素養(yǎng)的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在解決問題的途徑、解決問題的方式以及分析問題等方面，高考課標(biāo)也明文規(guī)定，思維素養(yǎng)要從深刻性、靈活性、創(chuàng)造性、廣闊性等四個方面進(jìn)行考查。

【例2】 （2015新課標(biāo)Ⅰ理數(shù)20）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=x24與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點(diǎn)。

（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？并說明理由。

【評析】 例2的第（Ⅰ）問主要是給定具體的斜率，求拋物線的切線，該題是考查學(xué)生的計(jì)算能力，同時需要運(yùn)用直線的基本方程以及拋物線的基本形式和定義。第（Ⅱ）問是求動點(diǎn)問題，需要考生具有很強(qiáng)的推理判斷能力和想象能力。動點(diǎn)問題是高考經(jīng)?？疾榈念}目，需要加深對數(shù)學(xué)抽象的理解。對高考考生而言，深入研究才能適應(yīng)當(dāng)前的高考題目形式，不僅需要明白數(shù)學(xué)抽象在類似的題目中的考查形式，還需要了解數(shù)學(xué)抽象在此類題目中的應(yīng)用范圍。

六、 基于數(shù)學(xué)抽象的知識素養(yǎng)考查

發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量，做好數(shù)學(xué)教育的分內(nèi)事，這是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的必由之路。用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，數(shù)學(xué)的思維分析世界，數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，數(shù)學(xué)的知識素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的核心載體。知識素養(yǎng)主要包含知識系統(tǒng)內(nèi)和知識系統(tǒng)外的知識。中學(xué)階段的知識主要是基于課本的概念、定理、公式、推論等規(guī)律性知識，外在知識包括學(xué)生自己在學(xué)習(xí)過程中自己發(fā)現(xiàn)的知識，與書本知識形成互補(bǔ)，從而提高學(xué)生的知識素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

【例3】 （2015新課標(biāo)Ⅱ理數(shù)6）正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分的體積和剩余部分體積的比值是（）

A. 18B. 17C. 16D. 15

【評析】 本題目是新課標(biāo)全國卷Ⅱ的一道選擇題，通常數(shù)學(xué)抽象在選擇題目中的考查形式多半以考查想象能力為主，表現(xiàn)為考查空間想象和平面想象，該題結(jié)合了立體幾何的知識，考查考生對體積的理解和掌握。首先，數(shù)學(xué)抽象在此題得到了巨大的體現(xiàn)；其次，正方體的計(jì)算公式，三棱錐的計(jì)算公式會在此題中同時被使用，因此該題目的遷移很廣，需要學(xué)生有很強(qiáng)的遷移能力、計(jì)算能力以及空間想象能力。

七、 基于數(shù)學(xué)抽象的遷移素養(yǎng)考查

數(shù)學(xué)抽象往往表現(xiàn)出以下特點(diǎn)：在認(rèn)識問題時，能將已有的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念、知識等廣義化，用于認(rèn)識和解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，具有普遍遷移，廣泛輻射的功能，即要求具備知識遷移能力，注重遷移素養(yǎng)的培養(yǎng)。遷移能力是知識素養(yǎng)和思維素養(yǎng)的集中體現(xiàn)。學(xué)生將所學(xué)到的知識以及思維從某個場景遷移到另外的場景，是建立在一定的知識結(jié)構(gòu)和思維上的，高考考綱也規(guī)定，學(xué)生需具備舉一反三的能力，也就是能將所學(xué)的方法遷移至學(xué)習(xí)生活中的領(lǐng)域。

【例4】 （2016新課標(biāo)Ⅰ理數(shù)17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332，求△ABC的周長。

【評析】 三角函數(shù)和解三角形一直以來都是高考的重點(diǎn)。本題第（Ⅰ）小問很嚴(yán)謹(jǐn)，考生需要具備十分扎實(shí)的知識功底和運(yùn)算能力，要求考生有全局觀，方可完整解出此題。第（Ⅱ）個小問主要考查解三角形和三角函數(shù)的聯(lián)系，考生需要分析該題目的內(nèi)在聯(lián)系和外在聯(lián)系，通過內(nèi)在聯(lián)系和外在聯(lián)系相結(jié)合，從而解決該題。解出第（Ⅱ）個小問更需要一些觀察能力和判斷能力以及一定的邏輯思維，解決該問題具備較高的計(jì)算能力是前提。根據(jù)上述分析，近年全國卷的趨勢完全向數(shù)學(xué)抽象靠攏，而且呈上升趨勢，同時在考試中的比重占得比較大，因此在目前的高考形勢下，學(xué)生必須具備高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能適應(yīng)當(dāng)今的政策和形勢。所以，數(shù)學(xué)抽象對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)顯得相當(dāng)重要。

八、 基于數(shù)學(xué)抽象的運(yùn)算素養(yǎng)考查

運(yùn)算求解能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必備能力，運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象中最重要的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)抽象整體素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，擁有良好的運(yùn)算素養(yǎng)是做題乃至高考中最為關(guān)鍵的一步，即便具備任何素養(yǎng)，但是運(yùn)算素養(yǎng)不過關(guān)，那也是不合格，可以說最終的高考會功敗垂成。因此，良好的運(yùn)算素養(yǎng)是十分重要的，要求廣大考生明晰運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，回歸本質(zhì)，固本守正，守正出新。

【例5】 （2016新課標(biāo)Ⅰ理數(shù)20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于E。

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出E的軌跡方程。

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

【評析】 該題第（Ⅰ）個問主要考查定值問題，解此題需要具備良好的運(yùn)算能力，以及具備一定的遷移能力。然而第（Ⅱ）小問就相對困難，要求考生具備非常高的運(yùn)算能力和推理能力，其中運(yùn)算量十分龐大，考生需要具備一定的耐心才能完整解出此題。

以“例題講解+模仿練習(xí)”的方式讓學(xué)生“不斷重復(fù)昨天的故事”，其結(jié)果是挫傷學(xué)生的數(shù)學(xué)積極性，事倍功半，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和自信心，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)就成為一句空話。高考對于數(shù)學(xué)抽象的考查越來越頻繁，對運(yùn)算求解能力提出更高的要求，為適應(yīng)當(dāng)前的高考形勢，培養(yǎng)和發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)勢在必行。注重通性通法的研究，普及算理，優(yōu)化算法，讓學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)知識合理解釋直至創(chuàng)造性地解決問題。

九、 結(jié)束語

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，基于對近兩年高考試題中數(shù)學(xué)抽象的考查形式進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)對數(shù)學(xué)抽象的考查，考查形式多種化，考查內(nèi)容豐富化，因此，對于廣大考生而言，想提高自己的數(shù)學(xué)成績，必須著實(shí)提高自身素養(yǎng)的培養(yǎng)，只有將自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高，才能跟上或者趕超高考時代的步伐，在考場上發(fā)揮出自己應(yīng)有的水準(zhǔn)，取得令自己滿意的高考數(shù)學(xué)成績。同時，也要求廣大數(shù)學(xué)教育工作者改變課堂教學(xué)方式，拓寬學(xué)生思維空間，將課堂從知識轉(zhuǎn)向能力，從能力轉(zhuǎn)向素養(yǎng)。

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