（天津電氣科學(xué)研究院有限公司，天津 300180）

在變頻器驅(qū)動(dòng)電機(jī)來拖動(dòng)被控對象的應(yīng)用中，變頻器中的速度給定通常需要經(jīng)過給定積分器后再使用。這樣在速度發(fā)生階躍變化時(shí)，可以減小電機(jī)對拖動(dòng)設(shè)備的瞬時(shí)沖擊、延長設(shè)備的使用壽命。

近年來，隨著可編程控制器（PLC）運(yùn)算速率的提升，在用PLC控制變頻器拖動(dòng)被控對象時(shí)，工程人員逐漸開始將給定積分器的功能放在PLC中實(shí)現(xiàn)。這樣既可以提高控制編程的靈活性，也可以降低傳動(dòng)裝置的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。

本文以西門子S7-1500 PLC為例，介紹給定積分器的實(shí)現(xiàn)方法。由于階躍速度給定經(jīng)過給定積分器后的輸出曲線為S型曲線，下文將給定積分器簡稱為S曲線積分器。

1 S曲線的實(shí)現(xiàn)

1.1 數(shù)學(xué)表達(dá)式

S曲線加減速過程示意圖如圖1所示[1]。

圖1 S曲線加減速過程示意圖Fig.1 Schematic for the acceleration and deceleration process of S-shaped curve

由圖1可知，S曲線分為起始圓弧段（t0—t1或t4—t5）、勻加速段（t1—t2或t5—t6）和終止圓弧段（t2—t3或t6—t7）。其中起始圓弧和終止圓弧段為變加速過程；勻加速段為恒加速過程。S曲線減速過程與加速過程類似，下面只描述加速過程的表達(dá)式。

加速度a(t)表達(dá)式如下：

式中：J為加速度的變化率；A為勻加速段的加速度。

速度v（t）表達(dá)式如下：

PLC為離散控制器，需要將連續(xù)方程式（2）、式（3）轉(zhuǎn)化為差分方程后使用。式（3）的微分形式為dv(t)=a(t)dt，離散化得到下式：

設(shè)置TA為PLC掃描周期，則有：

同理公式（1）離散化結(jié)果如下：

1.2 S曲線程序塊引腳規(guī)劃

為方便程序的移植，這里采用SCL語言編寫S曲線程序塊。程序塊需在固定周期中斷任務(wù)中調(diào)用。掃描周期TA通過輸入引腳手動(dòng)輸入或采用系統(tǒng)RUNTIME塊處理得到。

圖2為S曲線程序塊結(jié)構(gòu)圖。圖2中，采用工程技術(shù)人員習(xí)慣使用的加減速時(shí)間和圓弧時(shí)間作為描述S曲線運(yùn)行過程的輸入引腳。其中TU為加速時(shí)間TU輸入引腳，TD為減速時(shí)間TD輸入引腳，TRU為加速時(shí)的圓弧時(shí)間TRU輸入引腳，TRD為減速時(shí)的圓弧時(shí)間TRD輸入引腳，NRM為速度標(biāo)幺值NRM輸入引腳，LU和LL分別為速度輸出的上限值LU和下限值LL輸入引腳。

圖2 S曲線程序塊結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure for the program block of S-shaped curve

根據(jù)工程應(yīng)用需要，S曲線程序塊有幾種模式可選擇，按優(yōu)先級(jí)從高到低的順序依次為EN?ABLE，S，CF，CU，CD模式。其中ENABLE=1為程序塊使能；S=1為將速度輸出YV置為輸入速度XV；CF=1為輸出YV對設(shè)定XV積分；CU=1為輸出YV對LU積分；CD=1為輸出YV對LL積分。

輸出引腳主要有速度輸出YV、加速度輸出YA、最小停車距離L、運(yùn)行距離YP及程序塊故障輸出QF輸出引腳。

1.3 S曲線編程實(shí)現(xiàn)

S曲線程序塊編程步驟如下：

1）判斷輸入?yún)?shù)的合法性。

2）根據(jù) TU，TD，TRU，TRD的輸入值計(jì)算加速度和加速度的斜率。當(dāng)TU=0或TD=0時(shí)，加速過程或減速過程完全為圓弧過程，即文獻(xiàn)[2]中的五段S曲線，加速度曲線為三角形；當(dāng)TRU=0或TRD=0時(shí)，為勻加速或勻減速過程，即文獻(xiàn)[3]中梯形速度曲線，加速度曲線為矩形。

3）根據(jù)模式輸出，選擇積分速度輸入。

4）根據(jù)速度和加速度方向，選擇A和J，偽代碼如表1所示。

表1 加速度選擇偽代碼Tab.1 Pseudocode of accelerated speed selection

5）加速度限幅：加速度上限值A(chǔ)up=A，加速度下限值A(chǔ)dn=-A。

6）判斷終止圓弧拐點(diǎn)：速度變化過程中，實(shí)時(shí)計(jì)算起始圓弧速度累計(jì)變化量dVJ=|A|·A/（2J）。以YV-XV=dVJ作為終止圓弧的起點(diǎn)，可以確保起始圓弧與終止圓弧對稱。計(jì)算過程偽代碼如表2所示。

表2 圓弧拐點(diǎn)判斷偽代碼Tab.2 Pseudocode of arc inflection point judgment

7）按照式（6），每個(gè)掃描周期對加速度進(jìn)行更新。加速度到達(dá)限幅時(shí)，停止更新。

8）按照式（5），每個(gè)掃描周期對速度更新。速度到達(dá)限幅時(shí)，停止更新。

9）計(jì)算并輸出加速度：

YA=dv/dt=(YV-YV_old)/TA

式中：YV_old為上周期的YV輸出。

10）計(jì)算最短停車距離L和運(yùn)行距離YP。

在S7-1500 PLC中完成S曲線程序塊的編寫，封裝的程序塊如圖2所示。在PLC中以5 ms掃描周期調(diào)用程序塊，采用ibaPAD軟件進(jìn)行曲線記錄，采樣周期為10 ms。

程序塊S曲線階躍輸入響應(yīng)曲線如圖3所示，其中V1_OUT為速度輸出曲線，YA1為加速度曲線。

圖3 S曲線階躍輸入響應(yīng)Fig.3 Step input response of S-shaped curve

2 S曲線的應(yīng)用

2.1 動(dòng)態(tài)慣量補(bǔ)償

用電機(jī)拖動(dòng)如張力輥、卷取機(jī)等剛體做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在加、減速過程中，為確保被控對象對速度給定的跟隨性能，需要按下式對旋轉(zhuǎn)的控制對象進(jìn)行慣量補(bǔ)償：

式中：M為需要補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)矩，N·m；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2，可以根據(jù)實(shí)際拖動(dòng)對象的形狀和材質(zhì)直接積分計(jì)算得到；aω為角加速度，rad/s2；av為線加速度，m/s2；r為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，m；ω為角速度，rad/s；v為線速度，m/s。

實(shí)際工程項(xiàng)目中，通常按照實(shí)際生產(chǎn)工藝要求對拖動(dòng)對象進(jìn)行加、減速運(yùn)動(dòng)測試，再根據(jù)實(shí)測轉(zhuǎn)矩的百分?jǐn)?shù)折算慣量補(bǔ)償值。

圖4為現(xiàn)場某張力輥從45 m/min加速到190 m/min的速度、電機(jī)額定轉(zhuǎn)矩百分比曲線。其中轉(zhuǎn)矩曲線中位置①和位置③分別為低速和高速時(shí)的摩擦轉(zhuǎn)矩，位置②和位置①的差值為需要補(bǔ)償?shù)募铀俎D(zhuǎn)矩Mnor。

圖4 速度、轉(zhuǎn)矩曲線Fig.4 Curves of the speed and torque

生產(chǎn)運(yùn)行過程中按照下式進(jìn)行動(dòng)態(tài)慣量補(bǔ)償：

式中：YAnor為慣量測量時(shí)的加速度；YA為生產(chǎn)時(shí)S曲線程序塊輸出的實(shí)際加速度；Me為電機(jī)額定轉(zhuǎn)矩。

在慣量測量時(shí)，應(yīng)進(jìn)行多點(diǎn)多次測量，取平均值應(yīng)用。

2.2 S曲線串聯(lián)

S曲線的串聯(lián)廣泛應(yīng)用于工程項(xiàng)目中。例如在連續(xù)帶鋼處理線中，出口段速度給定為工藝段S曲線輸出速度疊加沖、放套速度，出口段速度相當(dāng)于兩級(jí)S曲線串聯(lián)。這里，采用兩個(gè)S7-1500 PLC進(jìn)行試驗(yàn)。PLC1中運(yùn)行S1曲線，PLC2中運(yùn)行兩個(gè)加減速參數(shù)相同的曲線S2和S12。同時(shí)給S1和S2階躍速度輸入，將S1輸出速度V1_OUT通過以太網(wǎng)通信傳輸給PLC2，作為S12曲線的速度輸入。下面討論不同斜率S曲線的輸出響應(yīng)特性。

TU1＜TU2串聯(lián)曲線如圖5所示。高斜率S1曲線串聯(lián)低斜率S12曲線，即加速時(shí)間TU1＜TU2時(shí)，串聯(lián)后的輸出響應(yīng)與單獨(dú)調(diào)用S2曲線的效果一致。由圖5可知，S1曲線的加速時(shí)間TU1=5 s，圓弧時(shí)間TRU1=1 s，S2和S12曲線的加速時(shí)間TU2=10 s，圓弧時(shí)間TRU2=1 s。串聯(lián)后S12的速度輸出曲線V12_OUT與S2輸出曲線V2_OUT重合，串聯(lián)后S12的加速度YA12與S2的加速度YA2相等。

圖5 TU1＜ TU2串聯(lián)曲線Fig.5 Series connection curves with TU1＜TU2

低斜率S1曲線串聯(lián)高斜率S12曲線時(shí)，即加速時(shí)間TU1＞TU2時(shí)。由于S12的速度和加速度受到S1的加速度限制，S12始終處于變加速過程。串聯(lián)后的速度輸出曲線V12_OUT跟隨低加速度S1曲線的速度輸出，但加速度YA12與S1，S12曲線的加速度變化率 J1，J2的大小有關(guān)。J2相對 J1越大時(shí)，S12的圓弧時(shí)間越短，S12的輸出速度曲線V12_OUT對S2的輸出曲線V2_OUT跟隨性越好，但加速度YA12以YA2為基準(zhǔn)線波動(dòng)越明顯。

圖6為J1＜J2時(shí)積分器串聯(lián)的響應(yīng)曲線，其中TU1=10 s，TRU1=1 s，TU2=5 s，TRU2=0.1 s。當(dāng) J2相對 J1越小時(shí)，S12的圓弧時(shí)間越長，V12_OUT滯后V2_OUT越多，但YA12曲線相對平滑。圖7為J1＞J2時(shí)積分器串聯(lián)的響應(yīng)曲線，其中TU1=10 s，TRU1=1 s ，TU2=5 s，TRU2=1 s。由于圓弧時(shí)間越短，加減速過程對設(shè)備的瞬時(shí)沖擊越大，工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)設(shè)備的承受能力選擇合適的J1，J2值以滿足生產(chǎn)工藝要求。

圖6 J1＜J2串聯(lián)曲線Fig.6 Series connection curves with J1＜J2

圖7 J1＞J2串聯(lián)曲線Fig.7 Series connection curves with J1＞J2

2.3 定位停車

工程項(xiàng)目中，經(jīng)常需要準(zhǔn)確定位停車。這就需要知道S曲線從當(dāng)前速度按照給定斜率降到零速需要運(yùn)行的距離L。程序塊按照下式計(jì)算停車距離：

當(dāng)NRM單位為m/s時(shí)，輸出L單位為m；當(dāng)NRM單位為m/min時(shí)，輸出L除以60后單位為m。

L為按照S曲線斜率至少需要預(yù)留的停車距離。多級(jí)S曲線串聯(lián)應(yīng)用時(shí)，取最長單級(jí)S曲線的停車距離L做定位控制。定位時(shí)從L+dL的位置開始啟動(dòng)定位停車程序，dL為停車余量。給定速度V按下式計(jì)算：

式中：V0為降速前的初始速度；Lact為停車程序啟動(dòng)后運(yùn)行的距離，可由程序塊輸出YP處理得到；k為比例調(diào)節(jié)系數(shù)，用于根據(jù)生產(chǎn)工藝要求做變比例調(diào)節(jié)。

3 結(jié)論

文中S曲線程序塊以加速時(shí)間和圓弧時(shí)間作為輸入?yún)?shù)，符合工程應(yīng)用習(xí)慣。程序塊輸出實(shí)時(shí)加速度值和最短停車距離，方便使用者根據(jù)工藝要求進(jìn)行慣量補(bǔ)償和定位停車控制。此外，程序塊以SCL編程實(shí)現(xiàn)，可以方便地移植到其它支持SCL語言的PLC中，也可以編譯成STL語言后，移植到支持STL的PLC中。目前，該S曲線程序塊已在多款PLC中用于平整機(jī)、軋機(jī)、連續(xù)退火等生產(chǎn)線的速度、張力控制，并取得良好的效果，具有較好的參考和實(shí)用價(jià)值。