續(xù)曉欣,高玉斌,梁月亮
(1.中北大學(xué) 儀器與電子學(xué)院,山西 太原030051;2.中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原030051)
近年來,關(guān)于符號(hào)模式(或零-非零不可約模式)的慣量任意性與慣量臨界集(或精細(xì)慣量任意性與精細(xì)慣量臨界集)的研究成果很多.文獻(xiàn)[1]根據(jù)慣量臨界集的定義,給出并驗(yàn)證了n=2,3,4時(shí)不可約零-非零模式的極小慣量臨界集以及n=2,3時(shí)不可約符號(hào)模式的極小慣量臨界集.文獻(xiàn)[2]闡述了精細(xì)慣量的定義并得出:n≤3時(shí)不可約零-非零模式的慣量任意性、精細(xì)慣量任意性與譜任意性是等價(jià)的,當(dāng)n=4時(shí)不可約零-非零模式的精細(xì)慣量任意性與譜任意性是等價(jià)的,而對于更高階的不可約零-非零模式,上述結(jié)論則不一定成立.文獻(xiàn)[3]利用組合矩陣論的方法,得到并驗(yàn)證了n=2,3時(shí)不可約零-非零模式的所有極小慣量臨界集以及所有極小精細(xì)慣量臨界集.在文獻(xiàn)[4]中,二階不可約符號(hào)模式的所有極小精細(xì)慣量臨界集都得到了驗(yàn)證.對于任意蘊(yùn)含冪零的全符號(hào)模式,文獻(xiàn)[5]證明其一定是譜任意(從而也是慣量任意)的.最近,文獻(xiàn)[6]給出并驗(yàn)證了三階全符號(hào)模式的所有極小精細(xì)慣量臨界集,從而使慣量臨界集(精細(xì)慣量臨界集)的研究開辟到全符號(hào)模式的領(lǐng)域.
幾乎慣量任意的不可約零-非零模式是2010年文獻(xiàn)[7]中提出的一個(gè)概念,文獻(xiàn)[7]的引理2.3證明了三階不可約零-非零模式M蘊(yùn)含除(0,0,3)之外其余所有可能的慣量,稱此時(shí)的不可約零-非零模式M是幾乎慣量任意的.國內(nèi)關(guān)于幾乎慣量任意模式的研究只限于符號(hào)模式矩陣的范疇,楊正民等人在文獻(xiàn)[8]中證明了一類符號(hào)模式是幾乎完全慣量任意的符號(hào)模式,梅銀珍等人在文獻(xiàn)[9]中利用矩陣的直和構(gòu)造出一種幾乎完全慣量任意的符號(hào)模式矩陣.目前,國內(nèi)外針對幾乎慣量任意的不可約零-非零模式的系統(tǒng)研究尚未展開.本文在深入研究不可約零-非零模式的基本概念和基礎(chǔ)理論之后,受文獻(xiàn)[7]啟發(fā),探討三階不可約零-非零模式中的幾乎慣量任意的模式,將三階不可約零-非零模式按照慣量任意模式、幾乎慣量任意模式、非慣量任意又非幾乎慣量任意模式分為三類,并對其進(jìn)行了歸類研究.
一般說來,驗(yàn)證符號(hào)模式是慣量任意的,可以采取一些常規(guī)的方法,比如:冪零-雅可比方法、冪零-中心化方法[10],對于不可約零-非零模式,沒有常規(guī)的方法可以驗(yàn)證其慣量任意性.因此,本文采用分析法與列舉法結(jié)合的方法得到三階不可約零-非零模式中幾乎慣量任意的所有模式M,N,P.首先,利用組合理論中矩陣跡與特征值的關(guān)系以及矩陣特征多項(xiàng)式與特征值的關(guān)系,證明(0,0,3)不能被以上三種模式蘊(yùn)含;其次,對于每一個(gè)除(0,0,3)之外的三階零-非零模式的慣量,給出每個(gè)慣量在實(shí)數(shù)域上具體的矩陣實(shí)現(xiàn),說明M,N,P蘊(yùn)含這個(gè)慣量,從而證明三種模式M,N,P是幾乎慣量任意的.
首先介紹零-非零模式的相關(guān)概念.零-非零模式矩陣是指元素取自集合{*,0}的矩陣,其中*指的是任意的非零實(shí)數(shù).若零-非零模式矩陣A(以下簡稱模式)通過轉(zhuǎn)置及置換相似的有限次組合變換可以得到模式B,則稱模式A與B模式等價(jià).若B=A或者將A中的一個(gè)或多個(gè)非零元素替換為零元素后可以得到模式B,則稱模式B為模式A的一個(gè)子模式,同時(shí)A為B的一個(gè)母模式.若模式A置換相似于模式其中A11,A12為非空方陣,則稱模式A為可約的,否則稱A為一個(gè)不可約模式.具有相同模式A的n階實(shí)矩陣全體稱為模式A的定性矩陣類.模式A的譜是指該模式的所有定性類矩陣的特征值組成的集合.
n階實(shí)矩陣A的慣量是指滿足n++n-+n0=n的三元有序數(shù)組(n+,n-,n0),其中n+,n-,n0分別為矩陣A的具有正實(shí)部、負(fù)實(shí)部和零實(shí)部的特征值的個(gè)數(shù)[11].模式A蘊(yùn)含慣量(n+,n-,n0)是指,在模式A的定性矩陣類中至少存在一個(gè)實(shí)矩陣具有這樣的慣量.事實(shí)上,模式A蘊(yùn)含慣量(n+,n-,n0)當(dāng)且僅當(dāng)A蘊(yùn)含慣量(n-,n+,n0),這是由于,若矩陣A屬于某個(gè)模式的定性矩陣類中,則-A亦屬于這個(gè)定性矩陣類中,稱以上兩種慣量互為彼此的反轉(zhuǎn)慣量[1].若模式A蘊(yùn)含所有可能的慣量,則稱模式A是慣量任意的,若模式A蘊(yùn)含除某個(gè)慣量之外的其余所有慣量,則稱模式A是幾乎慣量任意的.
n階實(shí)矩陣A的精細(xì)慣量是指滿足n++n-+nz+2np=n的四元有序數(shù)組(n+,n-,nz,2np),其中,nz為矩陣A零特征值個(gè)數(shù),2np是指A純虛數(shù)特征值的個(gè)數(shù)[2,12].模式A蘊(yùn)含精細(xì)慣量(n+,n-,nz,2np)是指,在模式A的定性矩陣類中存在至少一個(gè)實(shí)矩陣具有(n+,n-,nz,2np)這樣的精細(xì)慣量.若模式A蘊(yùn)含所有可能的精細(xì)慣量,則稱模式A是精細(xì)慣量任意的,若模式A蘊(yùn)含除某個(gè)精細(xì)慣量之外的其余所有精細(xì)慣量,稱模式A是幾乎精細(xì)慣量任意的.類似于慣量的性質(zhì),模式A蘊(yùn)含精細(xì)慣量(n+,n-,nz,2np)當(dāng)且僅當(dāng)A蘊(yùn)含精細(xì)慣量(n+,n-,nz,2np),稱以上兩種精細(xì)慣量互為彼此的反轉(zhuǎn)精細(xì)慣量[2].設(shè)S為n階模式所有慣量構(gòu)成集合的一個(gè)非空真子集,對于任意的n階零-非零模式A,若集合S?i(A)可以使得該n階零-非零模式A慣量任意,則稱S是n階零-非零模式的一個(gè)慣量臨界集.類似可以得到精細(xì)慣量臨界集的定義.
接下來列出本文主要證明中所需的三階模式的基本性質(zhì):
引理1[3]設(shè)A為三階不可約零-非零模式,則其對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中含有一個(gè)三圈或兩個(gè)二圈.
引理2[7]設(shè)A為三階不可約零-非零模式,則A為慣量任意當(dāng)且僅當(dāng)A對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中含有子圖B,其中B中含有至少兩個(gè)環(huán)、兩個(gè)三階置換有向圖以及至少一個(gè)二圈.
引理3[13]設(shè)A為三階不可約零-非零模式,則A滿足以下結(jié)論:
1)若A含有5個(gè)或5個(gè)以下的非零元素,則A不是譜任意的;
2)若A含有6個(gè)非零元素且是譜任意的,則A是極小譜任意的并且等價(jià)于以下兩種形式之一
3)若A含有7個(gè)或7個(gè)以上非零元素并且主對角線至少2個(gè)非零元素,則A是譜任意的,但不是極小譜任意.
三階模式的譜任意性與慣量任意性是等價(jià)的[2],因此將上述引理3中的譜替換為慣量,結(jié)論同樣成立.
引理4[14]若模式A為慣量任意的三階不可約零-非零模式,則模式A必等價(jià)于以下兩種模式之一的母模式
根據(jù)引理1,所有三階不可約零-非零模式(對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖為強(qiáng)連通圖)共有25種情形(在等價(jià)意義下),下面將三階不可約零-非零模式分為慣量任意模式、幾乎慣量任意模式、非慣量任意又非幾乎慣量任意模式三種情形分別進(jìn)行討論.
根據(jù)引理4,慣量任意的三階模式共有9種,它們分別是
D1的母模式
D2的母模式
三階模式中幾乎慣量任意的模式共有3種,下面給出與幾乎慣量任意模式有關(guān)的4個(gè)命題及3個(gè)推論,并逐一證明.
命題1 三階模式
是幾乎慣量任意的,即蘊(yùn)含除(0,0,3)之外的其余所有慣量.
證明 根據(jù)文獻(xiàn)[3]中不可約零-非零模式慣量個(gè)數(shù)的計(jì)算公式三階模式共有10種慣量.由于模式M對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中不含有二圈,根據(jù)引理2結(jié)論,模式M不是慣量任意的.下面說明模式M是幾乎慣量任意的.考慮模式M在實(shí)數(shù)域上的5個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn),矩陣分別取到慣量(1,2,0),(0,2,1),(3,0,0),(1,0,2),(1,1,1).注意到一個(gè)模式蘊(yùn)含慣量(n+,n-,n0)當(dāng)且僅當(dāng)其蘊(yùn)含慣量(n-,n+,n0),將以上前4個(gè)實(shí)矩陣分別取負(fù)矩陣,則這4個(gè)負(fù)矩陣分別取到慣量(2,1,0),(2,0,1),(0,3,0),(0,1,2).至此,模式M蘊(yùn)含9個(gè)慣量,分別為(1,2,0),(0,2,1),(3,0,0),(1,0,2),(1,1,1),(2,1,0),(2,0,1),(0,3,0)與(0,1,2),由于模式M不是慣量任意的,則M不能蘊(yùn)含慣量(0,0,3).因此,模式M是幾乎慣量任意的.
命題2 三階模式
是幾乎慣量任意的,即蘊(yùn)含除(0,0,3)之外的其余所有慣量.
證明 從矩陣模式N的結(jié)構(gòu)可以看出,模式N對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中只有一個(gè)環(huán),根據(jù)引理2結(jié)論可知,模式N不是慣量任意的.又根據(jù)組合矩陣論的知識(shí)可知,矩陣模式N的跡是非零的,亦即模式N定性矩陣類中的任意矩陣其特征值之和非零,因此,模式N不能蘊(yùn)含慣量(0,0,3),下面說明模式N蘊(yùn)含其余所有的慣量,考慮模式N實(shí)數(shù)域上的5個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn),矩陣
分別取到慣量(1,2,0),(1,1,1),(1,0,2),(2,0,1)與(3,0,0),由于一個(gè)模式蘊(yùn)含慣量(n+,n-,n0)當(dāng)且僅當(dāng)其蘊(yùn)含慣量(n-,n+,n0),則模式N同樣蘊(yùn)含慣量(2,1,0),(0,1,2),(0,2,1)與(0,3,0),因此,模式N蘊(yùn)含除(0,0,3)之外的其余所有慣量,即模式N是幾乎慣量任意的.
命題3 三階模式
是幾乎慣量任意的,即蘊(yùn)含除(0,0,3)之外的其余所有慣量.
證明 由于(0,0,3)∈i(P)當(dāng)且僅當(dāng)i(P)蘊(yùn)含形如x3+qx(q≥0)的特征多項(xiàng)式.假設(shè)矩陣A是模式P的一個(gè)實(shí)數(shù)域矩陣實(shí)現(xiàn),不失一般性,設(shè)其中a,b,c,d是任意的非零實(shí)數(shù).此時(shí),矩陣A的特征多項(xiàng)式為
假設(shè)pA(x)=x3+qx,則a=0,與假設(shè)a是非零實(shí)數(shù)矛盾.因此,i(P)不能蘊(yùn)含形如x3+qx(q≥0)的特征多項(xiàng)式,于是模式P不能蘊(yùn)含慣量(0,0,3).下面考慮模式P實(shí)數(shù)域上的5個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn),矩陣
分別取到慣量(1,0,2),(1,1,1),(2,0,1),(3,0,0)與(2,1,0).因此,模式P同樣蘊(yùn)含慣量(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0)與(1,2,0),綜上可知模式P蘊(yùn)含除(0,0,3)之外的其余所有慣量,即模式P是幾乎慣量任意的.
推論1[7]設(shè)集合S是三階不可約零-非零模式的一個(gè)慣量臨界集,則(0,0,3)∈S.
證明 根據(jù)命題1,命題2及命題3可知,模式M,N與P均為幾乎慣量任意零-非零模式,即蘊(yùn)含除(0,0,3)之外的其余所有慣量,用反證法證明推論1成立,設(shè)S是三階模式的一個(gè)慣量臨界集并且(0,0,3)不屬于S,則S必包含三階模式慣量集合中的其它慣量,此時(shí)有S∈i(M),S∈i(N)及S∈i(P)成立.根據(jù)慣量臨界集的定義,若模式蘊(yùn)含臨界集S中的慣量,則模式必蘊(yùn)含所有可能的慣量,亦即該模式是慣量任意的,而命題1,命題2與命題3分別指出M,N與P均不是慣量任意的,這與S是三階模式慣量臨界集并且(0,0,3)?S的假設(shè)矛盾.因此,若S為三階不可約零-非零模式的慣量臨界集,則(0,0,3)∈S.
結(jié)合命題1,命題2,命題3及慣量與精細(xì)慣量的關(guān)系可得以下推論:
推論2 三階模式
均不蘊(yùn)含精細(xì)慣量(0,0,1,2)與(0,0,3,0).
命題4 三階模式
蘊(yùn)含除(0,0,1,2)與(0,0,3,0)之外的其余所有精細(xì)慣量.
證明 根據(jù)文獻(xiàn)[2]定理1.1中精細(xì)慣量個(gè)數(shù)的計(jì)算公式可知,三階模式的精細(xì)慣量共有8種(互為反轉(zhuǎn)精細(xì)慣量的一對精細(xì)慣量視為等價(jià)的1種精細(xì)慣量),由命題3可知,模式P不能蘊(yùn)含慣量(0,0,3),因此一定不能蘊(yùn)含精細(xì)慣量(0,0,1,2)與(0,0,3,0),下面說明模式P蘊(yùn)含其余6種精細(xì)慣量,考慮模式P實(shí)數(shù)域上的6個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn),事實(shí)上,下列矩陣
分別取到精細(xì)慣量(1,0,0,2),(1,0,2,0),(1,1,1,0),(2,0,1,0),(3,0,0,0)與(2,1,0,0).因此,模式P蘊(yùn)含除(0,0,1,2)及(0,0,3,0)之外的其余所有精細(xì)慣量.
推論3 設(shè)集合S′為三階模式的一個(gè)精細(xì)慣量臨界集,則S′包含(0,0,3,0)或(0,0,1,2).
證明 利用反證法獲證.假設(shè)(0,0,3,0)與(0,0,1,2)均不屬于S′,則S′中必定包含三階模式精細(xì)慣量集合中的其它精細(xì)慣量,由推論2可知,模式M,N與P均不是精細(xì)慣量任意的.與S′為三階模式精細(xì)慣量臨界集的定義矛盾.
根據(jù)引理3中(1),非零元素為5個(gè)或5個(gè)以下的三階模式不是譜任意的,從而不是慣量任意的.下面說明這些模式也不是幾乎慣量任意的.
2.3.1 非零元素為3個(gè)的三階模式有1種:
此模式要求非奇異且跡為零.因此,給定的三階模式不能蘊(yùn)含慣量(0,2,1),(2,0,1),(0,0,3),(1,1,1),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,2)及(0,1,2).
從而可知此三階模式不是幾乎慣量任意的.2.3.2 非零元素為4個(gè)的三階模式有3種:
第一種模式要求非奇異且跡非零,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,2,1),(2,0,1),(0,0,3)與(1,1,1);第二種模式要求非奇異且跡為零,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,2,1),(2,0,1),(0,0,3),(1,1,1),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,2)與(0,1,2);第三種模式要求奇異且跡為零,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,2,1),(2,0,1),(2,1,0),(1,2,0),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,2)與(0,1,2).綜上可知這3種模式不是幾乎慣量任意的.
2.3.3 非零元素為5個(gè)的三階模式有5種:
第一種模式要求非奇異,因此不能蘊(yùn)含(0,2,1),(2,0,1),(0,0,3),(1,1,1);第二種模式要求非奇異且跡為零,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,2,1),(2,0,1),(0,0,3),(1,1,1),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,2)與(0,1,2);第三種、第四種模式要求非奇異且跡非零,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,0,3),(1,1,1),(0,2,1),(2,0,1);第五種模式要求奇異且跡非零,因此不能蘊(yùn)含慣量(3,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(1,2,0),(0,0,3).綜上可知上述5種模式均不是幾乎慣量任意的.
由以上分析可知,非零元素為5個(gè)或5個(gè)以下的三階模式均不是慣量任意的,同時(shí)也不是幾乎慣量任意的.
2.3.4 非零元素為6個(gè)的模式有4種:
第一種模式要求非奇異且跡非零,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,0,3),(1,1,1),(0,2,1)與(2,0,1);第二種和第三種模式要求非奇異,因此不能蘊(yùn)含慣量(0,2,1),(2,0,1),(0,0,3)與(1,1,1);第四種模式要求跡為零,則不能蘊(yùn)含慣量(3,0,0),(0,3,0),(0,2,1),(2,0,1),(1,0,2)與(0,1,2).由此可得這4種模式均不是慣量任意的,也不是幾乎慣量任意的.
結(jié)合2.1,2.2及2.3可知,三階模式中,慣量任意的模式有9種,分別是
幾乎慣量任意的模式有3種,具體為
既非慣量任意又非幾乎慣量任意的模式有13種,分別為
文中對三階不可約零-非零模式的所有情形(在等價(jià)意義下共25種)進(jìn)行了分類討論:列出了慣量任意模式,共9種,得到了所有的幾乎慣量任意模式,共3種,同時(shí)得到非慣量任意又非幾乎慣量任意的模式,共13種.進(jìn)一步驗(yàn)證了集合作為三階模式慣量臨界集的必要條件.給出集合作為三階模式精細(xì)慣量臨界集的一個(gè)必要條件.事實(shí)上,關(guān)于幾乎慣量任意的零-非零模式尚有許多性質(zhì)有待進(jìn)一步探討.譬如,慣量任意零-非零模式與幾乎慣量任意零-非零模式之間的關(guān)系、零-非零模式是幾乎慣量任意零-非零模式的充分或必要條件等.
[1]Kim I J,Olesky D D,van den Driessche P.Critical sets of inertias for matrix patterns[J].Linear and Multilinear Algebra,2009,57(3):293-306.
[2]Deaett L,Olesky D D,van den Driessche P.Refined inertially and spectrally arbitrary zero-nonzero patterns[J].Electron.J.Linear Algebra,2010,20:449-467.
[3]Yu Berlin,Huang Hingzhu,Hua Hongbo.Critical sets of refined inertias for irreducible zero-nonzero patterns of order 2 and 3[J].Linear Algebra and its Application,2012,437:490-498.
[4]Yu Berlin.Minimal critical sets of refined inertias for irreducible sign patterns of order 2[J].Adv,Linear Algebra Matrix Theory,2013(3):7-10.
[5]Pereira R J.Nilpotent matrices and spectrally arbitrary sign patterns[J].Electron.J.Linear Algebra,2007,16:232-236.
[6]Gao Wei,Li Zhongshan,Zhang Lihua.The minimal critical sets of refined inertias forfull sign patterns[J].Linear Algebra and its Application,2014,458:183-196.
[7]Yu Berlin,Huang Tingzhu.Minimal critical sets of inertias for irreducible zero-nonzero patterns of order 3[J].International Journal of Mathematical ffComputer Sciences,2010,6(4):189-191.
[8]楊正民,胡紅萍,高玉斌.幾乎完全慣量任意符號(hào)模式[J].華北工學(xué)院學(xué)報(bào),2003,24(5):346-349.Yang Zhengmin,Hu Hongping,Gao Yubin.Almost inertially arbitary pattern[J].Journal of North China Institute of Technology,2003,24(5):346-349.(in Chinese)
[9]梅銀珍,王鵬,陳淑琴.幾類特殊的譜任意和慣量任意符號(hào)模式矩陣[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,30(4):307-311.Mei Yinzhen,Wang Peng,Chen Shuqin.Some spectrally and inertially arbitrary sign patterns[J].Journal of North University of China(Natural Science Edition),2009,30(4):307-311.(in Chinese)
[10]Cavers M S,Garnett C,Kim I J,et al.Techniques for identifying inertially arbitrary patterns[J].Electron.J.Linear Algebra,2013,26:71-89.
[11]Horn R A,Johnson C R.Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1985.
[12]Kim I J,Olesky D D,Shader B L,et al.Generating potentially nilpotent full sign patterns[J].Electron.J.Linear Algebra,2009,18:162-175.
[13]Corpuz L,Mcdonald J J.Spectrally arbitrary zerononzero patterns of order 4[J].Linear and Multilinear Algebra,2007,55(3):249-273.
[14]Cavers M S,Vander Meulen K N.Inertially arbitrary nonzero patterns of order 4[J].Electron.J.Linear Algebra,2007,16:30-43.