續(xù)曉欣，高玉斌，梁月亮

（1.中北大學(xué) 儀器與電子學(xué)院，山西 太原030051；2.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原030051）

近年來，關(guān)于符號(hào)模式（或零-非零不可約模式）的慣量任意性與慣量臨界集（或精細(xì)慣量任意性與精細(xì)慣量臨界集）的研究成果很多.文獻(xiàn)［1］根據(jù)慣量臨界集的定義，給出并驗(yàn)證了n=2，3，4時(shí)不可約零-非零模式的極小慣量臨界集以及n=2，3時(shí)不可約符號(hào)模式的極小慣量臨界集.文獻(xiàn)［2］闡述了精細(xì)慣量的定義并得出：n≤3時(shí)不可約零-非零模式的慣量任意性、精細(xì)慣量任意性與譜任意性是等價(jià)的，當(dāng)n=4時(shí)不可約零-非零模式的精細(xì)慣量任意性與譜任意性是等價(jià)的，而對于更高階的不可約零-非零模式，上述結(jié)論則不一定成立.文獻(xiàn)［3］利用組合矩陣論的方法，得到并驗(yàn)證了n=2，3時(shí)不可約零-非零模式的所有極小慣量臨界集以及所有極小精細(xì)慣量臨界集.在文獻(xiàn)［4］中，二階不可約符號(hào)模式的所有極小精細(xì)慣量臨界集都得到了驗(yàn)證.對于任意蘊(yùn)含冪零的全符號(hào)模式，文獻(xiàn)［5］證明其一定是譜任意（從而也是慣量任意）的.最近，文獻(xiàn)［6］給出并驗(yàn)證了三階全符號(hào)模式的所有極小精細(xì)慣量臨界集，從而使慣量臨界集（精細(xì)慣量臨界集）的研究開辟到全符號(hào)模式的領(lǐng)域.

幾乎慣量任意的不可約零-非零模式是2010年文獻(xiàn)［7］中提出的一個(gè)概念，文獻(xiàn)［7］的引理2.3證明了三階不可約零-非零模式M蘊(yùn)含除（0，0，3）之外其余所有可能的慣量，稱此時(shí)的不可約零-非零模式M是幾乎慣量任意的.國內(nèi)關(guān)于幾乎慣量任意模式的研究只限于符號(hào)模式矩陣的范疇，楊正民等人在文獻(xiàn)［8］中證明了一類符號(hào)模式是幾乎完全慣量任意的符號(hào)模式，梅銀珍等人在文獻(xiàn)［9］中利用矩陣的直和構(gòu)造出一種幾乎完全慣量任意的符號(hào)模式矩陣.目前，國內(nèi)外針對幾乎慣量任意的不可約零-非零模式的系統(tǒng)研究尚未展開.本文在深入研究不可約零-非零模式的基本概念和基礎(chǔ)理論之后，受文獻(xiàn)［7］啟發(fā)，探討三階不可約零-非零模式中的幾乎慣量任意的模式，將三階不可約零-非零模式按照慣量任意模式、幾乎慣量任意模式、非慣量任意又非幾乎慣量任意模式分為三類，并對其進(jìn)行了歸類研究.

一般說來，驗(yàn)證符號(hào)模式是慣量任意的，可以采取一些常規(guī)的方法，比如：冪零-雅可比方法、冪零-中心化方法［10］，對于不可約零-非零模式，沒有常規(guī)的方法可以驗(yàn)證其慣量任意性.因此，本文采用分析法與列舉法結(jié)合的方法得到三階不可約零-非零模式中幾乎慣量任意的所有模式M，N，P.首先，利用組合理論中矩陣跡與特征值的關(guān)系以及矩陣特征多項(xiàng)式與特征值的關(guān)系，證明（0，0，3）不能被以上三種模式蘊(yùn)含；其次，對于每一個(gè)除（0，0，3）之外的三階零-非零模式的慣量，給出每個(gè)慣量在實(shí)數(shù)域上具體的矩陣實(shí)現(xiàn)，說明M，N，P蘊(yùn)含這個(gè)慣量，從而證明三種模式M，N，P是幾乎慣量任意的.

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹零-非零模式的相關(guān)概念.零-非零模式矩陣是指元素取自集合｛＊，0｝的矩陣，其中＊指的是任意的非零實(shí)數(shù).若零-非零模式矩陣A（以下簡稱模式）通過轉(zhuǎn)置及置換相似的有限次組合變換可以得到模式B，則稱模式A與B模式等價(jià).若B=A或者將A中的一個(gè)或多個(gè)非零元素替換為零元素后可以得到模式B，則稱模式B為模式A的一個(gè)子模式，同時(shí)A為B的一個(gè)母模式.若模式A置換相似于模式其中A11，A12為非空方陣，則稱模式A為可約的，否則稱A為一個(gè)不可約模式.具有相同模式A的n階實(shí)矩陣全體稱為模式A的定性矩陣類.模式A的譜是指該模式的所有定性類矩陣的特征值組成的集合.

n階實(shí)矩陣A的慣量是指滿足n++n-+n0=n的三元有序數(shù)組（n+，n-，n0），其中n+，n-，n0分別為矩陣A的具有正實(shí)部、負(fù)實(shí)部和零實(shí)部的特征值的個(gè)數(shù)［11］.模式A蘊(yùn)含慣量（n+，n-，n0）是指，在模式A的定性矩陣類中至少存在一個(gè)實(shí)矩陣具有這樣的慣量.事實(shí)上，模式A蘊(yùn)含慣量（n+，n-，n0）當(dāng)且僅當(dāng)A蘊(yùn)含慣量（n-，n+，n0），這是由于，若矩陣A屬于某個(gè)模式的定性矩陣類中，則-A亦屬于這個(gè)定性矩陣類中，稱以上兩種慣量互為彼此的反轉(zhuǎn)慣量［1］.若模式A蘊(yùn)含所有可能的慣量，則稱模式A是慣量任意的，若模式A蘊(yùn)含除某個(gè)慣量之外的其余所有慣量，則稱模式A是幾乎慣量任意的.

n階實(shí)矩陣A的精細(xì)慣量是指滿足n++n-+nz+2np=n的四元有序數(shù)組（n+，n-，nz，2np），其中，nz為矩陣A零特征值個(gè)數(shù)，2np是指A純虛數(shù)特征值的個(gè)數(shù)［2，12］.模式A蘊(yùn)含精細(xì)慣量（n+，n-，nz，2np）是指，在模式A的定性矩陣類中存在至少一個(gè)實(shí)矩陣具有（n+，n-，nz，2np）這樣的精細(xì)慣量.若模式A蘊(yùn)含所有可能的精細(xì)慣量，則稱模式A是精細(xì)慣量任意的，若模式A蘊(yùn)含除某個(gè)精細(xì)慣量之外的其余所有精細(xì)慣量，稱模式A是幾乎精細(xì)慣量任意的.類似于慣量的性質(zhì)，模式A蘊(yùn)含精細(xì)慣量（n+，n-，nz，2np）當(dāng)且僅當(dāng)A蘊(yùn)含精細(xì)慣量（n+，n-，nz，2np），稱以上兩種精細(xì)慣量互為彼此的反轉(zhuǎn)精細(xì)慣量［2］.設(shè)S為n階模式所有慣量構(gòu)成集合的一個(gè)非空真子集，對于任意的n階零-非零模式A，若集合S?i（A）可以使得該n階零-非零模式A慣量任意，則稱S是n階零-非零模式的一個(gè)慣量臨界集.類似可以得到精細(xì)慣量臨界集的定義.

接下來列出本文主要證明中所需的三階模式的基本性質(zhì)：

引理1［3］設(shè)A為三階不可約零-非零模式，則其對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中含有一個(gè)三圈或兩個(gè)二圈.

引理2［7］設(shè)A為三階不可約零-非零模式，則A為慣量任意當(dāng)且僅當(dāng)A對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中含有子圖B，其中B中含有至少兩個(gè)環(huán)、兩個(gè)三階置換有向圖以及至少一個(gè)二圈.

引理3［13］設(shè)A為三階不可約零-非零模式，則A滿足以下結(jié)論：

1）若A含有5個(gè)或5個(gè)以下的非零元素，則A不是譜任意的；

2）若A含有6個(gè)非零元素且是譜任意的，則A是極小譜任意的并且等價(jià)于以下兩種形式之一

3）若A含有7個(gè)或7個(gè)以上非零元素并且主對角線至少2個(gè)非零元素，則A是譜任意的，但不是極小譜任意.

三階模式的譜任意性與慣量任意性是等價(jià)的［2］，因此將上述引理3中的譜替換為慣量，結(jié)論同樣成立.

引理4［14］若模式A為慣量任意的三階不可約零-非零模式，則模式A必等價(jià)于以下兩種模式之一的母模式

2 主要結(jié)論

根據(jù)引理1，所有三階不可約零-非零模式（對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖為強(qiáng)連通圖）共有25種情形（在等價(jià)意義下），下面將三階不可約零-非零模式分為慣量任意模式、幾乎慣量任意模式、非慣量任意又非幾乎慣量任意模式三種情形分別進(jìn)行討論.

2.1 慣量任意的三階模式

根據(jù)引理4，慣量任意的三階模式共有9種，它們分別是

D1的母模式

D2的母模式

2.2 幾乎慣量任意的三階模式

三階模式中幾乎慣量任意的模式共有3種，下面給出與幾乎慣量任意模式有關(guān)的4個(gè)命題及3個(gè)推論，并逐一證明.

命題1 三階模式

是幾乎慣量任意的，即蘊(yùn)含除（0，0，3）之外的其余所有慣量.

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［3］中不可約零-非零模式慣量個(gè)數(shù)的計(jì)算公式三階模式共有10種慣量.由于模式M對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中不含有二圈，根據(jù)引理2結(jié)論，模式M不是慣量任意的.下面說明模式M是幾乎慣量任意的.考慮模式M在實(shí)數(shù)域上的5個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn)，矩陣分別取到慣量（1，2，0），（0，2，1），（3，0，0），（1，0，2），（1，1，1）.注意到一個(gè)模式蘊(yùn)含慣量（n+，n-，n0）當(dāng)且僅當(dāng)其蘊(yùn)含慣量（n-，n+，n0），將以上前4個(gè)實(shí)矩陣分別取負(fù)矩陣，則這4個(gè)負(fù)矩陣分別取到慣量（2，1，0），（2，0，1），（0，3，0），（0，1，2）.至此，模式M蘊(yùn)含9個(gè)慣量，分別為（1，2，0），（0，2，1），（3，0，0），（1，0，2），（1，1，1），（2，1，0），（2，0，1），（0，3，0）與（0，1，2），由于模式M不是慣量任意的，則M不能蘊(yùn)含慣量（0，0，3）.因此，模式M是幾乎慣量任意的.

命題2 三階模式

是幾乎慣量任意的，即蘊(yùn)含除（0，0，3）之外的其余所有慣量.

證明 從矩陣模式N的結(jié)構(gòu)可以看出，模式N對應(yīng)的關(guān)聯(lián)有向圖中只有一個(gè)環(huán)，根據(jù)引理2結(jié)論可知，模式N不是慣量任意的.又根據(jù)組合矩陣論的知識(shí)可知，矩陣模式N的跡是非零的，亦即模式N定性矩陣類中的任意矩陣其特征值之和非零，因此，模式N不能蘊(yùn)含慣量（0，0，3），下面說明模式N蘊(yùn)含其余所有的慣量，考慮模式N實(shí)數(shù)域上的5個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn)，矩陣

分別取到慣量（1，2，0），（1，1，1），（1，0，2），（2，0，1）與（3，0，0），由于一個(gè)模式蘊(yùn)含慣量（n+，n-，n0）當(dāng)且僅當(dāng)其蘊(yùn)含慣量（n-，n+，n0），則模式N同樣蘊(yùn)含慣量（2，1，0），（0，1，2），（0，2，1）與（0，3，0），因此，模式N蘊(yùn)含除（0，0，3）之外的其余所有慣量，即模式N是幾乎慣量任意的.

命題3 三階模式

是幾乎慣量任意的，即蘊(yùn)含除（0，0，3）之外的其余所有慣量.

證明 由于（0，0，3）∈i（P）當(dāng)且僅當(dāng)i（P）蘊(yùn)含形如x3+qx（q≥0）的特征多項(xiàng)式.假設(shè)矩陣A是模式P的一個(gè)實(shí)數(shù)域矩陣實(shí)現(xiàn)，不失一般性，設(shè)其中a，b，c，d是任意的非零實(shí)數(shù).此時(shí)，矩陣A的特征多項(xiàng)式為

假設(shè)pA（x）=x3+qx，則a=0，與假設(shè)a是非零實(shí)數(shù)矛盾.因此，i（P）不能蘊(yùn)含形如x3+qx（q≥0）的特征多項(xiàng)式，于是模式P不能蘊(yùn)含慣量（0，0，3）.下面考慮模式P實(shí)數(shù)域上的5個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn)，矩陣

分別取到慣量（1，0，2），（1，1，1），（2，0，1），（3，0，0）與（2，1，0）.因此，模式P同樣蘊(yùn)含慣量（0，1，2），（0，2，1），（0，3，0）與（1，2，0），綜上可知模式P蘊(yùn)含除（0，0，3）之外的其余所有慣量，即模式P是幾乎慣量任意的.

推論1［7］設(shè)集合S是三階不可約零-非零模式的一個(gè)慣量臨界集，則（0，0，3）∈S.

證明 根據(jù)命題1，命題2及命題3可知，模式M，N與P均為幾乎慣量任意零-非零模式，即蘊(yùn)含除（0，0，3）之外的其余所有慣量，用反證法證明推論1成立，設(shè)S是三階模式的一個(gè)慣量臨界集并且（0，0，3）不屬于S，則S必包含三階模式慣量集合中的其它慣量，此時(shí)有S∈i（M），S∈i（N）及S∈i（P）成立.根據(jù)慣量臨界集的定義，若模式蘊(yùn)含臨界集S中的慣量，則模式必蘊(yùn)含所有可能的慣量，亦即該模式是慣量任意的，而命題1，命題2與命題3分別指出M，N與P均不是慣量任意的，這與S是三階模式慣量臨界集并且（0，0，3）?S的假設(shè)矛盾.因此，若S為三階不可約零-非零模式的慣量臨界集，則（0，0，3）∈S.

結(jié)合命題1，命題2，命題3及慣量與精細(xì)慣量的關(guān)系可得以下推論：

推論2 三階模式

均不蘊(yùn)含精細(xì)慣量（0，0，1，2）與（0，0，3，0）.

命題4 三階模式

蘊(yùn)含除（0，0，1，2）與（0，0，3，0）之外的其余所有精細(xì)慣量.

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［2］定理1.1中精細(xì)慣量個(gè)數(shù)的計(jì)算公式可知，三階模式的精細(xì)慣量共有8種（互為反轉(zhuǎn)精細(xì)慣量的一對精細(xì)慣量視為等價(jià)的1種精細(xì)慣量），由命題3可知，模式P不能蘊(yùn)含慣量（0，0，3），因此一定不能蘊(yùn)含精細(xì)慣量（0，0，1，2）與（0，0，3，0），下面說明模式P蘊(yùn)含其余6種精細(xì)慣量，考慮模式P實(shí)數(shù)域上的6個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn)，事實(shí)上，下列矩陣

分別取到精細(xì)慣量（1，0，0，2），（1，0，2，0），（1，1，1，0），（2，0，1，0），（3，0，0，0）與（2，1，0，0）.因此，模式P蘊(yùn)含除（0，0，1，2）及（0，0，3，0）之外的其余所有精細(xì)慣量.

推論3 設(shè)集合S′為三階模式的一個(gè)精細(xì)慣量臨界集，則S′包含（0，0，3，0）或（0，0，1，2）.

證明 利用反證法獲證.假設(shè)（0，0，3，0）與（0，0，1，2）均不屬于S′，則S′中必定包含三階模式精細(xì)慣量集合中的其它精細(xì)慣量，由推論2可知，模式M，N與P均不是精細(xì)慣量任意的.與S′為三階模式精細(xì)慣量臨界集的定義矛盾.

2.3 非慣量任意又非幾乎慣量任意的三階模式

根據(jù)引理3中（1），非零元素為5個(gè)或5個(gè)以下的三階模式不是譜任意的，從而不是慣量任意的.下面說明這些模式也不是幾乎慣量任意的.

2.3.1 非零元素為3個(gè)的三階模式有1種：

此模式要求非奇異且跡為零.因此，給定的三階模式不能蘊(yùn)含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）及（0，1，2）.

從而可知此三階模式不是幾乎慣量任意的.2.3.2 非零元素為4個(gè)的三階模式有3種：

第一種模式要求非奇異且跡非零，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3）與（1，1，1）；第二種模式要求非奇異且跡為零，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）與（0，1，2）；第三種模式要求奇異且跡為零，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，2，1），（2，0，1），（2，1，0），（1，2，0），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）與（0，1，2）.綜上可知這3種模式不是幾乎慣量任意的.

2.3.3 非零元素為5個(gè)的三階模式有5種：

第一種模式要求非奇異，因此不能蘊(yùn)含（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1）；第二種模式要求非奇異且跡為零，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）與（0，1，2）；第三種、第四種模式要求非奇異且跡非零，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，0，3），（1，1，1），（0，2，1），（2，0，1）；第五種模式要求奇異且跡非零，因此不能蘊(yùn)含慣量（3，0，0），（0，3，0），（2，1，0），（1，2，0），（0，0，3）.綜上可知上述5種模式均不是幾乎慣量任意的.

由以上分析可知，非零元素為5個(gè)或5個(gè)以下的三階模式均不是慣量任意的，同時(shí)也不是幾乎慣量任意的.

2.3.4 非零元素為6個(gè)的模式有4種：

第一種模式要求非奇異且跡非零，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，0，3），（1，1，1），（0，2，1）與（2，0，1）；第二種和第三種模式要求非奇異，因此不能蘊(yùn)含慣量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3）與（1，1，1）；第四種模式要求跡為零，則不能蘊(yùn)含慣量（3，0，0），（0，3，0），（0，2，1），（2，0，1），（1，0，2）與（0，1，2）.由此可得這4種模式均不是慣量任意的，也不是幾乎慣量任意的.

結(jié)合2.1，2.2及2.3可知，三階模式中，慣量任意的模式有9種，分別是

幾乎慣量任意的模式有3種，具體為

既非慣量任意又非幾乎慣量任意的模式有13種，分別為

3 結(jié)束語

文中對三階不可約零-非零模式的所有情形（在等價(jià)意義下共25種）進(jìn)行了分類討論：列出了慣量任意模式，共9種，得到了所有的幾乎慣量任意模式，共3種，同時(shí)得到非慣量任意又非幾乎慣量任意的模式，共13種.進(jìn)一步驗(yàn)證了集合作為三階模式慣量臨界集的必要條件.給出集合作為三階模式精細(xì)慣量臨界集的一個(gè)必要條件.事實(shí)上，關(guān)于幾乎慣量任意的零-非零模式尚有許多性質(zhì)有待進(jìn)一步探討.譬如，慣量任意零-非零模式與幾乎慣量任意零-非零模式之間的關(guān)系、零-非零模式是幾乎慣量任意零-非零模式的充分或必要條件等.

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