付欣

[摘 ?要] 數(shù)學概念教學設(shè)計的視角下進行抽象思維能力的培養(yǎng)是高效的. 文章介紹了概念教學設(shè)計與抽象思維能力的含義，并以“曲線與方程”一課為例，闡述了數(shù)學概念教學設(shè)計視角下抽象思維能力培養(yǎng)的教學實踐及思考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學概念教學;抽象思維能力;曲線與方程;培養(yǎng)

[?] 問題的提出

高中數(shù)學課堂教學中，教師不僅需要關(guān)注學科知識，還需要關(guān)注到學生的感知、體驗和思維，更需要關(guān)注到學生抽象思維的發(fā)展. 這是因為高中生的腦力勞動已經(jīng)具有一定的特征，抽象思維已經(jīng)逐漸成形，這就對教師知識傳授的質(zhì)量提出了較高的要求. 那么，該從哪個角度切入呢？數(shù)學概念教學于知識的傳授和抽象思維的提升來說意義重大. 筆者認為，從數(shù)學概念教學的視角下加以培育是高效的.

[?] 數(shù)學概念教學設(shè)計與抽象思維能力

數(shù)學概念是在實踐中高度概括而成的，是知識體系的基本元素，是數(shù)學抽象的起點. 正是由于概念的高度概括，才使得數(shù)學概念難教和難學[1].

抽象思維是一種以概括和推理的形式進行的一種思維，就是從具體事物中抽象和概括出共同的、本質(zhì)的方面，而舍棄非本質(zhì)的、個別的方面. 從學生的思維發(fā)展的進程可以發(fā)現(xiàn)，學生都是由形象思維逐步向抽象思維過渡的，這是高中生思維發(fā)展的需求. 不同的概念內(nèi)容中的概括和抽象適合抽象思維教學，這樣還能完善學生的知識結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學核心素養(yǎng).

[?] 抽象思維能力培養(yǎng)的案例及反思

正是由于概念教學是發(fā)展學生抽象素養(yǎng)的重要載體，以探究為方式的概念教學是發(fā)展學生抽象思維能力的有效方式. 因此，教師在概念教學中應(yīng)力求從教學內(nèi)容本身去探尋概括和抽象的“食糧”， 推動抽象思維的發(fā)展. 下面結(jié)合“曲線與方程”一課為例，從以下方面來談如何培養(yǎng)學生的抽象思維能力.

1. 獨特的情境——數(shù)學抽象的起始點

師：大家來看這張圖片，有沒有一種熟悉感？（PPT展示百歲山廣告的插圖）

生1：認識，這是百歲山.

師：這個廣告的背后有著一個沁人心脾的故事，大家有沒有興趣聽一聽？

生（齊）：有.

師：數(shù)學家笛卡爾和瑞典公主克里斯汀相愛了，但卻無法得到國王的祝福. 笛卡爾無奈，就書信一封給公主，信中只有這樣的一個公式“x2+（y-）2=1”，你們猜這個公式是什么意思？代表一個什么圖形？

生：不知道. （大家一臉茫然）

師：聰明的公主在建立坐標系和作圖之后，得到了一條動人的心形線，立刻感動得淚流滿面. （學生立刻發(fā)出“哇”的一聲歡呼）

師：事實上，一條曲線對應(yīng)一個方程，今天這節(jié)課就讓我們一起來了解二者之間是一種什么樣的對應(yīng)關(guān)系……

反思：在給出概念時，越能讓學生覺得“很有意思”，就越利于概念的構(gòu)建，可以促進學生更多的數(shù)學思考，更大可能地讓抽象發(fā)生. 因此，在教學過程中采用獨特而有趣的情境可以激活聯(lián)想，讓學生感覺到概念的“回味無窮”，從而為進一步抽象奠基，使得之后的構(gòu)建與抽象水到渠成.

2. 歸納和類比——數(shù)學抽象的著力點

師：在平面直角坐標系中，有一條直線平分第一和第三象限，試著寫一寫它的直線方程.

生2：x-y=0.

師：無數(shù)個點組成了一條直線，那么方程x-y=0的解就有無數(shù)個. 這些點與方程的解有何關(guān)系？

生3：直線上點的坐標滿足方程.

生4：坐標是方程的解的點在直線上.

師：設(shè)點M（x，y）在直線上，則有

x=

y. 又因為x-y=0平分第一和第三象限，則有x=y，x-y=0，滿足方程x-y=0.

反之，滿足方程x-y=0的解（x，y）有x-y=0，則有x=y，所以（x，y）所對應(yīng)的點在直線上.

師：在平面直角坐標系中，試求出以（a，b）為圓心、以r為半徑的圓的方程.

生5：（x-a）2+（y-b）2=r2.

師：設(shè)點M（x，y）在圓上，則有=r，平方后可得（x-a）2+（y-b）2=r2，則圓上點的坐標都是方程的解.

（x，y）為方程（x-a）2+（y-b）2=r2的任意一解，開方則有=r，以方程的解為坐標的點都在圓上.

師：之前所學的橢圓+=1中，也可以得出與直線和圓相同的結(jié)論，這就是我們熟悉的特殊曲線，從中可以得到更一般的情形.

反思：“曲線與方程”的概念難懂、抽象，其外延對于學生來說更是陌生的，而課堂中若教師不能給予學生足夠的時空思辨，則會導致掌握不透或理解不清. 通過復習一系列曲線與其方程的對應(yīng)關(guān)系，引導學生親歷數(shù)學抽象過程，在類比中抽象和概括，從特殊到一般地進行概括，從而自我建構(gòu)起概念.

3. 反例指引——數(shù)學抽象的助推點

師：曲線：過點（1，1）的直線，其斜率為1;方程：=1. 上述曲線與方程可以相互表示嗎？

生6：不能.

師：為什么？

生6：因為點（1，1）并不在直線上.

師：由此可見，多一個是不行的.

師：曲線：△AOB中AB上的中線，且O（0，0），A（1，0），B（0，2）;方程：x-y=0. 上述曲線與方程可以相互表示嗎？

生7：不能. △AOB的中線是一條線段，而方程x-y=0所表示的是一條直線.

師：由此可見，少一個也是不行的. 所以，只有在一一對應(yīng)的情況下才能確定.

反思：從直觀到抽象的過程，需要理解其內(nèi)涵和外延. 而“曲線與方程”定義中兩個關(guān)系的規(guī)定是本節(jié)課的難點問題，學生需充分認識到二者缺一不可. 事實上，學生的腦海中早已積累了實際模型，也具備了感性認知，這里以反例為指引充分揭示其中的矛盾，促使學生在探究中獲得對概念的理解，在反例的溝通中生成對概念的應(yīng)用. 這樣感悟而得的思維才是深刻的，這樣逐步抽象得出的結(jié)果才是具有價值的，才能讓學生理解深刻.

4. 開展探究活動——數(shù)學抽象的生長點

例題：證明：圓心是M（3，4），半徑是5的圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=25，并判斷點O（0，0），A（-1，0），B（1，2）是否在該圓上.

反思：探究活動是數(shù)學學習的重要方式，建構(gòu)主義更加強調(diào)“做中學”，因此，學生積極的參與和獨立的思考是不可或缺的，教師不可以將抽象的結(jié)論直接拋出，而應(yīng)讓學生通過自主參與，利用自己的深度思考，去發(fā)現(xiàn)和習得知識，形成抽象的結(jié)果. 這里，數(shù)學知識資源豐富，運用好合作學習和分組匯報的方式，讓學生在積極思維和自主探究中進行抽象思維的碰撞，積蓄抽象思維的深度力量，獲得深刻的抽象經(jīng)驗.

[?] 一些感悟

1. 把握概念教學的內(nèi)容，凸顯直觀到抽象的過程

高中生有著近十年的學習經(jīng)歷，并掌握了一定量的知識，具有一定的抽象能力. 教學過程中，教師應(yīng)引導學生自主探究，凸顯直觀到抽象的過程，激活學生的數(shù)學思維，促使學生能夠自主地進行數(shù)學抽象，更好地孕育數(shù)學抽象素養(yǎng)的生長.

2. 不能將抽象思維能力孤立培養(yǎng)

任何方法都不是孤立存在的，只有抽象沒有類比也無價值可言，因此在概念教學中要努力讓學生經(jīng)歷“類比+概括+抽象”的數(shù)學活動. 在概念教學中，注重發(fā)展抽象思維能力時也應(yīng)讓學生對數(shù)學探究和歸納概括的應(yīng)用與價值有清醒的認識.

3. 只有經(jīng)歷探究過程，才能積淀有價值的抽象活動經(jīng)驗

教學的過程就是經(jīng)驗改造和積累的過程，在抽象思維培養(yǎng)的過程中，教師的情境創(chuàng)設(shè)需獨特而開放，給學生足夠的探究和思考的時空，讓學生自主自發(fā)地進行抽象. 在抽象的過程中發(fā)揮教師的引導作用，讓學生在不斷經(jīng)歷豐富的抽象過程中積淀充滿感悟的抽象經(jīng)驗[2].

總之，抽象素養(yǎng)是高中數(shù)學核心素養(yǎng)之一，而需要以概念課教學為依托，在教學過程中水到渠成地孕育. 通過概念課教學[3]. 讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，讓學生在體驗數(shù)學情境、類比歸納、聯(lián)系反例和經(jīng)歷探究活動的過程中提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

參考文獻：

[1] ?李祎，曹益華. 概念的本質(zhì)與定義方式探究[J].數(shù)學教育學報，2013，22（6）.

[2] ?張永明. 高中生數(shù)學抽象概括能力培養(yǎng)的途徑與策略[J]. 數(shù)學學習與研究，2015（5）.

[3] ?甘小生，李朝暉. 在探究中培養(yǎng)學生抽象概括能力——以《平行與垂直》教學為例[J]. 湖北教育（教育教學），2017（3）.

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