翟恩國

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是憑空產(chǎn)生的，都有其獨(dú)特的背景和史料，如果教師在教學(xué)中多為學(xué)生介紹一些數(shù)學(xué)史內(nèi)容，也能較好地滿足學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是一門生動(dòng)有趣、不斷發(fā)展的學(xué)科，學(xué)生很有可能就會(huì)因此喜歡數(shù)學(xué)，開啟一段不一樣的數(shù)學(xué)趣味學(xué)習(xí)之旅.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);HPM視角;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)史家M·克萊因提出了“歷史是數(shù)學(xué)的指南”這一觀點(diǎn)，他認(rèn)為，歷史將知識(shí)的來源與演變完整地呈現(xiàn)出來，回顧歷史，我們能看到人類對知識(shí)的探究越來越深入，這樣有助于我們在學(xué)習(xí)抽象知識(shí)的同時(shí)把握知識(shí)提升的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)史有著回望性和前瞻性，這也是數(shù)學(xué)史之所以能夠推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)因. 開展數(shù)學(xué)史的滲透教學(xué)不僅能幫助我們追溯數(shù)學(xué)的本源，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對知識(shí)的深入理解和教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn). 當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)更多的是對知識(shí)結(jié)構(gòu)的教學(xué)，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究教學(xué)涵蓋很少.

HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

價(jià)值

1. 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情

數(shù)學(xué)的歷史十分豐富，初中數(shù)學(xué)教材也引入了一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，但教師在教學(xué)中重點(diǎn)關(guān)注的是知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)，對知識(shí)的形成、文化背景很少去講解，這也是很多同學(xué)覺得數(shù)學(xué)枯燥的原因. 數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是憑空產(chǎn)生的，都有其獨(dú)特的背景和史料，如果教師在教學(xué)中多為學(xué)生介紹一些數(shù)學(xué)史內(nèi)容，也能較好地滿足學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是一門生動(dòng)有趣、不斷發(fā)展的學(xué)科，學(xué)生很有可能就會(huì)因此喜歡數(shù)學(xué)，開啟一段不一樣的數(shù)學(xué)趣味學(xué)習(xí)之旅.

2. 培養(yǎng)學(xué)生良好品格

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生掌握基本知識(shí)與技能固然重要，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的人文精神同樣重要，這對培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀品質(zhì)很有幫助. 數(shù)學(xué)有著輝煌的發(fā)展歷史，在數(shù)學(xué)史上有著很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，如華羅庚、阿基米德、高斯等等，他們完全可以作為學(xué)生學(xué)習(xí)的榜樣. 如教師可以為學(xué)生介紹華羅庚的故事，向?qū)W生展示榜樣身上的優(yōu)秀品質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中以榜樣為目標(biāo)，不斷地向榜樣學(xué)習(xí). 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)名人故事也能讓學(xué)生意識(shí)到，學(xué)習(xí)的道路并不是一帆風(fēng)順的，面對學(xué)習(xí)和生活中的困難，我們要做的是迎難而上，努力克服. 這些優(yōu)秀品質(zhì)會(huì)隨著數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)而深入學(xué)生的思想，成為健全學(xué)生人格的重要組成.

3. 提高教師教學(xué)效率

江蘇省教學(xué)名師蔡宏圣指出：“個(gè)體的發(fā)育與其種族的發(fā)展往往存在相似的地方. 這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中同樣適用，也就是說學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程是類似的. ”

歷史的相似性告訴我們，學(xué)生在學(xué)習(xí)概念、公式、數(shù)學(xué)思想中出現(xiàn)的認(rèn)知障礙和錯(cuò)誤其實(shí)歷史上的數(shù)學(xué)家們也遇到過. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能夠幫助學(xué)生診斷錯(cuò)誤的原因，解決學(xué)習(xí)中存在的障礙，也便于教師制定更有針對性的教學(xué)計(jì)劃，提高教學(xué)效率.

HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

案例

結(jié)合對HPM理論的研究和教學(xué)實(shí)踐，筆者設(shè)計(jì)了“負(fù)數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體流程如下.

1. 借助數(shù)學(xué)史料，進(jìn)行情境引入

在教學(xué)之初，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧了一些數(shù)字，0，1，2，3，并為學(xué)生講解了數(shù)字的由來：“在沒有發(fā)明數(shù)字計(jì)數(shù)之前，人們計(jì)數(shù)是通過打繩結(jié)、擺算籌等方式來計(jì)數(shù)的，后來為了使用更加方便，于是發(fā)明了1，2，3…這些數(shù)字;由于需要數(shù)字表示‘沒有’，于是就發(fā)明了‘0’;后來，在計(jì)算和測量中發(fā)現(xiàn)所出現(xiàn)的數(shù)字并非都是整數(shù)，于是發(fā)明了分?jǐn)?shù). 可見數(shù)字的產(chǎn)生和發(fā)展都是為了服務(wù)于生活. 今天我們要學(xué)的也是一種數(shù)，叫負(fù)數(shù). ”

教學(xué)設(shè)計(jì)思路是從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，引入數(shù)學(xué)史幫學(xué)生回顧數(shù)字的發(fā)展，然后引入新知，完成新知的過渡.

2. 引導(dǎo)數(shù)學(xué)探究，形成負(fù)數(shù)概念

（1）感知負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性

在引導(dǎo)學(xué)生思考負(fù)數(shù)的產(chǎn)生時(shí)，先設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)的問題導(dǎo)入：“有3個(gè)小孩分4個(gè)蘋果，要想平均分配，每個(gè)小孩分得多少個(gè)蘋果？”這個(gè)問題對初中生來說沒有任何難度，于是教師進(jìn)行了一點(diǎn)小變通：“能不能讓每個(gè)學(xué)生分得的蘋果是整數(shù)個(gè)？請列方程求解. ”

學(xué)生很快列出了方程，設(shè)每個(gè)小孩分得蘋果x個(gè)，根據(jù)題意列出方程3x=4，解出x. 求解中大家發(fā)現(xiàn)結(jié)果不可能是整數(shù)，如果要求結(jié)果是整數(shù)那么方程就是無解的，為了讓方程有解，分?jǐn)?shù)也因此被納入了數(shù)系的體系. 引入了分?jǐn)?shù)后，任何兩個(gè)非零整數(shù)的除法都能夠有解，除法的運(yùn)算也能較好地實(shí)現(xiàn)了.

這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)是先讓學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生緣由，所謂一通百通，有了分?jǐn)?shù)的鋪墊，學(xué)生接受負(fù)數(shù)的概念也會(huì)更加順暢. 之后，又設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題：

①張濤有10元錢，他想買一個(gè)足球，足球的售價(jià)是18元/個(gè)，請問張濤想買足球還差多少錢？

②小李今天掙了200元，但買衣服花了230元，請問小李今天凈收入多少？

學(xué)生很快列出了這兩個(gè)問題的式子：①18-10=8（元），張濤買足球差8元. ②200-230. 第一個(gè)式子很快列出來了，但第二個(gè)式子同學(xué)們都陷入了沉思，被減數(shù)比減數(shù)小，不夠減該怎么辦呢？這種減法學(xué)生之前是沒有學(xué)過的. 鼓勵(lì)學(xué)生思考：在分?jǐn)?shù)沒有被發(fā)明之前是沒有分?jǐn)?shù)的，大家能不能也發(fā)明一種數(shù)字來解決這道題呢？很多同學(xué)預(yù)習(xí)過了，答出了“負(fù)數(shù)”這個(gè)概念，同時(shí)大家也明白了負(fù)數(shù)的意義，是用來解決被減數(shù)比減數(shù)大的問題.

這兩道問題解決了具體的情境，能幫助學(xué)生更好地理解“負(fù)數(shù)”的意義，學(xué)生在解題中積極思考，很多學(xué)生思考出了負(fù)數(shù)的意義，概念的生成也就水到渠成;有些學(xué)生沒有想出答案，但有了這個(gè)思考過程，教師再引入負(fù)數(shù)的概念學(xué)生并不會(huì)覺得違和.

（2）學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的表示方法

學(xué)習(xí)了新知后就要進(jìn)行知識(shí)的探索與鞏固. 教學(xué)中筆者設(shè)計(jì)了這樣的問題：今年初春的某一天，哈爾濱的平均氣溫是零下5℃，北京的平均氣溫是2℃，上海的平均氣溫是5℃，請問這天上海的平均氣溫比北京高多少？比哈爾濱的平均氣溫高多少？

關(guān)于這道題，第一問學(xué)生們很快就解答出來了，上海平均氣溫比北京平均氣溫高3℃，用5-2就能夠得出. 但是上海與哈爾濱的氣溫差多少學(xué)生們就不知道如何計(jì)算了，也用減法嗎？5-5=0，難道兩地氣溫差0℃？可是很明顯上海要比哈爾濱氣溫高，這樣求解肯定是不對的. 教師讓學(xué)生仔細(xì)看看這兩個(gè)溫度有什么不同. 大家討論后發(fā)現(xiàn)一個(gè)是零上5℃，一個(gè)是零下5℃，這兩個(gè)5是不一樣的. 教師建議大家將這兩個(gè)5區(qū)分開來. 這時(shí)，學(xué)生心里產(chǎn)生了對負(fù)數(shù)的心理需求.

這樣，以問題為引導(dǎo)，設(shè)計(jì)了問題沖突，激起了學(xué)生對負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的需求，強(qiáng)化了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 在學(xué)生不解的眼神中開始了講解：數(shù)學(xué)上將大于0的數(shù)記為正數(shù)，將小于0的數(shù)記為負(fù)數(shù). 所以哈爾濱的平均氣溫應(yīng)記為“-5”℃. 有時(shí)候?yàn)榱藦?qiáng)調(diào)正數(shù)，可以在正數(shù)前面加一個(gè)“+”號(hào).

在這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，巧妙地融入了負(fù)數(shù)的重構(gòu)，學(xué)生理解了負(fù)數(shù)的構(gòu)建過程，大家覺得十分有趣.

教師繼續(xù)進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)充：“﹢”“-”這兩個(gè)符號(hào)是近代數(shù)學(xué)用來區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法. 早在1700多年前，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽就提出了正負(fù)數(shù)的計(jì)數(shù)方法：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之. ”這就是說，為了對相反意義數(shù)字進(jìn)行區(qū)分，可以采用正數(shù)和負(fù)數(shù)的方法來表述. 而且他還以顏色來表示正負(fù)：“正算赤，負(fù)算黑”，即用紅色算籌表示正數(shù)，用黑色算籌表示負(fù)數(shù).

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師為學(xué)生介紹了古代人表示正負(fù)數(shù)的方式，讓學(xué)生感受古人的智慧，以此來激發(fā)學(xué)生的求知欲和想象力.

3. 優(yōu)化例題講解，推進(jìn)深度認(rèn)知

教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了這樣一道例題：某天的天氣預(yù)報(bào)顯示，上海明日天氣會(huì)比當(dāng)日氣溫升高2℃，北京的明日氣溫則會(huì)下降1℃，天津明日氣溫與今日一致，請寫出上海、北京、天津三地明天的氣溫會(huì)上升多少.

這道題提問的是會(huì)上升多少，所以即使氣溫下降，也要表達(dá)上升了“負(fù)多少”，因此，上海、北京、天津三地的氣溫上升分別是2℃，-1℃，0℃. 這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)通過問題來啟發(fā)學(xué)生思考和解決，在知識(shí)遷移中增加對知識(shí)的認(rèn)知. 然后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂總結(jié)，對負(fù)數(shù)所學(xué)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行歸納：（1）負(fù)數(shù)的由來;（2）負(fù)數(shù)的概念及表達(dá).

教學(xué)實(shí)踐證明，在HPM視角下開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感的提升，能夠有效地引導(dǎo)他們深度參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來，從而收到事半功倍的教學(xué)效果.

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