陳鳳偉
【摘?要】進行“數(shù)的認識”教學,一以貫之的核心概念是位值、十進位值制,培養(yǎng)的關(guān)鍵能力是數(shù)感、符號意識。“千的認識”一課,圍繞“1000究竟什么樣”展開了對“千”的數(shù)學化的認識。從1000豐富的現(xiàn)實原型再現(xiàn),到去掉具體的量抽象出數(shù),認識千的單位、位值,千以內(nèi)數(shù)的復合表示和關(guān)系,再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認數(shù)學化的1000。學生經(jīng)歷了從感性具體到理性具體,從認識數(shù)量、數(shù)量之間的關(guān)系,到理解抽象出的數(shù)、數(shù)之間的關(guān)系,返回現(xiàn)實加以運用,這是一個完整的數(shù)的認識過程。數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展需要這樣的過程積淀。
【關(guān)鍵詞】數(shù)的認識 符號意識 位值 數(shù)感
小學階段學生對數(shù)的認識經(jīng)歷兩次重要的突破。第一次是從感性具體到理性具體,也就是從具體的情境、數(shù)量中抽象出數(shù),用符號進行表示,在認識數(shù)量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上,理解抽象出來的數(shù)之間的關(guān)系,其核心是十進位值制。第二次是從理性具體到理性抽象,也就是用字母表示數(shù),這是在數(shù)的抽象性基礎(chǔ)上進行概括性的認識,是代數(shù)思維的起始。
“千的認識”一課正好具有承上啟下的重要作用。它是大數(shù)理性具體認識的開始,教材中出現(xiàn)了十進位制的數(shù)位順序表,是對數(shù)的抽象、數(shù)位、十進位值制的理解與升華,為后續(xù)學生學習數(shù)的再認識和數(shù)域的擴展奠定基礎(chǔ)。
基于此,教師可以在教學中沿著“十進位值制”本質(zhì)概念的認知進程,引導學生從再現(xiàn)1000豐富的現(xiàn)實原型,到去掉量的具體情境抽象出數(shù),認識千的單位、位值、千以內(nèi)數(shù)的復合表示和關(guān)系,再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認數(shù)學化的1000,并加以運用。
一、認識“1000”的影子
上課了,教師先點明本節(jié)課學習的重點:“這節(jié)課我們繼續(xù)認識數(shù),認識1000?!比缓髥枌W生是否認識1000,學生們異口同聲地回答:“認識!”
接著,教師讓學生說說他們認識的1000是什么樣的,學生們有點懵,有的說1000克,有的說1000斤。
教師追問:“1000克是什么?”
學生遲疑了一下,補充說:“2袋鹽吧?”
“那1000斤呢?”
“就是好多好多東西唄!”
教師問:“1000大不大?”
學生肯定地回答:“大!”
“那2袋鹽多不多?”
學生猶豫了。
這時,教師說:“1000究竟什么樣,我們還需要認識嗎?”
學生們紛紛點頭。
教師說:“那我們就一起來看看1000究竟什么樣,和你先前認識的1000有什么不同?!?/p>
有效的教學建立在對學生認知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗充分了解的基礎(chǔ)之上。從上述對話可以看出,學生脫口而出的“千”是聞其名勝于知其義。學生在“百”的認知基礎(chǔ)上,對“千”有模糊的經(jīng)驗,直覺感知“千”是一個挺大的數(shù)。也有學生知道“千與百”的十進關(guān)系。學生對“千”的數(shù)學化認知,需要從模糊經(jīng)驗轉(zhuǎn)為清晰的數(shù)學化理解,需要從帶有情境的量轉(zhuǎn)為抽象數(shù)的關(guān)系的理解,需要建立十進位值制的概念。
二、經(jīng)歷“數(shù)”源于數(shù)的活動
怎樣開始認識數(shù)呢?學生有元認知,“數(shù)”從數(shù)開始。
教師拿出一把小棒,問:“有多少?”
學生很自然地脫口而出:“10!”
“眼見才能為實,一起數(shù)一數(shù)?!彪S著教師手中小棒一根根地亮相,學生順暢地數(shù)起來,到第9根的時候,“10”的讀音已經(jīng)從學生口中呼之欲出,眼見沒有第10根,學生急剎車般停了下來。
這時,教師亮出第10根小棒,問:“是不是還想再添1根?”
學生迅速回應:“是!”
教師接著問:“給9添1就是10,這個過程你能表示出來嗎?”
接著,教師借助計數(shù)器讓學生演示“給9添1”“滿十進一”的動態(tài)過程,并刻意把9顆珠再添1顆,個位上滿了要向“十位進一”的撥珠動作分解開,讓學生經(jīng)歷清晰地數(shù)數(shù)、進位、位置、位值的過程。
再數(shù),改變單位,十個十個數(shù)到90,再添一個10會怎樣?
帶領(lǐng)學生重溫“滿十進一”。
繼續(xù)數(shù),教師提出:“能‘一百一百地數(shù)嗎?在百位上數(shù)到最大的數(shù)?!?/p>
學生在計數(shù)器上撥出了900。
接下來怎么數(shù)呢?
教師把9、90、900合在一起,在計數(shù)器上表示出999,問:“此時添上1是多少?”
學生幾乎是搶著說:“1000!”
教師:“怎么做的?把過程在計數(shù)器上表示出來,看看你撥出的1000什么樣?!?/p>
學生在計數(shù)器上做了三次“滿十進一”后出現(xiàn)了“1000”。
學生真的會數(shù)數(shù)嗎?“歌謠式”的數(shù)數(shù)學生上學之前就會,但是數(shù)學課上要經(jīng)歷數(shù)學化的數(shù)數(shù),這是建立數(shù)概念的基礎(chǔ)。四次數(shù)數(shù)的核心是“一一對應”的數(shù)學思想、位置原則、十進制的關(guān)系。學生在看似簡單、實則形象的計數(shù)器操作活動中,建立起十進位值制的直觀模型。“滿十進一”的關(guān)系、數(shù)位概念,“以一當千”的位值概念、符號化意識,都在學生手指撥動的小珠子中跳躍呈現(xiàn)。
三、1000究竟什么樣
當計數(shù)器上出現(xiàn)了千位上的1顆珠子,出現(xiàn)了符號化的“1000”,學生就接受這個“1000”了嗎?不是的。史寧中教授在《基本概念與運算法則》中表明,建立數(shù)概念,要從現(xiàn)實中抽象出數(shù),將數(shù)與現(xiàn)實建立聯(lián)系,再在背景中運用數(shù),感受數(shù)量的大小。
“1000究竟什么樣?想看看嗎?”教師問。
“當然想!”
學生帶著上課前對千的感知經(jīng)驗,又經(jīng)歷了計數(shù)器上數(shù)出1000的過程,“1000究竟什么樣?”他們真的想把之前的、當下的,還有想知道的聯(lián)系起來。
接下來,教師給學生呈現(xiàn)了什么樣的“1000”呢?1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元、1000個小方塊組成的大正方體。
這些有具體背景數(shù)量的“1000”,帶給學生的感覺和所起的作用不盡相同。
小棒是學生最熟悉、最常用的數(shù)數(shù)、計數(shù)、計算學具,所以教師有意地呈現(xiàn)出1根、10根、100根,10個100根組成了1000根。
1000人的效果是怎樣的呢?操場上1000名同學的場景和1000根小棒帶給學生的視覺沖擊完全不同,和他們先前對“千很大、很多”的經(jīng)驗直覺是吻合的。
1000字呢?由20個字的古詩疊加呈現(xiàn),在學生有興趣的誦讀中,又刺激了一下他們寫小作文的切身體驗,100字一篇要寫10篇,200字一篇呢?5篇。1000字是多還是不多呢?肯定摻雜了復雜的情感。這可能有利于學生學會在具體的場景下用數(shù)進行表達和交流吧!
以100張紙為標準,讓學生帶著視覺記憶觀察500張紙、1000張紙。這是單位的一種形象化,是在培養(yǎng)學生數(shù)學的眼光,在建立標準的意識。
“1000元和1000張紙交換一下可以嗎?”教師幽默地詢問。
學生趕忙說:“不換!”“不劃算!”“1000元可以買很多這樣的紙!”
教師再次發(fā)問:“1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元都不一樣,但是有什么是相同的?”
“數(shù)相同!”學生齊聲回應。
數(shù)的抽象教學水到渠成。
人類發(fā)明“十進位”經(jīng)歷了漫長的抽象過程,學生不可能在時間有限的課堂上完全經(jīng)歷數(shù)的抽象過程,教師必須借助一些具體的、生動的情景,讓學生切實地、全方位地感悟,不僅要讓學生感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象,還應當讓學生感悟抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的。同樣是1000,1000字和1000人是不同的,而1000元和1000張紙也是“不能換”的。但是這些不一樣的背后,卻有著本質(zhì)的相同,這就是數(shù)。
數(shù)量還不能作為數(shù)學研究的對象,數(shù)學研究的對象應當是比數(shù)量更為一般的,這就是數(shù)量的關(guān)系,即多與少。由數(shù)量關(guān)系再抽象出拋開情境的數(shù),數(shù)的關(guān)系是對數(shù)量關(guān)系的抽象,抽象的結(jié)果就是自然數(shù)。
正如皮亞杰所說:數(shù)(自然數(shù))不是某個東西的名稱,它是事物與事物之間的相互關(guān)系,表明的是一個物體在一個序列中的位置,以及這一組物體中包含了多少個物體,這種關(guān)系不是直接用語言來教的,而是兒童通過感知、操作活動在動作中體驗、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。
四、建立模型中培養(yǎng)數(shù)感
完整的數(shù)的認識需要兩個過程,由數(shù)量→數(shù)(抽象),由數(shù)→數(shù)量(數(shù)感)。這是因為數(shù)學研究的是一般的規(guī)律性,從數(shù)量到數(shù)之后,再反過來把一般性的規(guī)律性結(jié)果應用到具體的事物中。
接下來出場的是蒂娜絲方塊、點子圖、數(shù)尺。教師借助這些抽象的數(shù)學化模型,繼續(xù)深化學生對1000以內(nèi)數(shù)的認識,培養(yǎng)學生的數(shù)感。
教師:“搭一個這樣的大立方體需要多少個小立方塊兒?”
問題一提出,學生就想到:“可能是1000吧?”
教師:“怎么知道是不是1000呢?”
數(shù)一數(shù)。
正在學生定睛數(shù)的時候,大立方體打散啦?。▓D1)
“現(xiàn)在怎么數(shù)呢?”教師問。
“按標準數(shù)!”學生建議。
于是教師擺出以10個為標準的動態(tài)圖。還是看不清!學生建議“一百一百地擺”。
看,先前的經(jīng)驗,在這里得到運用了。
看到1000個小方塊搭成了大正方體后,計數(shù)器上的1000再次出現(xiàn)(圖2),教師問:“1000個小方塊,在計數(shù)器上就用這一顆珠子表示,你們服氣嗎?”學生們說:“服氣!”到這還沒有結(jié)束,教師繼續(xù)在計數(shù)器上拔出1111,并問道:“同樣的珠子,其他三顆能表示1000嗎?”學生回答:“不能,因為只有在千位上才能代表1000?!苯處煾胶偷溃骸芭叮恢煤苤匾?!”
至此,學生形成了1000的符號化意識,明確了位值、數(shù)位間的十進關(guān)系。
當密集的點子圖出現(xiàn)時,學生立刻建議圈圈按標準數(shù)。
數(shù)尺的出現(xiàn),教師做了一個小鋪墊:“個、十、百、千是計數(shù)的標準,把這些標準用一把尺子呈現(xiàn)可以嗎?”(圖3)
在這把神奇的尺子上,不僅可以找到個、十、百、千,還可找到1000以內(nèi)的任意數(shù)。數(shù)的關(guān)系由眼前的尺子,投入學生的頭腦中,形成對數(shù)的感覺。
教師給學生布置作業(yè),到生活中看看哪里可以找到和1000很接近的數(shù),電視臺的電視塔有多高,天安門廣場有多寬,故宮里究竟有多少間房子,1000粒大米做飯夠吃嗎,等等。
帶著對1000的感覺,對數(shù)有分析的意識、判斷的能力,用數(shù)學的眼光看,用數(shù)學的頭腦思考,用數(shù)學的語言表達與交流。這就是落在學生身上的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。
數(shù)學學科的本質(zhì)不僅包括數(shù)的概念的建立和理解,還包括思想方法的把握,以及數(shù)學學科特有的學科思維、學科品格。所以,教師要把基于數(shù)學本質(zhì)的教學作為發(fā)展與培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的著力點。
有什么樣的思維就有什么樣的行為,發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng),教師要具有發(fā)展性的思維,然后有先提升自己學科素養(yǎng)、專業(yè)素養(yǎng)的意識,將以學科育全人的理念落實到教學的行為中。有什么樣的行為就有什么樣的狀態(tài),教師有什么樣的狀態(tài)就會帶給學生什么樣的感受,學生有什么樣的感受就有什么樣的未來。
(作者系北京市朝陽區(qū)實驗小學潤澤分校校長、正高級教師、特級教師)
責任編輯:胡玉敏
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