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        大學(xué)先修課程視角下高中全概率公式的教學(xué)實(shí)踐

        2021-03-01 17:59:50潘凌
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2021年6期
        關(guān)鍵詞:樣本空間紅球概率

        潘凌

        1高中新增全概率公式的背景分析

        全概率公式是概率論中一個(gè)非常重要的公式,概率研究和生產(chǎn)實(shí)踐中很多問(wèn)題都涉及全概率公式.在普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)(人教社A版)選擇性必修第三冊(cè)中,全概率公式屬于新增同容.從知識(shí)形成的順序結(jié)構(gòu)和邏輯層面上分析,它是在“條件概率”概念提出的基礎(chǔ)上,從已知簡(jiǎn)單事件的概率推算出末知復(fù)雜事件的概率,上聯(lián)古典概型、條件概率,涉及有限樣本空間,事件的關(guān)系與運(yùn)算,概率的基本性質(zhì)、獨(dú)立性;下聯(lián)二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布,起著承上啟下的作用,是與概率的綜合運(yùn)用.

        高中數(shù)學(xué)中的全概率公式內(nèi)容較為簡(jiǎn)單,增設(shè)該內(nèi)容的意圖在于通過(guò)全概率公式提供一種計(jì)算復(fù)雜事件概率的有效途徑,為學(xué)生二項(xiàng)分布奠定知識(shí)基礎(chǔ),加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解.學(xué)會(huì)研究概率的一個(gè)重要方法就是建立一些運(yùn)算法則推算復(fù)雜事件的概率,通過(guò)構(gòu)建概率模型解決實(shí)際問(wèn)題,提高用概率的方法解決問(wèn)題的能力.

        2高中全概率公式的教學(xué)現(xiàn)狀

        全概率公式的應(yīng)用是整個(gè)概率論教學(xué)的難點(diǎn).學(xué)生學(xué)習(xí)全概率公式感覺(jué)困難,主要體現(xiàn)在:(1)概率本身的學(xué)習(xí)障礙.概率概念抽象,對(duì)事件的不同理解可能會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果,同時(shí)利用概率進(jìn)行決策,合理的決策未必一定得到好的結(jié)果等;(2)全概率公式的理解困惑.全概率公式涉及的事件關(guān)系較為復(fù)雜,相關(guān)概念容易混淆,不易辨清,學(xué)生在事件、事件關(guān)系及運(yùn)算上出現(xiàn)認(rèn)識(shí)誤區(qū).

        上述因素,造成學(xué)生不能理解和掌握全概率公式,不能理解全概率公式的基本思想、適用范圍、基本步驟及具體運(yùn)用,不能感悟其中蘊(yùn)含的思想方法.

        3大學(xué)先修課程

        先修課程源自于美國(guó),是指在高中階段開(kāi)設(shè)、供高中生選修,其難度相當(dāng)于大學(xué)初級(jí)階段學(xué)術(shù)標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)業(yè)水平的課程,如果課程取得合格,則可作為大學(xué)入學(xué)標(biāo)準(zhǔn),同時(shí)可獲得相應(yīng)課程的學(xué)分.先修課程不單單是知識(shí)的傳遞,更是一種思維方法、一種選擇性、對(duì)學(xué)生的一種平臺(tái)的提供.在先修課程《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》里有著比現(xiàn)行高中教科書(shū)中更豐富的內(nèi)容,如果在大學(xué)先修課程視角嘗試高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)實(shí)踐,既滿足學(xué)生升學(xué)需求的同時(shí),也滿足學(xué)生的專業(yè)興趣和未來(lái)發(fā)展,通過(guò)實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和獨(dú)立思考的習(xí)慣,發(fā)展數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),有助于使高中的教育更具有連續(xù)性、延展性,為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ),也是高中與大學(xué)教育銜接的有益嘗試.

        應(yīng)該怎樣在大學(xué)先修課程視角進(jìn)行全概率公式的教學(xué)呢?下面筆者結(jié)合對(duì)全概率公式的理解和教學(xué)實(shí)踐,談?wù)劷虒W(xué)全概率公式的體會(huì).

        4全概率公式教學(xué)的幾點(diǎn)做法

        如上所述,全概率公式是整個(gè)概率論的難點(diǎn),也是概率論這門課程中非常重要內(nèi)容之一,是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,在醫(yī)療診斷、保險(xiǎn)等不確定問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用.那么,在教學(xué)中該如何突破這個(gè)難點(diǎn)呢?如何在大學(xué)先修課程視角下解決這些問(wèn)題?

        4.1了解公式從情境中引入

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)解讀》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中得到提升的.在教學(xué)中,應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),設(shè)計(jì)切合學(xué)生的實(shí)際的情境和問(wèn)題.在普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中,全概率公式是通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),由特殊到一般,得到P(B),P(A),P(B|A)這3個(gè)概率之間的關(guān)系.其案例為:從有口個(gè)紅球和6個(gè)藍(lán)球的袋子中,每次隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為a/a+b,那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計(jì)算這個(gè)概率呢?該案例先是通過(guò)“抽簽具有公平性”直接給出所求的概率是a/a+b,接著指出這個(gè)結(jié)果并不顯然,再給出嚴(yán)格的推導(dǎo),最后啟發(fā)學(xué)生從結(jié)果中總結(jié)規(guī)律.這個(gè)發(fā)現(xiàn)全概率公式的過(guò)程揭示了“從古典概型和條件概型入手,回歸加法公式和乘法公式本源”,體現(xiàn)了“特殊到一般”的思想方法.但是這個(gè)引例會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得比較突然,和前面所學(xué)知識(shí)有脫節(jié),從而發(fā)現(xiàn)全概率公式并不自然.

        實(shí)際教學(xué)中,筆者覺(jué)得可以先改編普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第二冊(cè)第236~237頁(yè)10.1.3《古典概型》例9(下文稱案例1):

        袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球,其中2個(gè)紅球,3個(gè)藍(lán)球,從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.(1)A=“第二次摸出紅球”,求事件A的概率;(2)設(shè)Q為該試驗(yàn)的樣本空間,記B=“第一次摸出紅球第二次摸出藍(lán)球”,B=“第一次摸出紅球第二次摸出紅球”,它們能組成該試驗(yàn)的樣本空間嗎?(3)你能找到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),將Q劃分成若干個(gè)互斥的事件嗎?

        第(1)問(wèn)可以通過(guò)圖1中的表格,可以直觀得到第二次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1,2列),即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)),所以P(B)=8/20=2/5。

        第(2)問(wèn)的設(shè)計(jì)意圖是使學(xué)生了解什么是樣本空間Q的一個(gè)正確的“劃分”;第(3)問(wèn)的設(shè)計(jì)意圖是使學(xué)生進(jìn)一步弄清樣本空間Q的一個(gè)劃分的實(shí)質(zhì)就是將Q分割成若干個(gè)互斥事件,形成完備事件組,這也是先修課程在給出全概率公式之前關(guān)于樣本空間Q的一個(gè)劃分的定義.高中教學(xué)中可以不必直接體現(xiàn)這個(gè)定義,但在先修課程視角下設(shè)計(jì)此問(wèn)題,使學(xué)生了解全概率公式成立的條件之一,進(jìn)而正確地構(gòu)建概率模型解決實(shí)際問(wèn)題,是落實(shí)“使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.

        在教學(xué)實(shí)踐中再講授教科書(shū)中本節(jié)的案例(下文稱案例2),從袋中具體的球個(gè)數(shù)到用字母代替具體數(shù)字.通過(guò)兩題對(duì)比,可以使學(xué)生更好地理解什么是“求較復(fù)雜事件的概率”,從而理解引入全概率公式的必要性.

        4.2理解公式在數(shù)學(xué)思想上深入

        在教學(xué)實(shí)踐中由于案例2是案例1的延續(xù),因此講解案例2時(shí)應(yīng)指出“第一次摸到紅球”與“第一次摸到藍(lán)球”之間是互斥必然導(dǎo)致“第一次摸到紅球第二次摸到紅球”與“第一次摸到藍(lán)球第二次摸到紅球”之間的互斥,從而為理解體全概率公式作知識(shí)鋪墊,即理解全概率公式中的(4)之間的互斥性必然導(dǎo)致{BA}之間的互斥性.實(shí)際上在先修課程中有對(duì)全概率公式的證明,雖然高中教科書(shū)中沒(méi)有該證明,但是在先修課程視角下作出的上述的鋪墊,學(xué)生對(duì)全概率公式的運(yùn)算法則有著更深刻的理解,從而突破了這節(jié)課的難點(diǎn).

        由兩個(gè)事件相互對(duì)立,推廣到n個(gè)事件,通過(guò)兩者之間的共性,實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容之間的自然過(guò)渡,體現(xiàn)由特殊到一般的思想,從而推導(dǎo)出全概率公式,突破這節(jié)課的難點(diǎn).

        在先修課程的視角下嘗試全概率公式的圖解法,可以將抽象的問(wèn)題形象,使混沌的問(wèn)題條理化,使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,通過(guò)讓學(xué)生直觀感受到全概率公式的核心思想“化整為零,逐個(gè)擊破”.

        5結(jié)束語(yǔ)

        概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng),本節(jié)的全概率公式的發(fā)現(xiàn)是從“事實(shí)到定義”的數(shù)學(xué)化過(guò)程,建立概率模型,提高數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).筆者在先修課程視角下把“劃分”、“完備事件組”、“全概率公式證明”、“公式的核心思想”巧妙地設(shè)計(jì)在各個(gè)問(wèn)題中,以“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”為設(shè)計(jì)理念,創(chuàng)設(shè)一種類似于科學(xué)研究的情境和途徑,將科學(xué)研究的方法滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),使高中的教育更具有連續(xù)性、延展性,為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ),真正達(dá)到科學(xué)教育的育人價(jià)值.

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