潘凌

1高中新增全概率公式的背景分析

全概率公式是概率論中一個(gè)非常重要的公式，概率研究和生產(chǎn)實(shí)踐中很多問(wèn)題都涉及全概率公式.在普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)（人教社A版）選擇性必修第三冊(cè)中，全概率公式屬于新增同容.從知識(shí)形成的順序結(jié)構(gòu)和邏輯層面上分析，它是在“條件概率”概念提出的基礎(chǔ)上，從已知簡(jiǎn)單事件的概率推算出末知復(fù)雜事件的概率，上聯(lián)古典概型、條件概率，涉及有限樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的基本性質(zhì)、獨(dú)立性;下聯(lián)二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布，起著承上啟下的作用，是與概率的綜合運(yùn)用.

高中數(shù)學(xué)中的全概率公式內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，增設(shè)該內(nèi)容的意圖在于通過(guò)全概率公式提供一種計(jì)算復(fù)雜事件概率的有效途徑，為學(xué)生二項(xiàng)分布奠定知識(shí)基礎(chǔ)，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解.學(xué)會(huì)研究概率的一個(gè)重要方法就是建立一些運(yùn)算法則推算復(fù)雜事件的概率，通過(guò)構(gòu)建概率模型解決實(shí)際問(wèn)題，提高用概率的方法解決問(wèn)題的能力.

2高中全概率公式的教學(xué)現(xiàn)狀

全概率公式的應(yīng)用是整個(gè)概率論教學(xué)的難點(diǎn).學(xué)生學(xué)習(xí)全概率公式感覺(jué)困難，主要體現(xiàn)在：（1）概率本身的學(xué)習(xí)障礙.概率概念抽象，對(duì)事件的不同理解可能會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果，同時(shí)利用概率進(jìn)行決策，合理的決策未必一定得到好的結(jié)果等;（2）全概率公式的理解困惑.全概率公式涉及的事件關(guān)系較為復(fù)雜，相關(guān)概念容易混淆，不易辨清，學(xué)生在事件、事件關(guān)系及運(yùn)算上出現(xiàn)認(rèn)識(shí)誤區(qū).

上述因素，造成學(xué)生不能理解和掌握全概率公式，不能理解全概率公式的基本思想、適用范圍、基本步驟及具體運(yùn)用，不能感悟其中蘊(yùn)含的思想方法.

3大學(xué)先修課程

先修課程源自于美國(guó)，是指在高中階段開(kāi)設(shè)、供高中生選修，其難度相當(dāng)于大學(xué)初級(jí)階段學(xué)術(shù)標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)業(yè)水平的課程，如果課程取得合格，則可作為大學(xué)入學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)可獲得相應(yīng)課程的學(xué)分.先修課程不單單是知識(shí)的傳遞，更是一種思維方法、一種選擇性、對(duì)學(xué)生的一種平臺(tái)的提供.在先修課程《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》里有著比現(xiàn)行高中教科書(shū)中更豐富的內(nèi)容，如果在大學(xué)先修課程視角嘗試高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)實(shí)踐，既滿足學(xué)生升學(xué)需求的同時(shí)，也滿足學(xué)生的專業(yè)興趣和未來(lái)發(fā)展，通過(guò)實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，有助于使高中的教育更具有連續(xù)性、延展性，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)，也是高中與大學(xué)教育銜接的有益嘗試.

應(yīng)該怎樣在大學(xué)先修課程視角進(jìn)行全概率公式的教學(xué)呢？下面筆者結(jié)合對(duì)全概率公式的理解和教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷虒W(xué)全概率公式的體會(huì).

4全概率公式教學(xué)的幾點(diǎn)做法

如上所述，全概率公式是整個(gè)概率論的難點(diǎn)，也是概率論這門課程中非常重要內(nèi)容之一，是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用，它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在醫(yī)療診斷、保險(xiǎn)等不確定問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用.那么，在教學(xué)中該如何突破這個(gè)難點(diǎn)呢？如何在大學(xué)先修課程視角下解決這些問(wèn)題？

4.1了解公式從情境中引入

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）解讀》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中得到提升的.在教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計(jì)切合學(xué)生的實(shí)際的情境和問(wèn)題.在普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中，全概率公式是通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由特殊到一般，得到P（B），P（A），P（B|A）這3個(gè)概率之間的關(guān)系.其案例為：從有口個(gè)紅球和6個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為a/a+b，那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？該案例先是通過(guò)“抽簽具有公平性”直接給出所求的概率是a/a+b，接著指出這個(gè)結(jié)果并不顯然，再給出嚴(yán)格的推導(dǎo)，最后啟發(fā)學(xué)生從結(jié)果中總結(jié)規(guī)律.這個(gè)發(fā)現(xiàn)全概率公式的過(guò)程揭示了“從古典概型和條件概型入手，回歸加法公式和乘法公式本源”，體現(xiàn)了“特殊到一般”的思想方法.但是這個(gè)引例會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得比較突然，和前面所學(xué)知識(shí)有脫節(jié)，從而發(fā)現(xiàn)全概率公式并不自然.

實(shí)際教學(xué)中，筆者覺(jué)得可以先改編普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第二冊(cè)第236～237頁(yè)10.1.3《古典概型》例9（下文稱案例1）：

袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.（1）A=“第二次摸出紅球”，求事件A的概率;（2）設(shè)Q為該試驗(yàn)的樣本空間，記B=“第一次摸出紅球第二次摸出藍(lán)球”，B=“第一次摸出紅球第二次摸出紅球”，它們能組成該試驗(yàn)的樣本空間嗎？（3）你能找到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將Q劃分成若干個(gè)互斥的事件嗎？

第（1）問(wèn)可以通過(guò)圖1中的表格，可以直觀得到第二次摸到紅球的可能結(jié)果有8種（表中第1，2列），即B={（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）），所以P（B）=8/20=2/5。

第（2）問(wèn)的設(shè)計(jì)意圖是使學(xué)生了解什么是樣本空間Q的一個(gè)正確的“劃分”;第（3）問(wèn)的設(shè)計(jì)意圖是使學(xué)生進(jìn)一步弄清樣本空間Q的一個(gè)劃分的實(shí)質(zhì)就是將Q分割成若干個(gè)互斥事件，形成完備事件組，這也是先修課程在給出全概率公式之前關(guān)于樣本空間Q的一個(gè)劃分的定義.高中教學(xué)中可以不必直接體現(xiàn)這個(gè)定義，但在先修課程視角下設(shè)計(jì)此問(wèn)題，使學(xué)生了解全概率公式成立的條件之一，進(jìn)而正確地構(gòu)建概率模型解決實(shí)際問(wèn)題，是落實(shí)“使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.

在教學(xué)實(shí)踐中再講授教科書(shū)中本節(jié)的案例（下文稱案例2），從袋中具體的球個(gè)數(shù)到用字母代替具體數(shù)字.通過(guò)兩題對(duì)比，可以使學(xué)生更好地理解什么是“求較復(fù)雜事件的概率”，從而理解引入全概率公式的必要性.

4.2理解公式在數(shù)學(xué)思想上深入

在教學(xué)實(shí)踐中由于案例2是案例1的延續(xù)，因此講解案例2時(shí)應(yīng)指出“第一次摸到紅球”與“第一次摸到藍(lán)球”之間是互斥必然導(dǎo)致“第一次摸到紅球第二次摸到紅球”與“第一次摸到藍(lán)球第二次摸到紅球”之間的互斥，從而為理解體全概率公式作知識(shí)鋪墊，即理解全概率公式中的（4）之間的互斥性必然導(dǎo)致{BA}之間的互斥性.實(shí)際上在先修課程中有對(duì)全概率公式的證明，雖然高中教科書(shū)中沒(méi)有該證明，但是在先修課程視角下作出的上述的鋪墊，學(xué)生對(duì)全概率公式的運(yùn)算法則有著更深刻的理解，從而突破了這節(jié)課的難點(diǎn).

由兩個(gè)事件相互對(duì)立，推廣到n個(gè)事件，通過(guò)兩者之間的共性，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容之間的自然過(guò)渡，體現(xiàn)由特殊到一般的思想，從而推導(dǎo)出全概率公式，突破這節(jié)課的難點(diǎn).

在先修課程的視角下嘗試全概率公式的圖解法，可以將抽象的問(wèn)題形象，使混沌的問(wèn)題條理化，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)讓學(xué)生直觀感受到全概率公式的核心思想“化整為零，逐個(gè)擊破”.

5結(jié)束語(yǔ)

概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，本節(jié)的全概率公式的發(fā)現(xiàn)是從“事實(shí)到定義”的數(shù)學(xué)化過(guò)程，建立概率模型，提高數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).筆者在先修課程視角下把“劃分”、“完備事件組”、“全概率公式證明”、“公式的核心思想”巧妙地設(shè)計(jì)在各個(gè)問(wèn)題中，以“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)設(shè)一種類似于科學(xué)研究的情境和途徑，將科學(xué)研究的方法滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，使高中的教育更具有連續(xù)性、延展性，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)，真正達(dá)到科學(xué)教育的育人價(jià)值.