殷嫻

【摘要】教師在實際教學(xué)中，掌握分?jǐn)?shù)的理論基礎(chǔ)、厘清分?jǐn)?shù)的知識脈絡(luò)、把握分?jǐn)?shù)的建構(gòu)特點，讓學(xué)生在體驗中感悟，在行動中思考，突出共同點、關(guān)注生長點，有助于精準(zhǔn)建立分?jǐn)?shù)概念.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)教育;分?jǐn)?shù)教學(xué);理論基礎(chǔ);建構(gòu)特點;教學(xué)策略

分?jǐn)?shù)知識歷來是我國小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容.分?jǐn)?shù)無論在意義、讀寫方法，還是在計數(shù)單位與計算法則上，均與整數(shù)有很大的差別，加之學(xué)生在生活中接觸分?jǐn)?shù)較少，經(jīng)驗儲備不足，所以分?jǐn)?shù)概念的理解及應(yīng)用是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點.教師在教學(xué)實踐中，精準(zhǔn)把握分?jǐn)?shù)知識的理論基礎(chǔ)與建構(gòu)特點，是教學(xué)設(shè)計及有效實施教學(xué)的基本保障.

一、分?jǐn)?shù)知識的理論基礎(chǔ)

分?jǐn)?shù)的使用歷史相當(dāng)久遠(yuǎn).據(jù)現(xiàn)藏于大英博物館的草紙手卷《林德數(shù)學(xué)手卷》和藏于莫斯科藝術(shù)博物館的羊皮手卷《莫斯科數(shù)學(xué)手卷》記載，公元前1890年左右，古埃及人已經(jīng)有了初步的分?jǐn)?shù)觀念，但僅局限于“單分?jǐn)?shù)”，即分子為1的分?jǐn)?shù).關(guān)于分?jǐn)?shù)較為完整、較有系統(tǒng)的知識記載，則首見于世界公認(rèn)的我國古算名著《九章算術(shù)》，在其第一章“方田”中，分?jǐn)?shù)加減乘除的籌算方法敘述得相當(dāng)清楚.因此，從現(xiàn)有的數(shù)學(xué)發(fā)展史料可知，分?jǐn)?shù)的基本理論是在我國首先建立的.

1.分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

測量時，當(dāng)度量單位B不能若干次恰好量盡量A時，如何表示度量的結(jié)果？ 均分中，把一整塊東西等分為若干份后，如何用數(shù)字表達(dá)其中的1份？但歷史證明，僅由生活中的實際需求來推動，知識的形成十分緩慢;若按邏輯系統(tǒng)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，情況就大不一樣了.因此，從數(shù)學(xué)理論上說，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是為了解決整數(shù)運算中的“不足”，即任意兩個整數(shù)的乘積仍存在于整數(shù)范圍內(nèi)，但是任意兩個整數(shù)相除，并且無余數(shù)的商數(shù)，在整數(shù)范圍內(nèi)就未必存在了.而解決“不足”的方法就是擴張數(shù)的范圍，產(chǎn)生新數(shù).于是，人類對數(shù)的認(rèn)知由整數(shù)擴展至分?jǐn)?shù).

分?jǐn)?shù)符號的書寫格式經(jīng)歷了漫長的演變過程，包含著中國元素.7世紀(jì)以后，承襲中國的籌算法，印度數(shù)學(xué)將分?jǐn)?shù)表示為“寫分母于分子之下”.之后，阿拉伯人表示分?jǐn)?shù)時，在分子和分母之間添上一條橫線.直至15世紀(jì)，隨著阿拉伯算術(shù)的流行，世界各地算術(shù)里分?jǐn)?shù)的表示及運算法則才日趨統(tǒng)一.

2.分?jǐn)?shù)的理論

根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的四則運算等相關(guān)內(nèi)容，分?jǐn)?shù)理論可以由下面6個定義和6個定理構(gòu)成.

這樣，我們就建立了與小學(xué)數(shù)學(xué)的“分?jǐn)?shù)知識”相對應(yīng)的“分?jǐn)?shù)理論”，嚴(yán)格來說是建立了非負(fù)分?jǐn)?shù)的理論，使除法從原來在非負(fù)整數(shù)集合內(nèi)不能封閉，變?yōu)樵诜秦?fù)分?jǐn)?shù)集合內(nèi)封閉.運算的封閉就是指運算結(jié)果唯一存在.分?jǐn)?shù)除法定義中，規(guī)定“0”不能當(dāng)除數(shù).依據(jù)除法是乘法的逆運算可以證明，當(dāng)除數(shù)為0，而被除數(shù)不為0時，商的存在性被破壞;當(dāng)除數(shù)為0，而被除數(shù)也為0時，商的唯一性被破壞.

3.分?jǐn)?shù)的定義與含義

數(shù)學(xué)具有抽象性，分?jǐn)?shù)理論是一個抽象的框架.按照分?jǐn)?shù)的定義與補充定義，我們把形如mn （m和n都是自然數(shù)，且n≠0）的數(shù)叫作分?jǐn)?shù).此定義形式化的表述不涉及分?jǐn)?shù)的具體意義，顯然不符合小學(xué)生的認(rèn)知水平.我們需要挖掘分?jǐn)?shù)概念及有關(guān)知識在形成過程中的實際背景，讓學(xué)生經(jīng)歷內(nèi)部建構(gòu)的過程.這并非去重復(fù)前人的探索過程，關(guān)注分?jǐn)?shù)在形成過程中包含的認(rèn)知規(guī)律，將會為小學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識提供適切的“腳手架”.

在測量中，不滿一個單位量的量A，如何用數(shù)值表示？我們可以把度量單位B分成n等份，用其中的一份作為新的度量單位去度量A，如果量了m次恰好量盡，那么A就含有把B分成n等份后的m份，度量結(jié)果用分?jǐn)?shù)mn表示.因此，分?jǐn)?shù)mn在度量中的實際含義是“把單位‘1平均分成n份，表示這樣m份的數(shù)”.在均分的實際背景中，分?jǐn)?shù)mn可以表示兩個整數(shù)相除的結(jié)果：m÷n=mn，所以分?jǐn)?shù)mn還有另一種含義，即把m個單位平均分成n份，表示這樣的一份的數(shù).《幾何原本》第5章定義5.3指出，兩個同類量彼此之間一種大小關(guān)系叫作比，于是，分?jǐn)?shù)mn的又一實際含義為分?jǐn)?shù)比率意義，可以表示兩數(shù)的比值，即m∶n=mn.教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，必須充分發(fā)揮這些分?jǐn)?shù)的實際含義在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的引領(lǐng)作用.

二、分?jǐn)?shù)知識的建構(gòu)特點

分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容的選取和安排既要符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又要遵循數(shù)學(xué)本身的邏輯順序.為此，分?jǐn)?shù)知識的教學(xué)不能與分?jǐn)?shù)理論揭示的邏輯相矛盾.

1.厘清分?jǐn)?shù)的知識脈絡(luò)

小學(xué)階段分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容的核心知識點可分為三大模塊.首先是“分?jǐn)?shù)概念”的建立.基于分?jǐn)?shù)在測量與均分中實際含義的引領(lǐng)，在理解“平均分”“單位1”“分?jǐn)?shù)單位”的基礎(chǔ)上逐步認(rèn)識分?jǐn)?shù);通過結(jié)合具體情境比較分子是1、分母相同的簡單分?jǐn)?shù)的大小，進一步理解分?jǐn)?shù)中分子與分母的含義;掌握分?jǐn)?shù)的分類，認(rèn)識真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù);學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)的比率意義，拓展對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識.其次是以“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”為核心，展開分?jǐn)?shù)的大小比較和四則運算.教師在以“分?jǐn)?shù)意義”為主，以“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”為輔，明暗兩條線索交匯揭示出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引入通分、約分、最簡分?jǐn)?shù)、倒數(shù)等概念，進行分?jǐn)?shù)的大小比較、加減乘除運算法則、混合運算、運算律的教學(xué).最后是分?jǐn)?shù)的實際應(yīng)用，主要體現(xiàn)在如下幾類問題中：求一個數(shù)的幾分之幾是多少;求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾;求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾;已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù).

2.剖析分?jǐn)?shù)的認(rèn)知特點

按數(shù)系擴張理論，先要有整數(shù)，才能引進分?jǐn)?shù)概念，所以分?jǐn)?shù)的教學(xué)一定是放在整數(shù)的教學(xué)之后.綜觀多國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)定與編排順序，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)過程是一個認(rèn)識不斷深化的過程，需要分段教學(xué).（2）分?jǐn)?shù)孕育于計量之中，從直觀理解12和14等簡單分?jǐn)?shù)入手，突出對分?jǐn)?shù)實際意義的認(rèn)識.（3）分?jǐn)?shù)教學(xué)無法一味地提前，學(xué)生要到一定的年齡才能理解分?jǐn)?shù)的實際意義，較完整地認(rèn)識分?jǐn)?shù)均在小學(xué)中高年級.（4）把單位“1”作為生長點，分階段建立分?jǐn)?shù)概念是我國分?jǐn)?shù)教學(xué)的特色.

三、分?jǐn)?shù)知識的教學(xué)建議

1.凸顯共同點，重視分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)

依據(jù)數(shù)系擴張理論，我們可以把整數(shù)看成特殊的分?jǐn)?shù).因此，分?jǐn)?shù)同樣既能表示實際事物量的絕對大小，也能表示實際事物量的相對大小，即具有“量”與“分率”的雙重性.自然數(shù)的計數(shù)單位是“1”，任何自然數(shù)都是由若干個1組成的.分?jǐn)?shù)把計數(shù)單位向小于1的方向擴展，且不再恒定.但同樣，任何分?jǐn)?shù)都是由若干個分?jǐn)?shù)單位組成的.分?jǐn)?shù)的大小比較與四則運算法則基于整數(shù)的計數(shù)基本原理，相同計算單位量的疊加與比較.所以，很多民族在認(rèn)識分?jǐn)?shù)時都是先認(rèn)識“分?jǐn)?shù)單位”（史料上稱作“單分?jǐn)?shù)”）.由此可知，分?jǐn)?shù)單位在分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中具有重要地位.

2.聚焦生長點，夯實對單位“1”的理解

“單位1”是一個重要而又神秘的概念，有時具體，有時抽象，學(xué)生是否能靈活地使用它，就反映出了他們對分?jǐn)?shù)的理解程度.我們在比較分?jǐn)?shù)（抽象的）大小及進行分?jǐn)?shù)運算時，都是在一致的單位“1”之下進行的，但從不去追究這個抽象的單位“1”到底有多大.因此，對單位“1”的理解是一個早期蘊伏、長期滲透、逐步建構(gòu)的過程.

3.用好聯(lián)結(jié)點，發(fā)揮各知識間的關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)換作用

認(rèn)識分?jǐn)?shù)是小學(xué)生對數(shù)系擴張的首次體驗.探索數(shù)學(xué)各知識間的聯(lián)系，串聯(lián)成線，形成體系，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì).分?jǐn)?shù)源于人類計量活動經(jīng)驗，既是運算的過程，又是運算的結(jié)果，是直觀經(jīng)驗與理論構(gòu)建的橋梁.抓住分?jǐn)?shù)、除法、比之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，搞清“單位1”、對應(yīng)分率、對應(yīng)量間的關(guān)系，重視分?jǐn)?shù)與小數(shù)、整數(shù)間的轉(zhuǎn)換，是掌握分?jǐn)?shù)、學(xué)好數(shù)學(xué)的有效舉措.

堅持和發(fā)揚我國在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的經(jīng)驗和優(yōu)良傳統(tǒng)，有助于提高教學(xué)質(zhì)量.

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