余慶純　汪曉勤

【課堂研究·特設專欄：HPM課例研究（之二十四）】

編者按：隨著新一輪數(shù)學課程改革的發(fā)展，數(shù)學文化逐漸融入數(shù)學教育教學，日益受到師生的關注。為推動基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例教學的實證研究，2021年，本刊將繼續(xù)特邀華東師范大學汪曉勤教授及其HPM研究團隊分享基礎教育階段數(shù)學文化課例教學的實證研究，旨在讓大家更好地認識數(shù)學本質、洞見數(shù)學價值、品味數(shù)學文化，促進教師專業(yè)發(fā)展，落實數(shù)學學科立德樹人的教育任務。

【摘 要】基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例研究聚焦數(shù)學的知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂與多元文化五個維度，彰顯數(shù)學四大價值。數(shù)學文化課例研究強調數(shù)學史內容、實證方法與技術融合?！盎ヂ?lián)網+教育”時代，數(shù)學文化課例研究要不斷深挖數(shù)學史素材，扎根實證教學，融合信息技術，促進文化育師，落實立德樹人的根本任務。

【關鍵詞】數(shù)學史;數(shù)學文化;課例研究;實證方法;技術融合

什么是數(shù)學文化？有研究者基于國內數(shù)學文化研究，分別從數(shù)學學科、文化、數(shù)學共同體、數(shù)學活動等多元角度闡釋數(shù)學文化的內涵，即數(shù)學文化是指一群人（數(shù)學家），當他們從事數(shù)學活動時，遵循共同的數(shù)學規(guī)則，經過長期的、歷史的沉淀，形成了關于數(shù)學知識、精神、思想方法、思維方式等的共同約定的總和[1]?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）提出，數(shù)學文化不僅是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動[2]。其中，數(shù)學史是數(shù)學文化的有機組成部分，不僅展現(xiàn)了數(shù)學概念公式、定理命題、問題解決、思想方法等的演進過程，而且展現(xiàn)了多元文化背景下數(shù)學的學科聯(lián)系、社會角色與人文活動。

課程改革以來，我國全面深化新時代教師隊伍改革，強調教師要樹立正確的歷史觀、民族觀、國家觀、文化觀，開展中小學教師活動，促進教師終身學習與專業(yè)發(fā)展[3]。因此，如何在數(shù)學課程中提升數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展，促進數(shù)學文化的教學實踐，已然成為新時代數(shù)學教師隊伍改革普遍關注的熱點問題之一。有研究表明，學科教學是教師專業(yè)發(fā)展的核心，課例研究是教師專業(yè)發(fā)展的有效抓手。早在21世紀初，顧泠沅教授便開展了基于數(shù)學學科的課例教學研究，依據(jù)行動研究的實證范式，總結數(shù)學教師教學特征與實踐智慧，推進新世紀數(shù)學教師隊伍的專業(yè)發(fā)展[4]。

HPM（數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系）是數(shù)學教育的重要研究領域之一，其以喜聞樂見的形式呈現(xiàn)數(shù)學知識的來龍去脈，在科學嚴謹?shù)臄?shù)學邏輯體系中滲透豐富多彩的數(shù)學文化。從21世紀初至今，在HPM與教師專業(yè)發(fā)展研究中，課例研究不僅提升了數(shù)學教師個體的專業(yè)知識、教學能力與人文情懷，而且?guī)椭痪€數(shù)學教師、教研員與高校數(shù)學教育研究者共同組建教師專業(yè)學習共同體

（professional learning community，簡稱PLC）。其中，在課例教學環(huán)節(jié)里，已有實證研究表明，教育取向的數(shù)學史在不同程度上彰顯知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等教育價值[5]。然而，在HPM教學實踐中依舊存在“高評價、低運用”的現(xiàn)象。為了突破這一教學實踐困境，教師專業(yè)學習共同體基于《標準》中數(shù)學文化的概念內涵與數(shù)學四類價值，提出基于數(shù)學史的數(shù)學文化理論框架[6-7]，借鑒該理論框架，在基礎教育階段開展一系列的數(shù)學文化課例實踐，旨在推動數(shù)學文化走進課堂、助教學、促成長。

鑒于此，本研究主要闡述基于數(shù)學史的數(shù)學文化內涵與理論框架，介紹基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例研究的基本要素、實證方法、技術融合等內容，為促進文化育師，落實立德樹人的根本任務提供理論支撐與實踐參考。

一、 數(shù)學文化內涵

扎根于西方學者總結的數(shù)學史教育價值，結合《標準》提出的課程目標、教學建議等內容，構建基于數(shù)學史的數(shù)學文化的概念內涵與理論框架，將其分成知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂與多元文化五個維度（見表1），指向數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值、審美價值四類價值（見表2），進一步基于德爾菲法、文本分析法對該理論框架進行修正與論證，且以初中和高中HPM課例實證該理論框架的普適性（如圖1）[8]。

隨著新一輪基礎教育改革的不斷推進，基于數(shù)學史的數(shù)學文化理論逐漸走進一線教學實踐，分別在基礎教育階段開展實證性的課例研究，旨在探尋數(shù)學學科文化育人的本質內涵，更加深刻地揭示數(shù)學文化的核心教育價值，促進數(shù)學學科立德樹人的有效落實。

二、數(shù)學文化課例研究

（一）研究內容

基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例研究，是指教師專業(yè)學習共同體（PLC）圍繞某一特定的數(shù)學概念術語、公式定理、問題解決等內容，借助線上線下融合式研修的形式，攜手開展主題課例的系列研修活動，如資料習得、教學設計、交流研討、實踐教學、反饋評價、反思整理、課例記錄等。

基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例研究，其主要流程有五個基本環(huán)節(jié)（如圖2）。

（1）確定課例主題。數(shù)學文化課例研究強調數(shù)學史內容，聚焦某一特定的數(shù)學概念術語、公式定理、問題解決等內容，進行教育取向的數(shù)學史料研究，且基于數(shù)學史的數(shù)學文化五個維度展開分析。

（2）規(guī)劃教學設計。聚焦該主題的數(shù)學文化、課標要求、教材比較、教學實況、學情基礎等相關內容，綜合考慮“歷史發(fā)生序—數(shù)理邏輯序—心理認知序”三個序列的有機統(tǒng)一，經歷數(shù)學文化課例主題的教學設計、共同研討、優(yōu)化設計等過程。

現(xiàn)以“銳角三角比的意義”課例主題為例，進行闡述說明。

①知識源流：借鑒20世紀上、中葉英美教科書中的銳角三角函數(shù)的引入方式，選擇性地進行教學重構，以校園生活為背景，引導學生基于不同實際情境，探究系列“不可測問題”的解決方法，在分析問題、解決問題的過程中掌握銳角三角比的概念定義，學會根據(jù)直角三角形中兩邊的長求解銳角三角比的值，揭示學習銳角三角比的重要性、必要性，為學生在高中學習三角函數(shù)奠定基礎。

②學科聯(lián)系：在跨學科聯(lián)系中，銳角三角比是天文學、航海學的重要內容之一。

③社會角色：“日晷”作為古代計時工具，凝結著銳角三角比在社會生活中的實際運用，展現(xiàn)出數(shù)學源于生活、服務于生活的重要角色。

④審美娛樂：正切和余切等銳角三角比有著密切關系，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美、統(tǒng)一美。

⑤多元文化：基于20世紀早期英美教科書，將數(shù)學家們探索“銳角三角比的意義”的過程轉化為校園生活中“不可測問題”的活動探究。通過古今對照，表現(xiàn)出不同時期、不同文化下數(shù)學家們對“銳角三角比”研究的貢獻，展現(xiàn)多元的數(shù)學文化。

（3）實施課堂教研。開展數(shù)學文化課例教學與研究，要聚焦課堂教學的自然生成、數(shù)理人文的和諧統(tǒng)一;同時要注意收集學生反饋、同行評議等實證數(shù)據(jù)。

（4）反思課例教學。反思主題課例教學中數(shù)學史文化素材的運用與教育價值的達成、教師自身專業(yè)知能的發(fā)展、教師專業(yè)學習共同體的合作等，有助于進一步優(yōu)化課例。

（5）撰寫課例記錄?；跀?shù)學史的數(shù)學文化課例研究流程，記錄課例研究過程的實踐智慧、心得體會與專業(yè)成長，進一步聚焦數(shù)學文化課例的教學與評價，為今后開展主題的數(shù)學文化課例提供參考。

（二）研究主體

數(shù)學文化課例研究的主體是由一線數(shù)學教師、教研員與高校HPM研究者共同組成，形成教師專業(yè)學習共同體（PLC）。近年來，其從個體化學習轉向合作式學習，聚焦特定的課例主題，開展自主學習+合作學習的行動研究，在設計—教學—觀察—反思中螺旋式地優(yōu)化數(shù)學文化課例研究。

教師學習（teacher learning）是教師專業(yè)發(fā)展的必經之路[9]，教師主體角色從教學者向學習者轉變。對于數(shù)學文化課例研究的教師專業(yè)學習共同體來說，需要樹立共享學習的價值觀，充分發(fā)揮各自的專業(yè)優(yōu)勢，如一線數(shù)學教師、教研員扎根于基礎教育實踐，提供本土化的教學智慧;高校HPM研究者立足數(shù)學文化課例研究等教育理論，聚焦國際化的教育洞見。這將打通基礎教育階段與高等教育階段之間的教育鴻溝，形成“中小學—大學”合作機制（school and university partnership mechanism，簡稱SUPM）。

（三）研究形式

數(shù)學文化課例研究主要有以下四種形式。

（1）專家引導。采用專家講座的方式，自上而下對數(shù)學史、數(shù)學文化、課例研究等相關內容進行專業(yè)性的引導。

（2）自主學習。學習基于數(shù)學史的數(shù)學文化等HPM相關理論，閱讀相關主題的數(shù)學史素材，分析數(shù)學文化內涵不同維度的分布情況，比較不同版本的課標、教材之間的異同等。

（3）合作學習。聚焦某一課例主題，以線上線下融合的方式進行小組合作學習，開展基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例主題匯報。同時，教師專業(yè)學習共同體基于理論或實踐視角，對該課例匯報內容進行反饋與評價。

（4）實踐應用。融合數(shù)學文化素材，開展課例教學，收集學生反饋、同行評價等數(shù)據(jù)，不斷優(yōu)化數(shù)學文化課例實踐。

（四） 實證方法

一般而言，教育研究分為思辨研究和實證研究兩類。思辨研究主要解決“應然”問題，注重概念、理論與觀點等內容的構建，通過邏輯推理來回答概念性、規(guī)范性的問題，而實證研究主要關注“實然”問題，基于收集與分析數(shù)據(jù)信息得出研究結果。實證研究又分為質性研究、量化研究與混合研究。

長期以來，在傳統(tǒng)的思辨研究范式主導下，理論研究常常具有較大的爭議性、不確定性。近年來，隨著對科學化、規(guī)范化研究方法的不斷探索，數(shù)學教育研究逐漸擺脫思辨研究的束縛，開展了實證研究新范式。在數(shù)學文化課例研究中，教師專業(yè)學習共同體主要基于行動研究范式，開展課例設計—教學—觀察—反思，這與21世紀初顧泠沅教授開展的課例研究有相似之處。

在數(shù)學文化課例研究的不同環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)出不同的教育實證研究方法，其中較具有代表性的為以下幾個方面。

（1）在教育取向的數(shù)學史研究中，高校研究者往往采用歷史研究法，按照歷史演進的時間順序、數(shù)學文化內涵的分類維度等，對不同主題的數(shù)學史料進行解析。

（2）在數(shù)學文化課例教學中，教師經常采用問卷調查、深度訪談、視頻分析等方法，對學生反饋、同行評議、教師反思等方面的實證數(shù)據(jù)進行收集，基于理論與實踐的角度，共同評價數(shù)學文化課例的教學質量。其中，問卷調查聚焦課例教學前后學生認知水平的變化情況、數(shù)學文化的感知異同與情感信念的轉變發(fā)展;深度訪談關注學生在教學前后轉變的深層動因;視頻分析常運用于課例教學，通過分析教學片段中的師生互動、生生互動，深度解析數(shù)學文化融入教學的分布狀況與價值彰顯，助力教師改進教學，促進其專業(yè)化發(fā)展。

（五）技術融合

在“互聯(lián)網+教育”時代，技術在數(shù)學文化課例的研究過程中扮演著重要的角色，線上線下融合式的課例研究成為主流?；谠诰€網絡平臺開展數(shù)學文化課例研究，常采用線上形式進行資料共享、主題匯報、交流研討，線下形式進行自主學習、教學設計、實踐教學、觀察反思等，助力教師專業(yè)學習共同體的多元發(fā)展。

其中，線上課例研討可借助騰訊會議、釘釘、Classin、微信等在線網絡平臺搭建網絡學習社區(qū)，運用騰訊文檔、思維導圖等技術工具呈現(xiàn)教學設計，開展在線編輯;在課例教學中，教師可結合幾何畫板、GeoGebra、希沃白板、流轉筆記等信息化工具，再現(xiàn)數(shù)學家探尋概念公式、命題定理等過程，揭示化曲為直、以直代曲、數(shù)形結合等方法的本質;基于PPT、數(shù)位板、白板等演示工具制作的HPM微視頻、微課，生動地展示數(shù)學知識的來龍去脈、數(shù)學思想的古今傳承，彰顯不同時期、不同國家數(shù)學文化的歷史性、人文性。

三、結語

基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例研究聚焦數(shù)學的知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂與多元文化五個維度，彰顯數(shù)學四大價值。數(shù)學文化課例研究強調數(shù)學史內容、實證方法與技術融合。

在“互聯(lián)網+教育”時代，為進一步提升數(shù)學文化課例研究的數(shù)理人文，教師專業(yè)學習共同體需做好以下三個方面的工作。

（1）深挖數(shù)學史素材。數(shù)學文化課例扎根于數(shù)學史研究，為數(shù)學教學提供豐富的教學素材與思想養(yǎng)料，然而在教學實證研究中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學文化內涵的五個維度運用卻不均衡，因此教師專業(yè)學習共同體需要進一步深挖數(shù)學史素材，梳理數(shù)學知識的來龍去脈與文化維度的分布情況，尋找數(shù)學與其他學科之間的密切聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學在社會生活中的重要運用，品味數(shù)學奇趣之美，揭示東西方數(shù)學文化的互融互通。

（2）扎根實證教學?；跀?shù)學史的數(shù)學文化課例研究，承載了發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的理性知能與人文情懷，支撐了教師專業(yè)學習共同體的合作學習與專業(yè)發(fā)展?？梢姡瑪?shù)學文化課例教學不僅要聚焦教學實踐，而且要注重教育實證方法?；趩柧碚{查、深度訪談、視頻分析等實證方法，還原數(shù)學文化課堂的自然生成，揭示數(shù)學的教育價值。

（3）融合信息技術。信息技術為數(shù)學文化課例研究插上騰飛的翅膀，優(yōu)化教學內容，提高教學效率，提升教學水平，推動信息化課例研修的歷史性嬗變。數(shù)學教師借助信息技術開展基于數(shù)學文化的章節(jié)起始課、基于問題解決的探究重構課、基于歷史命題的單元復習課，巧妙地融入翻轉課堂、同步課堂、云課堂等多元教學形式，借助電子學習單、流轉筆記、電子檔案袋等形式，開展以學生為本的數(shù)學閱讀、數(shù)學寫作等活動，助力“互聯(lián)網+教育”時代數(shù)學文化課例的實踐。

參考文獻：

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[8]林莊燕，汪曉勤.初中HPM課例中的數(shù)學文化內涵分析[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（1）：57-63.

[9]桑國元.教師作為學習者：教師學習研究的進展與趨勢[J].首都師范大學學報（社會科學版），2017（1）：142-148.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】余慶純，華東師范大學數(shù)學科學學院在讀博士研究生，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究;汪曉勤，華東師范大學教師教育學院教授、博士生導師，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數(shù)學教育教學研究基地研究項目——數(shù)學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）