吳 鋒，孟麗娟

(鹽城工學(xué)院物理系，江蘇 鹽城 224051)

參數(shù)微擾法通過引入?yún)?shù)重構(gòu)量子體系哈密頓量中的無微擾項和微擾項，削弱了微擾項的影響，提高了本征能量的準(zhǔn)確性，擴(kuò)大了微擾法的適用范圍[1-8].目前，參數(shù)微擾法已經(jīng)成功用于研究三體類氦原子、四體類鋰原子和五體鈹原子體系[1-6]，這些工作促進(jìn)了對電子對核屏蔽效應(yīng)的認(rèn)識，加深了對電子間相互作用、泡利不相容原理和全同粒子交換對稱性的理解.

用參數(shù)微擾法精確計算體系能量，有時需要計算到二級甚至多級近似，那么就會遇到和利用微擾法一樣存在的困難，即計算包含著無窮項求和的能量修正項.鑒于此，文獻(xiàn)[3]利用類氫原子s態(tài)波函數(shù)構(gòu)造氦原子的近似波函數(shù)，巧妙實現(xiàn)了對氦原子四級近似基態(tài)能量的精確計算，理論值與實驗值的絕對誤差為0.0049 Hartree.但不足的是，該文在構(gòu)造波函數(shù)時犧牲了電子的空間交換對稱性，而且計算的氦原子基態(tài)能量與采用的近似級數(shù)間的關(guān)系尚不清晰.為此，本文在構(gòu)造滿足空間交換對稱性的近似波函數(shù)的基礎(chǔ)上，對參數(shù)微擾法算出的氦原子基態(tài)能量與近似級數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行了探究，以期為利用參數(shù)微擾法精確計算量子體系本征能量提供借鑒.

1 理論和方法

氦原子的非相對論哈密頓算符(原子單位):

(1)

其中

(2)

(3)

式中r1和r2為原子中兩個電子到核的距離，r12是兩個電子間的距離，Z為核電荷數(shù)，σ為反映電子對核屏蔽效應(yīng)的微擾參數(shù).

根據(jù)微擾論，氦原子的零級近似基態(tài)能量:

E(0)=-σ2

(4)

基態(tài)能量的第i(i=1,2,3,)級修正[1,9]:

E(i)=〈ψ(0)|H′|ψ(i-1)〉

(5)

其中，ψ(0)為零級近似波函數(shù)，ψ(i)為第i級修正波函數(shù)，與ψ(0)正交.根據(jù)式(2)結(jié)合氦原子特征，選取類氫原子的ns (n=1,2,3,)態(tài)歸一化波函數(shù):

(6)

(1F1為合流超幾何函數(shù))構(gòu)造ψ(0)和ψ(i)：

ψ(0)=ψ1s(r1)ψ1s(r2)

(7)

(8)

氦原子的多級近似基態(tài)能量和波函數(shù)分別為:

E=E(0)+E(1)+E(2)+E(3)+…

(9)

ψ=ψ(0)+ψ(1)+ψ(2)+…

(10)

由式(7)和式(8)可知，ψ自動滿足空間交換對稱性.E和ψ中參數(shù)σ由基態(tài)能量取最小值確定.

2 計算結(jié)果和討論

利用Mathematica軟件的符號計算功能，得到氦原子各級近似基態(tài)能量E的解析表達(dá)式(限于篇幅未列出)，它們是參數(shù)σ的函數(shù).在討論近似級數(shù)對E值的影響時，既可以通過對各級近似基態(tài)能量分別取最小值確定σ，也可以通過由某級近似基態(tài)能量取最小值確定σ，然后在各級近似計算中保持不變.下面分別進(jìn)行討論.

2.1 σ分別由各級近似能量取最小值確定

表1列出了2級至12級近似基態(tài)能量E，參數(shù)σ，以及E與實驗值[10](-2.903386 Hartree)的絕對誤差|ΔE|.可以看出，E隨著近似級次i的增加而減小.圖1進(jìn)一步給出了各級近似基態(tài)能量E相對前一級基態(tài)能量的改變量.可見，E的改變量隨著i的增加越來越小，逼近于零.

表1 氦原子i級近似基態(tài)能量E及其與實驗值的絕對誤差|ΔE|(原子單位)

其次，從表1末列數(shù)據(jù)，可以看出，|ΔE|隨著i的增加先是減小，i=4時達(dá)到最小，然后又逐漸增大.這表明，氦原子基態(tài)能量與實驗值的絕對誤差隨著i的增加存在一定起落.這與文獻(xiàn)[3]提出的|ΔE|隨著i的增加越來越小的論斷不同.因為|ΔE|存在起落，所以需要合理選擇近似級數(shù)，提高氦原子基態(tài)能量計算值的精確性.例如，表1中4級近似的|ΔE|僅為0.0039 Hartree.

圖1 i級近似基態(tài)能量相對前一級基態(tài)能量的變化

2.2 σ由某級近似基態(tài)能量取最小值確定，并在各級近似計算中保持σ相同

將表1中各級近似得到的σ數(shù)值作為固定值，分別同時代入氦原子2級至12級近似基態(tài)能量表達(dá)式，所得數(shù)值結(jié)果按從左到右順序分別列于表2.分析E的每一列數(shù)據(jù)可知，E隨著i的增加仍有與2.1節(jié)相同的變化規(guī)律，即逐漸減小，改變量越來越小(如圖2)，與實驗值間的絕對誤差|ΔE|有起落.另外，σ的變化對|ΔE|的起落產(chǎn)生影響.所以，除了選取合適的近似級數(shù)計算基態(tài)能量，還需選取合適的近似級數(shù)確定σ，才能得到更為精確的氦原子基態(tài)能量.例如在σ=1.3165時，4級近似基態(tài)能量-2.9027 Hartree，與實驗值的絕對誤差小至0.0007 Hartree，結(jié)果相當(dāng)精確.

表2 σ恒定時的i級近似基態(tài)能量(原子單位)

圖2 在σ=1.3165時，i級近似基態(tài)能量相對前一級基態(tài)能量的變化

3 結(jié)束語

在構(gòu)建滿足空間交換對稱性波函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用參數(shù)微擾法對氦原子基態(tài)能量進(jìn)行了計算，并根據(jù)微擾參數(shù)的兩種確定方式，分別對基態(tài)能量與近似級數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了分析.研究發(fā)現(xiàn)，氦原子基態(tài)能量隨著近似級數(shù)的增加，逐漸降低，改變量越來越小，基態(tài)能量與實驗值的絕對誤差存在一定起落.選擇合適的近似級數(shù)確定微擾參數(shù)及基態(tài)能量，對提高氦原子基態(tài)能量計算值的精確性具有重要作用.