姜星宇

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 200092)

從自行車發(fā)明以來，其穩(wěn)定的原理一直是人們關(guān)注的內(nèi)容.R.S.Hand在其著作中對(duì)自行車穩(wěn)定性做出了定義:若自行車能夠經(jīng)過垂直其運(yùn)動(dòng)方向的擾動(dòng)后，傾斜角θ與操縱轉(zhuǎn)角β漸進(jìn)地趨于豎直平衡運(yùn)動(dòng)，就是穩(wěn)定的[1,2].David E. H. Jones在1970年發(fā)表的The Stability of the Bicycle[3]中通過制作無法騎行的自行車過程中指出，在自行車的穩(wěn)定性上，陀螺的穩(wěn)定效應(yīng)并不是影響自行車平衡的主要因素，至少不是全部因素. 而前輪的幾何因素對(duì)中心高低的影響對(duì)于穩(wěn)定性也是十分重要的. 由于兩個(gè)非完整約束使自由度從無窮小時(shí)間內(nèi)的三個(gè)變成有限時(shí)間內(nèi)的七個(gè)，加之前輪與車架之間具有十分復(fù)雜的的非線性幾何關(guān)系，因此解出嚴(yán)格的解幾乎是不可能的. 許多研究便對(duì)于模型進(jìn)行了線性的簡(jiǎn)化或者是只考慮其中某些廣義坐標(biāo)，或者半定量地討論. 例如通過只考慮平衡位置附近的微小擾動(dòng)將約束方程與拉格朗日函數(shù)簡(jiǎn)化，最后得到線性微分方程[2]. 亦有將前叉設(shè)置為與輪心連線垂直的簡(jiǎn)化方法[4].

對(duì)于自行車穩(wěn)定性的分析也具有一定的實(shí)際意義. 關(guān)于自行車的自動(dòng)化也就是無人操控保持平衡有不少研究[4,5]，這也是未來將交通工具智能化的趨勢(shì). 而要做到這一點(diǎn)，首先就要分析其平衡的條件與原理.

在不能將其力學(xué)原理完全精確地計(jì)算出，直接實(shí)驗(yàn)又限于成本與時(shí)間時(shí)，近似求解數(shù)值解對(duì)于研究自行車的穩(wěn)定性顯得十分重要.本文以拉格朗日方程為基本原理，從分析力學(xué)的角度對(duì)自行車系統(tǒng)近似計(jì)算與分析.

1 基本原理

(1)

將第一項(xiàng)展開也就是

(2)

其中cαi為坐標(biāo)的函數(shù)，λα為約束力變量. 為使約束方程中出現(xiàn)二階導(dǎo)，將約束方程求導(dǎo):

(3)

要注意的是，初始條件一定要滿足約束，如果不滿足，那么約束方程右端就會(huì)是一個(gè)由初始條件決定的非零常數(shù)，而這往往不是我們所需要的.

2 方法驗(yàn)證

根據(jù)上述討論，我們將近似計(jì)算方法運(yùn)用到任意存在約束的力學(xué)系統(tǒng)當(dāng)中，求解拉格朗日方程. 對(duì)于不同的系統(tǒng)，計(jì)算過程唯一的區(qū)別就是函數(shù)的形式，因此很方便利用計(jì)算機(jī)求解. 而對(duì)于參數(shù)，根據(jù)力學(xué)相似性可以進(jìn)行歸一化，因此下面的討論均不考慮系數(shù)與單位的問題. 先以傅科擺驗(yàn)證方法的可行性.

在旋轉(zhuǎn)非慣性系下的球面擺是一個(gè)完整約束. 以x軸為東，y軸為北，慣性系中速度vabs=v+Ω×R0+Ω×r，那么拉格朗日函數(shù)為

圖1 北極處傅科擺x-y圖及周期(Δt=0.01 s)

表1 傅科擺周期隨緯度的變化

3 自行車系統(tǒng)的分析

3.1 輪的約束與動(dòng)能

為了研究自行車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，我們先來分析一下輪的純滾動(dòng). 輪的純滾動(dòng)通常是一個(gè)非完整約束，它滿足接觸點(diǎn)速度為零，即drC+dφ×r=0. 其中rC為圓心位矢，φ為輪的角速度，r為輪上一點(diǎn)相對(duì)于圓心的位矢.

現(xiàn)將輪簡(jiǎn)化為厚度遠(yuǎn)小于半徑，對(duì)稱的平面剛體. 它可以用質(zhì)心坐標(biāo)(x,y,z)與輪主軸歐拉角(θ,φ,ψ)來描述.
圖2顯示，θ對(duì)應(yīng)的是輪與水平面的夾角，φ對(duì)應(yīng)的是輪平面與水平面交線與x軸的夾角，而ψ為自轉(zhuǎn)角. 根據(jù)垂直軸定理，I3=2I1=I. 對(duì)應(yīng)的動(dòng)能為

(4)

輪的約束為vC+Ω×r0=0 (vC為質(zhì)心速度，r0為接觸點(diǎn)相對(duì)圓心的位矢) ，3個(gè)分量為：

也就是說無窮小運(yùn)動(dòng)自由度共有3個(gè).

圖2 輪的位置

3.2 自行車模型

對(duì)于自行車的研究主要是基于用最少的廣義坐標(biāo)描述系統(tǒng)的狀態(tài)，將完整約束盡可能體現(xiàn)在計(jì)算時(shí)自由度的減少上. 這樣最少需要7個(gè)廣義坐標(biāo)(這里模擬時(shí)為簡(jiǎn)單起見并沒有將z=Rsinθ兩個(gè)完整約束直接代換因此使用了9個(gè)廣義坐標(biāo)). 而對(duì)于動(dòng)能與勢(shì)能的表示，需要用這些坐標(biāo)表示出前后輪的坐標(biāo)與歐拉角，也就是R.S.Hand在研究自行車系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)提到的“auxiliary variables”輔助坐標(biāo)[2].

圖3是一個(gè)簡(jiǎn)化過后的自行車的模型. 后輪的輪心為C1，前輪的輪心為C2. 前輪的轉(zhuǎn)軸在圖中以虛線表示，前后輪在同一平面上時(shí)(即前輪未轉(zhuǎn)向)轉(zhuǎn)軸與C1C2的交點(diǎn)為C3，夾角為α. 于是C1C3作為X軸與后輪法向量作為Z軸構(gòu)成車架參考系.

圖3 自行車的位形

一個(gè)自行車系統(tǒng)具有兩個(gè)純滾動(dòng)的輪，也就是說兩個(gè)輪在接觸處共有6個(gè)約束. 而在兩輪之間仍有約束，它們都是完整約束. 為了確定自行車的位形，在不考慮純滾約束的情況下可以使用后輪質(zhì)心位置C1(x1,y1,z1)，車架的歐拉角θ、φ、ψ，前后輪的自轉(zhuǎn)角ψ1,ψ2，前輪相對(duì)于軸轉(zhuǎn)過的角度β共9個(gè)廣義坐標(biāo)描述. 參數(shù)為輪的半徑R，質(zhì)量m，繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，前輪轉(zhuǎn)軸角度α，車架的長(zhǎng)度C1C3=d與C3C2=δ.

為求出系統(tǒng)的力學(xué)函數(shù)與約束，還需要用這9個(gè)坐標(biāo)和完整約束對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系表示出前后輪坐標(biāo)與歐拉角共12個(gè)坐標(biāo). 后輪在笛卡爾坐標(biāo)系下的位置為

r1=(x1,y1,z1);θ1=θ;φ1=φ;ψ1=ψ1

(5)

而前輪的位置要通過車架參考系變換來求解. 現(xiàn)需要將OXYZ車架參考系繞Z旋轉(zhuǎn)-ψ，再繞X旋轉(zhuǎn)-θ，最后繞Z軸旋轉(zhuǎn)-φ得到Oxyz地面系. 定義旋轉(zhuǎn)矩陣：

(6)

對(duì)應(yīng)上述旋轉(zhuǎn)，3個(gè)矩陣自右向左變換就可以通過乘上矩陣D將OXYZ系中的坐標(biāo)變換為Oxyz系中的坐標(biāo). 而在車架參考系中的前輪中心C2坐標(biāo)為

(7)

那么前輪在地面參考系中的位矢便為r2=r1+DR2. 前輪法向量n=D(-sinαsinβ,-cosαsinβ,cosβ)，那么歐拉角：

于是我們可以得到兩組坐標(biāo)的變換：

Q=(x1,y1,z1,θ1,φ1,ψ1,x2,y2,z2,θ2,φ2,ψ2)T，

q=(x1,y1,z1,θ,φ,ψ,ψ1,ψ2,β)T

4 模擬結(jié)果

在這里我們可以使用第3節(jié)中提供的約束矩陣C=C′J與拉格朗日函數(shù)：

直接利用非完整約束下的拉格朗日方程近似求解.函數(shù)中T1與T2對(duì)應(yīng)前輪與后輪的動(dòng)能，可用3.1中的動(dòng)能表達(dá)式得到.U為勢(shì)能函數(shù)，即mgz1+mgz2.

而參數(shù)我們可以用國(guó)際單位制表示現(xiàn)實(shí)生活中較為接近的自行車參數(shù). 如下表.

表2 模擬參數(shù)(國(guó)際單位制)

4.1 速度對(duì)穩(wěn)定性的影響

圖4是不同初始速度下在滿足能量守恒的時(shí)間范圍內(nèi)θ與φ隨時(shí)間的變化. Δt代表近似計(jì)算所取的間隔，T為模擬的總時(shí)間.θ反映車身的傾角，而φ反映車的轉(zhuǎn)角. 可以看見，速度太小時(shí)系統(tǒng)會(huì)迅速失去穩(wěn)定性.

對(duì)于可以穩(wěn)定運(yùn)行的運(yùn)動(dòng)，考慮其坐標(biāo)變化的總體趨勢(shì). 速度大意味著輪的角動(dòng)量大，也就是說提供同樣的力矩情況下，速度大的φ轉(zhuǎn)角變化越慢. 從圖中也可以很明顯地看出. 定性地來講，就是角動(dòng)量越大，越難以改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)也更加穩(wěn)定. 考慮一種極限情況，就是速度足夠大，相當(dāng)于重力足夠小. 這樣的話自行車可以保持其初始狀態(tài)不變，φ與θ都是恒定值. 這樣就可以合理地推測(cè)速度越大，θ與φ狀態(tài)改變地越慢.

圖4 θ、φ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s,T=10 s,δ=0)

4.2 “前輪尾跡”對(duì)穩(wěn)定性的影響

Jones在著作中提及“前輪尾跡”對(duì)自行車平衡的重要性. “前輪尾跡”描述轉(zhuǎn)軸-地面交點(diǎn)與前輪接觸點(diǎn)的相對(duì)位置. 如果轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)在車輪交點(diǎn)之前，那么當(dāng)前輪偏離中央的位置時(shí)，地面的摩擦力與車架對(duì)前輪的力形成的力矩將與偏轉(zhuǎn)方向相反，反之則相同. 這與腳輪(比如超市中的購(gòu)物車)的運(yùn)動(dòng)具有相似的特征[6]. 現(xiàn)設(shè)置不同的δ=C3C2來驗(yàn)證一下“前輪尾跡”對(duì)平衡的影響.

由圖5可得，轉(zhuǎn)軸與地面的交點(diǎn)位于前輪接觸點(diǎn)前的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)δ=0,-0.4 m還是相當(dāng)穩(wěn)定的，并且距離越大振蕩平緩得越快. 而另一個(gè)就不是那么穩(wěn)定了. 不過也并非前輪設(shè)置的越靠后越好，由于那樣的車過于穩(wěn)定從而轉(zhuǎn)彎等操作顯得并不靈活. 可以看出，模擬結(jié)果和Jones在其著作中的論斷是一致的，前輪過于靠前是無法騎行的.

圖5 θ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s，T=10 s,v=4 m/s)

4.3 陀螺效應(yīng)以及前輪的自由度對(duì)穩(wěn)定性的影響

模擬如圖6，這兩種情況下輪都向一個(gè)方向倒下，并且θ的變化情況相同. 這是由于在這兩種情況下，都不會(huì)由于輪的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生x方向的力矩，θ坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力只由重力產(chǎn)生，最后只能向一個(gè)方向傾斜.

再來重點(diǎn)討論一下陀螺效應(yīng)的影響. Jones認(rèn)為陀螺效應(yīng)的影響是十分小的，但是此處的仿真和簡(jiǎn)單的推理卻顯示沒有角動(dòng)量的自行車是無法運(yùn)行的. 再次回顧Jones的實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)他是將前輪的角動(dòng)量抵消，而后輪的角動(dòng)量仍然是存在的. 于是經(jīng)過模擬只改變前輪或者后輪某一個(gè)輪的動(dòng)能函數(shù)，我們得到如圖7的結(jié)果.

圖6 θ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s，T=0.87 s,v=4 m/s)

圖7 θ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s，T=0.87 s,v=16 m/s)

Jones制作的自行車“URB I”[3]即圖中虛線所代表的只抵消前輪角動(dòng)量的情況，也并不是完全不穩(wěn)定的. 加之其實(shí)驗(yàn)中并沒有完全使軸對(duì)齊且平面重合，并不能說是完全抵消，人還是可以操控這樣的自行車的. 不過顯然這樣會(huì)比普通的車更加地難以操控，Jones也提到這樣的自行車無法在沒有人的操控下穩(wěn)定運(yùn)行. 從圖中也可以清晰地看見，當(dāng)后輪的陀螺效應(yīng)被消除后，自行車仍能在前輪角動(dòng)量的調(diào)節(jié)下保持相當(dāng)穩(wěn)定. 也就是說前輪對(duì)于穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后輪的.

以上模擬了自行車自由運(yùn)動(dòng)下的一個(gè)簡(jiǎn)單模型，而在實(shí)際情況下，由于騎行者操控反饋的存在，這個(gè)系統(tǒng)成為一個(gè)非封閉的系統(tǒng)，情況變得更加復(fù)雜. 不過自行車自由和被操控時(shí)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性一定是緊密聯(lián)系的. 因此分析力學(xué)的方法可以在近似計(jì)算自行車這樣自由度較高的系統(tǒng)上有著比較簡(jiǎn)潔的應(yīng)用.