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        無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題的可視化研究

        2021-01-25 03:59:46肖光延陳鳳翔汪禮勝
        大學(xué)物理 2021年2期
        關(guān)鍵詞:可視化方向

        肖光延,陳鳳翔,汪禮勝

        (武漢理工大學(xué) 理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系,湖北 武漢 430070)

        無(wú)限深勢(shì)阱是量子力學(xué)研究與教學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題,通常人們所關(guān)心的是這些無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程如何求解,以及所解出的“定態(tài)”的概率分布可視化.前者的研究已經(jīng)十分成熟,現(xiàn)有的教材和習(xí)題中均有涉及[1]1,2],而后者尤其是三維勢(shì)阱的可視化研究還是比較少見(jiàn)的.張春國(guó)[3]和楊紅衛(wèi)[4]等利用Matlab給出了三維無(wú)限深方勢(shì)阱波函數(shù)和概率密度的切片圖,這不失為一種可行的方式,但對(duì)于一些更加復(fù)雜的圖案仍有一定的局限性.本文對(duì)其做出改進(jìn),繪制了電子云圖像,并成功將其應(yīng)用在了柱形勢(shì)阱和球形勢(shì)阱之中.將無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的量子行為可視化,可以有效輔助教學(xué),幫助學(xué)生理解相關(guān)抽象概念,對(duì)量子力學(xué)理論的教學(xué)大有裨益[4].

        1 無(wú)限深方勢(shì)阱

        1.1 一維無(wú)限深方勢(shì)阱的求解及推廣

        一維無(wú)限深方勢(shì)阱可以說(shuō)是最經(jīng)典的模型,該勢(shì)阱實(shí)際中并不存在,但在一定條件下,很多系統(tǒng)都可以抽象成無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題來(lái)處理,如量子點(diǎn)、量子線段等[5].其勢(shì)阱可以簡(jiǎn)單描述為

        (1)

        這個(gè)勢(shì)阱的定態(tài)解為

        (2)

        (3)

        其中,m=1,2,3,….

        以上結(jié)論可以直接推廣到二維和三維的情況,對(duì)于二維勢(shì)阱,有

        (4)

        (5)

        (6)

        對(duì)于三維勢(shì)阱,則對(duì)應(yīng)的波函數(shù)和能級(jí)分別為

        (7)

        (8)

        1.2 無(wú)限深方勢(shì)阱可視化

        借助Matlab軟件中強(qiáng)大的計(jì)算和顯示功能,我們依托GUI界面開(kāi)發(fā)了無(wú)限深勢(shì)阱顯示界面,可以通過(guò)下拉菜單選擇一維勢(shì)阱、二維勢(shì)阱和三維勢(shì)阱,同時(shí)在不同勢(shì)阱模型下又可以進(jìn)行細(xì)分,如二維勢(shì)阱可以細(xì)分為方形和圓形勢(shì)阱等.然后在不同方向選擇合適的量子數(shù),點(diǎn)擊“運(yùn)行”即輸出此時(shí)的空間波函數(shù)和概率密度圖.

        圖1 GUI主界面圖

        二維和三維圖像也有類(lèi)似規(guī)律,分別如圖3和圖4所示,他們的概率密度或者電子云圖像在某一方向上的“峰值”的個(gè)數(shù)總是等于這個(gè)方向上的量子數(shù).圖3中給出了幾個(gè)二維無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)及對(duì)應(yīng)的概率分布,其中圖(a)、圖(b)、圖(c)分別對(duì)應(yīng)Ψ21、Ψ12和Ψ13情形,其中上部分為波函數(shù)分布,下部分為概率密度.從圖3(a)中可以看出,二維波函數(shù)Ψ21在x方向有兩個(gè)極值,而y方向僅有1個(gè)極值,在概率密度分布中x方向出現(xiàn)了2個(gè)峰值,而y方向只出現(xiàn)了1個(gè)峰值.對(duì)其他2種情形可進(jìn)行類(lèi)似分析.

        圖2 一維無(wú)限深方勢(shì)阱前3個(gè)波函數(shù)及其概率密度

        圖3 二維無(wú)限深方勢(shì)阱的幾個(gè)波函數(shù)及其概率密度

        圖4 三維無(wú)限深方勢(shì)阱Ψ212電子云圖像

        對(duì)于三維無(wú)限深勢(shì)阱中的波函數(shù),我們采用電子云來(lái)描述,以圖4中Ψ212的概率分布為例.|Ψ212|2在空間形成了四朵云,保證了概率密度在x方向出現(xiàn)2個(gè)峰值,y方向有1個(gè)峰值,z方向存在2個(gè)峰值.

        2 無(wú)限深圓形勢(shì)阱和柱形勢(shì)阱

        2.1 二維無(wú)限深圓形勢(shì)阱的求解及其推廣

        二維無(wú)限深圓形勢(shì)阱可以表述為

        (9)

        粒子被束縛在勢(shì)阱之中,在邊界上有無(wú)窮大的力限制它逃逸,而在勢(shì)阱內(nèi)部,它是自由的.在銅(Cu)表面量子圍欄的研究中,組成圍欄的48個(gè)鐵(Fe)原子將Cu表面態(tài)電子禁錮其中,形成同心圓駐波,該體系就可以抽象為二維無(wú)限深圓形勢(shì)阱[8,9].圓形勢(shì)阱內(nèi)部的哈密頓量為[1]

        (10)

        考慮分離變量法,令哈密頓量的本征態(tài)為Ψm(r,θ)=R(r)Φm(θ).采用數(shù)學(xué)方法求解,則二維無(wú)限深圓勢(shì)阱中的波函數(shù)

        Ψn,m(r,θ)=J|m|(ηn,|m|r)Φm(θ)=

        (11)

        其中J(r)為貝塞爾函數(shù)[10].可以看出,能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的(m=0除外),m取正取負(fù)雖表示著不同的波函數(shù),卻有著相同的能量.

        如果考慮柱形勢(shì)阱,那只不過(guò)是在豎直方向上多了一個(gè)一維無(wú)限深勢(shì)方阱,粒子被約束在0

        (12)

        而對(duì)應(yīng)的能量本征值

        (13)

        此時(shí)能級(jí)仍然為二重簡(jiǎn)并.

        2.2 無(wú)限深圓形勢(shì)阱和柱形勢(shì)阱的可視化

        Ψ12的波函數(shù)和概率密度

        Ψ22的波函數(shù)和概率密度

        無(wú)限深柱形勢(shì)阱在水平方向上的變化規(guī)律和圓形勢(shì)阱相同,而在豎直方向上的變化規(guī)律則和一維無(wú)限深方勢(shì)阱相同,圖6是其電子云圖像.

        Ψ122的電子云圖像

        Ψ222的電子云圖像

        圖6(a)和(b)分別是柱形勢(shì)阱中粒子處于態(tài)Ψ122和Ψ222時(shí)的概率分布,從正視圖中可以看出,他們都在空間中分成了上下兩層,這保證了概率密度在z方向上出現(xiàn)2個(gè)峰值.此外,圖6(a)中俯視圖展示了|Ψ122|2在水平方向上有1個(gè)同心圓環(huán),而圖6(b)中俯視圖展示了|Ψ222|2在水平方向上的2個(gè)環(huán),這是由徑向量子數(shù)n控制的,我們已經(jīng)在二維的分析中提到了其原因.

        3 無(wú)限深球形勢(shì)阱

        3.1 三維無(wú)限深球形勢(shì)阱的求解

        三維無(wú)限深球形勢(shì)阱可作為原子核內(nèi)勢(shì)能的一個(gè)高度簡(jiǎn)化的物理模型[11],勢(shì)函數(shù)表示如下

        (14)

        在勢(shì)阱內(nèi),哈密頓算符可以寫(xiě)成[1]

        (15)

        要求解的波函數(shù)應(yīng)該是(H,l2,l)的共同本征函數(shù),它必然有著如下形式

        (16)

        分兩部分討論,當(dāng)l=0時(shí),m只能為0,這個(gè)時(shí)候的定態(tài)波函數(shù)為

        (17)

        (18)

        該能級(jí)無(wú)簡(jiǎn)并.

        當(dāng)l≠0時(shí),方程的解為

        (19)

        (20)

        可見(jiàn),能級(jí)E只與n、l有關(guān),因此,這個(gè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度取決于m,由于m=0,±1,±2,...,±l,因此簡(jiǎn)并度為2l+1.

        3.2 無(wú)限深球形勢(shì)阱的可視化

        無(wú)限深球形勢(shì)阱概率分布隨3個(gè)量子數(shù)n、l、m變化的規(guī)律如圖7所示.在波函數(shù)中,半整數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球諧函數(shù)互相調(diào)制,粒子在勢(shì)阱中的概率分布受兩者共同影響.因?yàn)樨惾麪柡瘮?shù)電子云分布有了球殼結(jié)構(gòu),球殼的層數(shù)就是量子數(shù)n,同時(shí)粒子的概率分布又保留了球諧函數(shù)的大部分特征.

        圖7中的(b)、(c)、(d)圖均可以看做是由半整數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球諧函數(shù)互相調(diào)制而成.由于n=2,它們的電子云都有著2層的結(jié)構(gòu).而圖(b)的紡錘形,圖(c)的中間大環(huán),圖(d)俯視圖中的零點(diǎn),都是來(lái)自于對(duì)應(yīng)的球諧函數(shù)的特征.

        為進(jìn)一步分析,在圖8中給出了三維無(wú)限深方勢(shì)阱|Ψ220|2以及構(gòu)成它的徑向函數(shù)|Rl|2與球諧函數(shù)|Ψ20|2.從圖8(a)、(b)、(c)的對(duì)比中,我們可以直觀地看出|Ψ220|2既保留了|R2|2的兩層球殼結(jié)構(gòu),又可以從中看出|Ψ20|2的輪廓.

        Ψ100的電子云圖像

        Ψ210的電子云圖像

        Ψ220的電子云圖像

        Ψ221的電子云圖像

        |Ψ220|2

        徑向函數(shù)|R2|2

        球諧函數(shù)|Ψ20|2

        4 總結(jié)

        本文共介紹了一維、二維、三維等6個(gè)無(wú)限深勢(shì)阱的理論計(jì)算和可視化模擬,這基本上已經(jīng)涵蓋了所有的規(guī)則勢(shì)阱.對(duì)于每一個(gè)勢(shì)阱,我們都對(duì)其波函數(shù)、概率密度以及電子云圖形隨量子數(shù)變化的趨勢(shì)進(jìn)行了討論,此外,還分析了二維、三維勢(shì)阱的能級(jí)簡(jiǎn)并度等.借助Matlab軟件的強(qiáng)大功能,粒子在勢(shì)阱中的概率分布變得直觀,有些圖像作出來(lái)后令人眼前一亮,使人不由地贊嘆對(duì)稱(chēng)之美.無(wú)限深勢(shì)阱中波函數(shù)的直觀可視化,對(duì)量子理論的課堂教學(xué)及學(xué)生對(duì)量子力學(xué)中抽象概念的理解和掌握都具有很大幫助.

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