肖光延，陳鳳翔，汪禮勝

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，湖北 武漢 430070)

無(wú)限深勢(shì)阱是量子力學(xué)研究與教學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題，通常人們所關(guān)心的是這些無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程如何求解，以及所解出的“定態(tài)”的概率分布可視化.前者的研究已經(jīng)十分成熟，現(xiàn)有的教材和習(xí)題中均有涉及[1]1,2]，而后者尤其是三維勢(shì)阱的可視化研究還是比較少見(jiàn)的.張春國(guó)[3]和楊紅衛(wèi)[4]等利用Matlab給出了三維無(wú)限深方勢(shì)阱波函數(shù)和概率密度的切片圖，這不失為一種可行的方式，但對(duì)于一些更加復(fù)雜的圖案仍有一定的局限性.本文對(duì)其做出改進(jìn)，繪制了電子云圖像，并成功將其應(yīng)用在了柱形勢(shì)阱和球形勢(shì)阱之中.將無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的量子行為可視化，可以有效輔助教學(xué)，幫助學(xué)生理解相關(guān)抽象概念，對(duì)量子力學(xué)理論的教學(xué)大有裨益[4].

1 無(wú)限深方勢(shì)阱

1.1 一維無(wú)限深方勢(shì)阱的求解及推廣

一維無(wú)限深方勢(shì)阱可以說(shuō)是最經(jīng)典的模型，該勢(shì)阱實(shí)際中并不存在，但在一定條件下，很多系統(tǒng)都可以抽象成無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題來(lái)處理，如量子點(diǎn)、量子線段等[5].其勢(shì)阱可以簡(jiǎn)單描述為

(1)

這個(gè)勢(shì)阱的定態(tài)解為

(2)

(3)

其中，m=1,2,3,….

以上結(jié)論可以直接推廣到二維和三維的情況，對(duì)于二維勢(shì)阱，有

(4)

(5)

(6)

對(duì)于三維勢(shì)阱，則對(duì)應(yīng)的波函數(shù)和能級(jí)分別為

(7)

(8)

1.2 無(wú)限深方勢(shì)阱可視化

借助Matlab軟件中強(qiáng)大的計(jì)算和顯示功能，我們依托GUI界面開(kāi)發(fā)了無(wú)限深勢(shì)阱顯示界面，可以通過(guò)下拉菜單選擇一維勢(shì)阱、二維勢(shì)阱和三維勢(shì)阱，同時(shí)在不同勢(shì)阱模型下又可以進(jìn)行細(xì)分，如二維勢(shì)阱可以細(xì)分為方形和圓形勢(shì)阱等.然后在不同方向選擇合適的量子數(shù)，點(diǎn)擊“運(yùn)行”即輸出此時(shí)的空間波函數(shù)和概率密度圖.

圖1 GUI主界面圖

二維和三維圖像也有類(lèi)似規(guī)律，分別如圖3和圖4所示，他們的概率密度或者電子云圖像在某一方向上的“峰值”的個(gè)數(shù)總是等于這個(gè)方向上的量子數(shù).圖3中給出了幾個(gè)二維無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)及對(duì)應(yīng)的概率分布，其中圖(a)、圖(b)、圖(c)分別對(duì)應(yīng)Ψ21、Ψ12和Ψ13情形，其中上部分為波函數(shù)分布，下部分為概率密度.從圖3(a)中可以看出，二維波函數(shù)Ψ21在x方向有兩個(gè)極值，而y方向僅有1個(gè)極值，在概率密度分布中x方向出現(xiàn)了2個(gè)峰值，而y方向只出現(xiàn)了1個(gè)峰值.對(duì)其他2種情形可進(jìn)行類(lèi)似分析.

圖2 一維無(wú)限深方勢(shì)阱前3個(gè)波函數(shù)及其概率密度

圖3 二維無(wú)限深方勢(shì)阱的幾個(gè)波函數(shù)及其概率密度

圖4 三維無(wú)限深方勢(shì)阱Ψ212電子云圖像

對(duì)于三維無(wú)限深勢(shì)阱中的波函數(shù)，我們采用電子云來(lái)描述，以圖4中Ψ212的概率分布為例.|Ψ212|2在空間形成了四朵云，保證了概率密度在x方向出現(xiàn)2個(gè)峰值，y方向有1個(gè)峰值，z方向存在2個(gè)峰值.

2 無(wú)限深圓形勢(shì)阱和柱形勢(shì)阱

2.1 二維無(wú)限深圓形勢(shì)阱的求解及其推廣

二維無(wú)限深圓形勢(shì)阱可以表述為

(9)

粒子被束縛在勢(shì)阱之中，在邊界上有無(wú)窮大的力限制它逃逸，而在勢(shì)阱內(nèi)部，它是自由的.在銅(Cu)表面量子圍欄的研究中，組成圍欄的48個(gè)鐵(Fe)原子將Cu表面態(tài)電子禁錮其中，形成同心圓駐波，該體系就可以抽象為二維無(wú)限深圓形勢(shì)阱[8,9].圓形勢(shì)阱內(nèi)部的哈密頓量為[1]

(10)

考慮分離變量法，令哈密頓量的本征態(tài)為Ψm(r,θ)=R(r)Φm(θ).采用數(shù)學(xué)方法求解，則二維無(wú)限深圓勢(shì)阱中的波函數(shù)

Ψn,m(r,θ)=J|m|(ηn,|m|r)Φm(θ)=

(11)

其中J(r)為貝塞爾函數(shù)[10].可以看出，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的(m=0除外)，m取正取負(fù)雖表示著不同的波函數(shù)，卻有著相同的能量.

如果考慮柱形勢(shì)阱，那只不過(guò)是在豎直方向上多了一個(gè)一維無(wú)限深勢(shì)方阱，粒子被約束在0

(12)

而對(duì)應(yīng)的能量本征值

(13)

此時(shí)能級(jí)仍然為二重簡(jiǎn)并.

2.2 無(wú)限深圓形勢(shì)阱和柱形勢(shì)阱的可視化

Ψ12的波函數(shù)和概率密度

Ψ22的波函數(shù)和概率密度

無(wú)限深柱形勢(shì)阱在水平方向上的變化規(guī)律和圓形勢(shì)阱相同，而在豎直方向上的變化規(guī)律則和一維無(wú)限深方勢(shì)阱相同，圖6是其電子云圖像.

Ψ122的電子云圖像

Ψ222的電子云圖像

圖6(a)和(b)分別是柱形勢(shì)阱中粒子處于態(tài)Ψ122和Ψ222時(shí)的概率分布，從正視圖中可以看出，他們都在空間中分成了上下兩層，這保證了概率密度在z方向上出現(xiàn)2個(gè)峰值.此外，圖6(a)中俯視圖展示了|Ψ122|2在水平方向上有1個(gè)同心圓環(huán)，而圖6(b)中俯視圖展示了|Ψ222|2在水平方向上的2個(gè)環(huán)，這是由徑向量子數(shù)n控制的，我們已經(jīng)在二維的分析中提到了其原因.

3 無(wú)限深球形勢(shì)阱

3.1 三維無(wú)限深球形勢(shì)阱的求解

三維無(wú)限深球形勢(shì)阱可作為原子核內(nèi)勢(shì)能的一個(gè)高度簡(jiǎn)化的物理模型[11]，勢(shì)函數(shù)表示如下

(14)

在勢(shì)阱內(nèi)，哈密頓算符可以寫(xiě)成[1]

(15)

要求解的波函數(shù)應(yīng)該是(H,l2,l)的共同本征函數(shù)，它必然有著如下形式

(16)

分兩部分討論，當(dāng)l=0時(shí)，m只能為0，這個(gè)時(shí)候的定態(tài)波函數(shù)為

(17)

(18)

該能級(jí)無(wú)簡(jiǎn)并.

當(dāng)l≠0時(shí)，方程的解為

(19)

(20)

可見(jiàn)，能級(jí)E只與n、l有關(guān)，因此，這個(gè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度取決于m，由于m=0，±1，±2，...，±l，因此簡(jiǎn)并度為2l+1.

3.2 無(wú)限深球形勢(shì)阱的可視化

無(wú)限深球形勢(shì)阱概率分布隨3個(gè)量子數(shù)n、l、m變化的規(guī)律如圖7所示.在波函數(shù)中，半整數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球諧函數(shù)互相調(diào)制，粒子在勢(shì)阱中的概率分布受兩者共同影響.因?yàn)樨惾麪柡瘮?shù)電子云分布有了球殼結(jié)構(gòu)，球殼的層數(shù)就是量子數(shù)n，同時(shí)粒子的概率分布又保留了球諧函數(shù)的大部分特征.

圖7中的(b)、(c)、(d)圖均可以看做是由半整數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球諧函數(shù)互相調(diào)制而成.由于n=2，它們的電子云都有著2層的結(jié)構(gòu).而圖(b)的紡錘形，圖(c)的中間大環(huán)，圖(d)俯視圖中的零點(diǎn)，都是來(lái)自于對(duì)應(yīng)的球諧函數(shù)的特征.

為進(jìn)一步分析，在圖8中給出了三維無(wú)限深方勢(shì)阱|Ψ220|2以及構(gòu)成它的徑向函數(shù)|Rl|2與球諧函數(shù)|Ψ20|2.從圖8(a)、(b)、(c)的對(duì)比中，我們可以直觀地看出|Ψ220|2既保留了|R2|2的兩層球殼結(jié)構(gòu)，又可以從中看出|Ψ20|2的輪廓.

Ψ100的電子云圖像

Ψ210的電子云圖像

Ψ220的電子云圖像

Ψ221的電子云圖像

|Ψ220|2

徑向函數(shù)|R2|2

球諧函數(shù)|Ψ20|2

4 總結(jié)

本文共介紹了一維、二維、三維等6個(gè)無(wú)限深勢(shì)阱的理論計(jì)算和可視化模擬，這基本上已經(jīng)涵蓋了所有的規(guī)則勢(shì)阱.對(duì)于每一個(gè)勢(shì)阱，我們都對(duì)其波函數(shù)、概率密度以及電子云圖形隨量子數(shù)變化的趨勢(shì)進(jìn)行了討論，此外，還分析了二維、三維勢(shì)阱的能級(jí)簡(jiǎn)并度等.借助Matlab軟件的強(qiáng)大功能，粒子在勢(shì)阱中的概率分布變得直觀，有些圖像作出來(lái)后令人眼前一亮，使人不由地贊嘆對(duì)稱(chēng)之美.無(wú)限深勢(shì)阱中波函數(shù)的直觀可視化，對(duì)量子理論的課堂教學(xué)及學(xué)生對(duì)量子力學(xué)中抽象概念的理解和掌握都具有很大幫助.