秦志杰，李德民

(鄭州大學(xué) 物理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

微擾論是量子力學(xué)一種重要的近似方法[1，2]。采用微擾論求解時，要求體系哈密頓可以分為兩部分，一部分是未微擾部分，另一部分是微擾部分，并且還要求未微擾部分可嚴(yán)格求解，微擾部分相對于可嚴(yán)格求解部分很小才行。微擾法從未受微擾體系的解出發(fā)，通過求解引入微擾后體系的能級和狀態(tài)的變化，算出對能級和波函數(shù)的各階修正。

在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于微擾計算方法的解題過程很熟悉，但對于計算出的結(jié)果和微擾的直接聯(lián)系卻不太清楚。比如，給出微擾，學(xué)生能計算出各階修正，但是對下述問題并不太清楚。即，微擾矩陣元的位置和大小對能量的各階修正的具體聯(lián)系是什么？能否僅通過觀察微擾矩陣的形式，就看出對各能級的各階能量修正是否存在？以及相應(yīng)修正是提升還是降低了原有能級的能量？對這些問題的回答，一方面可以加深對微擾論的理解；另一方面，也能對微擾矩陣元的影響有更深的認(rèn)識。實際上，很多可用微擾論處理的問題，不經(jīng)計算即可對結(jié)果做出判斷。

為了解決上述問題，我們將通過對具體系統(tǒng)的計算和分析，來尋找微擾矩陣元和微擾論方法計算結(jié)果之間存在的聯(lián)系。接下來，通過對存在微擾的三能級系統(tǒng)的研究，來尋找微擾矩陣元和對各能級的不同階修正之間可能存在的聯(lián)系。

1 含微擾的三能級系統(tǒng)的描述

我們首先考慮一個存在微擾的三能級系統(tǒng)，體系總的哈密頓可寫為：

(1)

(2)

(3)

(4)

2 微擾論對能級的修正

2.1 微擾矩陣對能級的一階修正

(5)

因此，對E1能級的一階修正為：

(6)

對E2能級的一階修正為：

(7)

對E3能級的一階修正為：

(8)

上述結(jié)果顯示，只有微擾矩陣的對角元，才會對相應(yīng)的能級產(chǎn)生一階修正；而微擾的非對角元不會對能級產(chǎn)生一階修正。我們這里討論的是不含微擾時，體系由對角化矩陣描述的系統(tǒng)。對于零階矩陣非對角化的情況，要首先把非微擾部分化為對角形式后，才能按上述結(jié)果進(jìn)行討論。

2.2 微擾矩陣對能級的二階修正

(9)

從上述結(jié)論可知，對于有限個能級組成的系統(tǒng)，就微擾矩陣的非對角元對于能量最低的能級Emin的修正而言，由于其余所有能級均大于這個能量，所以上述修正始終小于或等于零，即，對最低能級的二階修正不會大于零。換句話說，微擾矩陣的非對角元的二階修正，只會拉低能級Emin。同理，對于能量最高的能級Emax的修正，由于其余所有能級均小于這個能量，所以上述修正始終大于或等于零，即，對微擾矩陣的任意非對角元，它對最高能級的二階修正不會小于零。換句話說，微擾的二階修正，只可能提升最高的能級Emax。

利用上述公式，對能量為E1的能級的二階修正為：

(10)

(11)

上述二階修正項均大于等于零，這一點與前面的分析一致。即，由于E1為能量最高的能級，有前面結(jié)論可知，所有二階修正均為正。

同理，對能量為E2的能級的二階修正為：

=-|ε4|2+|ε5|2

(12)

對能量為E3的能級的二階修正為：

(13)

上式關(guān)于能量的二階修正均小于等于零，這一點與前面的結(jié)論一致。即，由于E3為能量最低的能級，由前面結(jié)論可知，所有二階修正均為負(fù)。

此外，考慮到用微擾論進(jìn)行實際計算時，往往只需要計算出微擾所產(chǎn)生的低階修正，因此我們僅研究到二階近似，不再考慮更高階的能量修正。

3 結(jié)論

利用上述結(jié)論，對于存在微擾的體系，我們可以很快判斷出，微擾矩陣會對哪些能級帶來什么樣的修正。并在計算前，可以判斷出修正的作用效果，從而減少計算量。同時，這些結(jié)論還可為通過微擾的引入來控制體系能譜提供一定的幫助，從而更好的把握如何通過微擾項來控制能級的位置，提高對量子體系的調(diào)控能力。