樓智美

（紹興文理學(xué)院物理系，紹興 312000）

引言

為研究方便，在建立力學(xué)系統(tǒng)模型時常常會忽略一些次要因素或把某些條件理想化，使建立的力學(xué)系統(tǒng)與實際的力學(xué)系統(tǒng)存在一定的差異，從而導(dǎo)致其研究成果不能直接應(yīng)用于實際的力學(xué)系統(tǒng).若重新考慮在建立力學(xué)模型時忽略的某些次要因素或考慮某些實際的條件，則描述力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程中就會出現(xiàn)微擾項，存在微擾項的力學(xué)系統(tǒng)叫微擾力學(xué)系統(tǒng).微擾力學(xué)系統(tǒng)更接近實際的力學(xué)系統(tǒng)，其研究成果更適合推廣應(yīng)用.微擾力學(xué)系統(tǒng)近似守恒量的研究對于研究力學(xué)系統(tǒng)的特性至關(guān)重要.近年來關(guān)于微分方程近似守恒量的研究已取得不少成果［1－15］，目前研究近似守恒量主要采用近似Lie對稱性理論［1］和近似 Noether對稱性理論［2］，引進近似的群無限小變換，微分方程在此變換下近似保持不變則為近似Lie對稱性；哈密頓作用量在此變換下近似保持不變則為近似Noether對稱性，所得的守恒量為近似守恒量.用近似對稱性理論求近似守恒量要用到Lagrange函數(shù)和近似的群無限小變換，并需解出近似的無限小生成元、規(guī)范函數(shù)，計算較繁復(fù)，尤其對計算多自由度二階及以上階近似守恒量帶來了困難.另外，用近似對稱性理論求近似守恒量時，無法明確表達高階近似守恒量與低階近似守恒量、一階近似守恒量與精確守恒量間的遞推關(guān)系，給理論的推廣應(yīng)用帶來了不便.

本文研究微擾力學(xué)系統(tǒng)的二階近似守恒量，把微擾力學(xué)系統(tǒng)視為未受微擾系統(tǒng)與微擾項的迭加，先選擇合適的方法求得未受微擾系統(tǒng)的精確守恒量I0［16，17］，再從近似守恒量的性質(zhì)出發(fā)，得到守恒量的一階微擾項系數(shù)I1與精確守恒量I0、守恒量的二階微擾項系數(shù)I2與守恒量的一階微擾項系數(shù)I1和精確守恒量I0的遞推關(guān)系，并考慮微擾項對精確守恒量以及對守恒量的一階微擾項系數(shù)的影響，利用遞推關(guān)系并直接積分求得二階近似守恒量.文中用此方法研究了一微擾力學(xué)系統(tǒng)的二階近似守恒量并得到了2個穩(wěn)定的二階近似守恒量.

1 求兩自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)二階近似守恒量的基本理論

兩自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程一般可表示成

其中 0＜ε?1，g1（x1，x2，˙x1，˙x2，ε），g2（x1，x2，˙x1，˙x2，ε）為廣義加速度，可表示成未受微擾作用時的廣義加速度 g1（ε0），g2（ε0）和因微擾作用產(chǎn)生的一階微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）及二階微擾項 ε2g1（ε2）、ε2g2（ε2）之和，g1（ε1），g2（ε1），g1（ε2），g2（ε2）分別表示一階、二階微擾項的系數(shù)（下文表示類同）.與系統(tǒng)（1）相應(yīng)的未受微擾作用系統(tǒng)的運動微分方程可表示成

系統(tǒng)（1）可視為系統(tǒng)（2）與一階微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）及二階微擾項 ε2g1（ε2）、ε2g2（ε2）的迭加.

二階近似守恒量可表示成

式（3）中的I1、I2分別稱為守恒量的一階微擾項系數(shù)和二階微擾項系數(shù)，若I0不為0，I1、I2均為0，則稱 I＝I0為精確守恒量；若 I0、I1不為 0，I2為 0，則稱I為穩(wěn)定的一階近似守恒量；若I0、I2不為0，則稱I為穩(wěn)定的二階近似守恒量；若I0、I2為0，I1不為0，則稱I為平凡的一階近似守恒量；若I0為0，I2不為0，則稱I為平凡的二階近似守恒量.

二階近似守恒量的性質(zhì)為

將（3）式代入（4）式并展開，令 ε0，ε1，ε2的系數(shù)分別等于0，忽略ε3及以上項，可得守恒量的一階微擾項系數(shù)I1與精確守恒量I0，二階微擾項系數(shù)I2與一階微擾項系數(shù)I1及精確守恒量I0的遞推關(guān)系

從系統(tǒng)（2）求得的精確守恒量I0一定滿足（5a）式，將代入（5b）式可得，同時考慮 g1（ε0），g2（ε0）的形式可求得 I1.由 I1及 εg1（ε1）、εg2（ε1）可求得代入（5c）式，并同時考慮 g1（ε0），g2（ε0）的形式可求得I2.

綜上所述，二階近似守恒量（3）中的第一部分I0的形式是由未受微擾系統(tǒng)（2）決定的，而守恒量的一階微擾項系數(shù)I1的形式是由未受微擾系統(tǒng)和一階微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）共同決定的，一階微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）對精確守恒量 I0產(chǎn)生影響，此影響體現(xiàn)在中，而由確定 I1時又要考慮未受微擾項 g1（ε0），g2（ε0）的形式，從而實現(xiàn) g1（ε0），g2（ε0）項對 I1的影響.類似地，守恒量的二階微擾項系數(shù)I2的形式是由未受微擾系統(tǒng)和微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）、ε2g1（ε2）、ε2g2（ε2）共同決定的，二階微擾項 ε2g1（ε2）、ε2g2（ε2）會對（ε2）產(chǎn)生影響，一階微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）會對產(chǎn)生影響，而由確定 I2時又要考慮未受微擾項 g1（ε0），g2（ε0）的形式，實現(xiàn) g1（ε0）、g2（ε0）項對 I2的影響.

因此，求系統(tǒng)（1）的二階近似守恒量的步驟可歸結(jié)如下：首先，分解微擾力學(xué)系統(tǒng)并求得精確守恒量，即將系統(tǒng)（1）分解成未受微擾系統(tǒng)（2）和微擾項，并根據(jù)系統(tǒng)（2）的形式選擇一種合適的方法求得其精確守恒量I0，由此求得的守恒量中不含微擾項.其次，建立守恒量的高階微擾項系數(shù)與低階微擾項系數(shù)及精確守恒量之間的遞推關(guān)系，即根據(jù)二階近似守恒量的性質(zhì)，建立守恒量的一階微擾項系數(shù)I1與精確守恒量I0、二階微擾項系數(shù)I2與一階微擾項系數(shù)I1和精確守恒量I0的遞推關(guān)系.第三，考慮微擾項的影響，利用遞推關(guān)系直接積分求得守恒量的一階、二階微擾項系數(shù)，即考慮微擾項εg1（ε1）、εg2（ε1）、ε2g1（ε2）、ε2g2（ε2）對精確守恒量I0的影響，計算代入（5b）式并同時考慮 g1（ε0）、g2（ε0）的形式求得I1；考慮微擾項 εg1（ε1）、εg2（ε1）對守恒量的一階微擾項系數(shù)I1的影響，計算，將和代入（5c）式并同時考慮 g1（ε0）、g2（ε0）的形式求得I2.

2 應(yīng)用舉例

設(shè)兩自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程可表示成

其中ε為非線性耦合系數(shù)，且0＜ε?1.與系統(tǒng)（6）相應(yīng)的未受微擾系統(tǒng)為

系統(tǒng)（7）是頻率比為2：1的兩維各向異性諧振子，存在如下4個精確守恒量［18］

下面計算.將（8）式分別代入，并同時考慮（6）式得

將（9）式中的項分別代入（5b）式，并同時考慮（6）式中 g1（ε0），g1（ε0）項的形式，可求得與相對應(yīng)的2個I1

與相應(yīng)的I1不存在.

下面計算，將（10）式分別代入并考慮（6）式中 εg1（ε1），εg1（ε1）項的形式，得

將（9a）式中的項和（11a）式代入（5c）式，并考慮（6）式中 g1（ε0），g1（ε0）項的形式，可得

將（9d）式中的項和（11b）式代入（5c）式，并考慮（6）式中 g1（ε0），g1（ε0）項的形式，可得

因此，系統(tǒng)存在2個穩(wěn)定的二階近似守恒量

另外，由于精確守恒量的必為 0，則系統(tǒng)一定存在以下4個平凡的二階近似守恒量

其中的由（8）式給出.

3 小結(jié)

本文從二階近似守恒量的性質(zhì)出發(fā)研究微擾力學(xué)系統(tǒng)的二階近似守恒量，提出了分三步求得二階近似守恒量的直接積分法：首先，分解微擾力學(xué)系統(tǒng)并求得精確守恒量；其次，建立守恒量的高階微擾項系數(shù)與低階微擾項系數(shù)及精確守恒量之間的遞推關(guān)系；第三，考慮微擾項的影響，利用遞推關(guān)系直接積分求得守恒量的一階、二階微擾項系數(shù)，從而求得系統(tǒng)的二階近似守恒量.文中用此方法研究了一微擾力學(xué)系統(tǒng)的二階近似守恒量并得到了2個穩(wěn)定的二階近似守恒量和4個平凡的二階近似守恒量.用本方法求近似守恒量，思想方法簡單，高階近似守恒量與低階近似守恒量間的遞推關(guān)系明確，可推廣至多自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)及高階近似守恒量的求解，是求近似守恒量的一種有效方法.

1 Leach PG L，Moyo S，Cotsakis S，Lemmer R L.Symmetry，singularities and integrability in complex dynamicsⅢ：approximate symmetries and invariants.Journal of Nonlinear Mathematical Physics，2001，8（1）：139～156

2 Govinder K S，Heil T G，Uzer T.Approximate Noether symmetries.Physics Letters A，1998，240（3）：127～131

3 Unal G.Approximate generalized symmetries，normal forms and approximate first integrals.Physics Letters A，2000，266（2）：106～122

4 Kara A H，Mahomed FM，Unal G.Approximate symmetries and conservation laws with application.International Journal of Theoretical Physics，1999，38（9）：2389～2399

5 Johnpillai A G，Kara A，H.Variational formulation of approximate symmetries and conservation laws.International Journal of Theoretical Physics，2001，40（8），1501～1509

6 Dolapci I T，Pakdemirli M.Approximate symmetries of creeping flow equations of a second grade fluid.International Journal of Non-linear Mechanics，2004，39（10）：1603～1619

7 Kara A H，Mahomed FM，Qadir A.Approximate symmetries and conservation laws of the geodesic equations for the Schwarzschild metric.Nonlinear Dynamics，2008，51（1-2）：183～188

8 Grebenev V N，Oberlack M.Approximate Lie symmetries of the Navier-Stokes equations.Journal of Nonlinear Mathematical Physics，2007，14（2）：157～163

9 Johnpillai A G，Kara A H，Mahomed F M.Approximate Noether-type symmetries and conservation laws via partial Lagrangians for PDEs with a small parameter.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，223（1）：508～518

10 樓智美.微擾Kepler系統(tǒng)軌道微分方程的近似Lie對稱性與近似不變量.物理學(xué)報，2010，59（10）：6764～6769（Lou ZM.Approximate Lie symmetries and approximate invariants of the orbit differential equation for perturbed Kepler system.Acta Physica Sinica，2010，59（10）：6764～6769（in Chinese））

11 Naeem I，Mahomed FM.Approximate first integrals for a system of two coupled van der Pol oscillators with linear diffusive coupling.Mathematical and Computational Applications，2010，15（4）：720～731

12 樓智美，梅鳳翔，陳子棟.弱非線性耦合二維各向異性諧振子的一階近似Lie對稱性與近似守恒量.物理學(xué)報，2012，61（11），110204（Lou Z M，Mei F X，Chen Z D.The first-order approximate Lie symmetries and approximate conserved quantities of the weak nonlinear coupled two-dimensional anisotropic harmonic oscillator.Acta Physica Sinica，2012，61（11）：110204（in Chinese））

13 Zhang Z Y，Yong X L，Chen Y F.A new method to obtain approximate symmetry of nonlinear evolution equation form perturbations.Chinese Physics B，2009，18（7）：2629～2633

14 樓智美.兩自由度弱非線性耦合系統(tǒng)的一階近似Lie對稱性與近似守恒量.物理學(xué)報，2013，62（22）：220202（Lou ZM.The first order approximate Lie symmetries and approximate conserved quantities of the weak nonlinear coupled two-dimensional system.Acta Physica Sinica，2013，62（22）：220202（in Chinese））

15 樓智美.含非線性微擾項的二階動力學(xué)系統(tǒng)的一階近似守恒量的一種新求法.物理學(xué)報，2014，63（6）：060202（Lou ZM.A new method to obtain first order approximate conserved quantities of second-ordinary dynamics system containing nonlinear perturbation terms.Acta Physica Sinica，2014，63（6）：060202（in Chinese））

16 張斌，方建會，張東愛，徐瑞莉，劉學(xué)鋒.相對論性非完整系統(tǒng)的Lagrange對稱性與守恒量.動力學(xué)與控制學(xué)報，2014，12（2）：105～110（Zhang B，F(xiàn)ang JH，Zhang D A，Xu R L，Liu X F.Symmetry and conserved quantity of Lagrangians for relativistic nonholonomic system.Journal of Dynamicsand Control，2014，12（2）：105～110（in Chinese））

17 徐瑞莉，方建會，張斌，王菲菲.Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性導(dǎo)致的一種守恒量.動力學(xué)與控制學(xué)報，2014，12（1）：13～17（Xu R L，F(xiàn)ang JH，Zhang B，Wang F F.A type of conserved quantity of lie symmetry for nonholonomic system of nielsen equation of chetaev＇s type.Journalof Dynamicsand Control，2014，12（1）：13～17（in Chinese））

18 樓智美，梅鳳翔.二維各向異性諧振子的第三個獨立守恒量及其對稱性.物理學(xué)報.2012，61（11）：110201（Lou Z M，Mei F X.The third independent conserved quantity and its symmetry of the two-dimensional anisotropic harmonic oscillator.Acta Physica Sinica，2012，61（11）：110201（in Chinese） ）