[摘要]數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).筆者認(rèn)為，目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：化歸法、數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、方程法、函數(shù)法等.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;教學(xué)研究

作者簡(jiǎn)介：張涵（1981），碩士研究生，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在.教學(xué)研究是培養(yǎng)“學(xué)生終身學(xué)習(xí)”和“可持續(xù)發(fā)展”的必由之路.只有把二者有機(jī)地結(jié)合起來，才能培養(yǎng)出適應(yīng)未來社會(huì)需要的具有高層次文化素養(yǎng)的合格人才.

轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)觀念，重視數(shù)學(xué)思想和方法的綜合滲透美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理”“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的”.數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)學(xué)科一般原理的重要組成部分.當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想和方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了.下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義”，即使新知識(shí)能夠較順利地納人學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想和方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是獲得知識(shí)與技巧，而是在探究知識(shí)與技巧的過程中掌握數(shù)學(xué)思想和方法，用數(shù)學(xué)思想和方式去思考和認(rèn)識(shí)客觀事物.

中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法

在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，筆者一直奉行“精簡(jiǎn)實(shí)用”的原則，大膽地拋棄一些煩瑣無意義的知識(shí)，在一些值得花時(shí)間的內(nèi)容上用足功夫，使得一些策略性和原理性的東西得到充分的理解，進(jìn)而使學(xué)生能夠有充足的時(shí)間進(jìn)行充分的探究去體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.所以，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的不同特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)奶骄糠绞讲拍軌虺浞煮w現(xiàn)其特有的思想方法和探究能力.下面結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，談一下筆者的做法和體會(huì).

1.運(yùn)用“數(shù)學(xué)化歸思想和方法”，使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是從所接受的知識(shí)轉(zhuǎn)化而來的.在轉(zhuǎn)化過程中，都是以學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的，這其中數(shù)學(xué)方法起著重要的作用.例如，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0），從學(xué)生的認(rèn)知角度來講，這是一個(gè)同化的過程，而這個(gè)同化過程是否順利，與學(xué)生對(duì)配方法的理解和掌握有著極為密切的關(guān)系.為此，在課堂教學(xué)中，對(duì)待這一新的問題，筆者引導(dǎo)學(xué)生首先回顧形如x=a（o》0）的解法的根本依據(jù)，然后引導(dǎo)學(xué)生將ax2+bx+c=0（a=0）這類方程與已經(jīng)解決的形如x2=a（o》0）的方程進(jìn)行比較.在比較的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過配方將方程ar+bx+c=0（a=0）化成x2=a（o》0）這種形式，進(jìn)而可解.這其中就是運(yùn)用已有的開平方法和二次三項(xiàng)式的配方的知識(shí)點(diǎn)，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)來解的化歸的數(shù)學(xué)思想和方法.再比如，p為何值時(shí)，不等式0≤x2+px+5≤1恰好有一個(gè)解？引導(dǎo)學(xué)生分析：本題顯然很抽象，若單純從代數(shù)不等式的解法去考慮，則顯得較繁.我們把抽象的代數(shù)不等式的解法轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為具體的幾何圖形來考慮，可知y=x2+px+5是一條開口向上的拋物線，而1是平行于x軸的直線，綜合考察這條拋物線的頂點(diǎn)與這條直線的位置關(guān)系，本題的解法就明朗了.這種方法在許多方面有著廣泛的應(yīng)用，如二元一次方程組的解法，幾何中的有關(guān)計(jì)算，等等.通過多次的探索，學(xué)生發(fā)現(xiàn)化歸的方法有著如圖1所示的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

通過這樣的思想和方法的滲透，使得學(xué)生不但掌握了新的教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)在探究的過程中對(duì)化歸的思想有了充分的理解，對(duì)今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和提高起到了重要的作用.

2.運(yùn)用方程思想，倡導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)遷移的能力

方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用較廣是聯(lián)結(jié)初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的一條紅線.由于其特殊性，教師在教學(xué)過程中更要加強(qiáng)引導(dǎo)，使學(xué)生充分體驗(yàn)到其中的內(nèi)涵，使學(xué)生在此問題的處理上能達(dá)到一個(gè)更高的平臺(tái).例如，如圖2，已知有一塊三角形的余料ABC，它的邊BC=54，高AD=36，要把它加工成一個(gè)鄰邊之比為2：3的矩形，使矩形較長(zhǎng)的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求加工成的矩形的長(zhǎng)和寬.

在此題的解答上學(xué)生能掌握的是利用相似三角形的性質(zhì)，得到等量關(guān)系式：AH：AD=QP：BC，但在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)設(shè)QP=3x，PN=2x，對(duì)此題的解法顯得快捷而方便.所以對(duì)此類方法的研究，加深了學(xué)生的理解能力，也充分體現(xiàn)了方程思想在幾何題型中運(yùn)用的優(yōu)越性.

3.用特殊到一般的方法，設(shè)置探究平臺(tái)

探究的集中表現(xiàn)是解決問題，然而對(duì)于綜合性較強(qiáng)的問題，由于是涉及的知識(shí)點(diǎn)多、思想和方法運(yùn)用多的題目

學(xué)生的連續(xù)思維的能力的差異，給探究工作帶來了一定的難度.為此，在平時(shí)幾何的課堂教學(xué)之中，筆者特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)習(xí)題的總結(jié)、歸納并使他們盡可能地掌握常見的基本幾何模型及其數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生掌握這些簡(jiǎn)單的幾何模型之間的變序、一般化、特殊化等數(shù)學(xué)中發(fā)生、發(fā)展問題的常用方法，使學(xué)生提出問題和自主探究的能力得以不斷加強(qiáng).

比如，2003年上海市中考數(shù)學(xué)最后題：如圖3，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合），過E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)（1）當(dāng)∠DEF=45時(shí)，求證：點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn);（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△DEF，如圖4，當(dāng)EF=時(shí)，討論△ADD6與△EDF是否相似.如果相似，請(qǐng)加以證明;如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由這道題目的幾何原型即為四邊形部分的一道幾何題目：如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上.（1）若∠EAF=45°時(shí)，能否得到EF=BE+DF;（2）若EF=BE+DF，能否得到∠EAF=45°，請(qǐng)說明理由

通過對(duì)這道題目的變化規(guī)律的探索，不難發(fā)現(xiàn)滿足這一變化規(guī)律的點(diǎn)C即△AEF的邊EF的高的軌跡，即為本題的圓弧，而EF是切線（圖6）.教師運(yùn)用多媒體課件加以演示，増強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)，在這個(gè)核心的基礎(chǔ)上加上了切線長(zhǎng)定理應(yīng)用的基本圖形和翻折的基本圖形，而后兩部分圖形學(xué)生是非常熟悉的.通過這一探究過程使學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)到由特殊到一般的解題思路的重要性.

中學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)層次及模式

1.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，另一個(gè)稱為深層知識(shí)，表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，也是教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí).學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步地學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)深層知識(shí)蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識(shí)教師必須在講授表層知識(shí)的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識(shí)，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，才能使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到個(gè)質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題?！敝?，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性.那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高.

2.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了教師在教學(xué)中的辯證統(tǒng)一性.基于上述認(rèn)識(shí)，筆者給出了數(shù)學(xué)思想和方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式：操作一掌握一領(lǐng)悟.對(duì)此模式作如下說明：（1）數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識(shí)，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的;（2）“操作”是指表層知識(shí)教學(xué)，即基本知識(shí)與技能的教學(xué)“操作”是數(shù)學(xué)思想和方法教學(xué)的基礎(chǔ);（3）“掌握”是指在表層知識(shí)教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)表層知識(shí)的掌握.學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識(shí)，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識(shí)的前提;（4）“領(lǐng)悟”是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)掌握的有關(guān)表層知識(shí)的認(rèn)識(shí)深化，即對(duì)蘊(yùn)于其中的數(shù)學(xué)思想和方法有所感悟，有所體會(huì);（5）數(shù)學(xué)思想和方法教學(xué)是循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，往往是幾種數(shù)學(xué)思想和方法交織在一起，在教學(xué)過程中依據(jù)具體情況在一段時(shí)間內(nèi)突出滲透與明確一種數(shù)學(xué)思想或方法，效果可能會(huì)更好一些.通過教學(xué)研究培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)方法是筆者的一個(gè)大膽設(shè)想和在教學(xué)上的一個(gè)突破，對(duì)于這一點(diǎn)筆者有很清楚的認(rèn)識(shí)，這一步跨出去也許不知前面路在何方，但筆者相信這一步邁的是對(duì)的路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索