郭茜

摘要：勾股定理有著豐富的文化內(nèi)涵和巨大的文化價(jià)值。勾股定理的教學(xué)要凸顯數(shù)學(xué)文化特色，可盡量選取相關(guān)歷史材料，融入定理猜想、證明與應(yīng)用的全過程，在潤澤學(xué)生數(shù)學(xué)情感、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)文化中的探索精神、思想方法以及數(shù)學(xué)之用、數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞：勾股定理;教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)文化

作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，勾股定理是平面幾何最基本的定理，是數(shù)形結(jié)合的典范，有著豐富的文化內(nèi)涵和巨大的文化價(jià)值。張奠宙先生說過：“勾股定理是難得的承載著大量的數(shù)學(xué)文化的中學(xué)數(shù)學(xué)課題?！币虼?，勾股定理的教學(xué)要凸顯數(shù)學(xué)文化特色，可盡量選取相關(guān)歷史材料，融入定理猜想、證明與應(yīng)用的全過程，在潤澤學(xué)生數(shù)學(xué)情感、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)文化中的探索精神、思想方法以及數(shù)學(xué)之用、數(shù)學(xué)之美。筆者在教學(xué)中便做了這樣的嘗試，取得了較好的效果。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前準(zhǔn)備

推送視頻微課“勾股定理的發(fā)展歷史”，讓學(xué)生了解與勾股定理相關(guān)的重要?dú)v史事件。

讓學(xué)生上網(wǎng)搜索與勾股定理相關(guān)的小故事，分享給同學(xué)，并提交給教師。

[設(shè)計(jì)意圖：歷史材料的融入，會(huì)使得這節(jié)課的容量比較大。讓學(xué)生在課前觀看相關(guān)歷史事件的視頻，可以使他們?cè)谡n堂上比較快地接收信息，從而快速進(jìn)入思考、理解的狀態(tài)。讓學(xué)生在課前搜集相關(guān)歷史材料，可以使課堂上呈現(xiàn)的歷史材料部分甚至全部來自學(xué)生，從而更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。]

（二）課堂教學(xué)

1.勾股定理的猜想。

（1）探索等腰直角三角形的三邊關(guān)系。

首先，分享學(xué)生課前搜集的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的小故事：

相傳，在公元前550年左右，有一次，畢達(dá)哥拉斯應(yīng)邀去朋友家做客。善于觀察的他被腳下排列規(guī)則的地磚圖案所吸引，看著看著，竟然在地磚圖案上做起了數(shù)學(xué)，完全忘記了自己是來做客的。地磚圖案是一個(gè)個(gè)相同的直角三角形按黑白兩色有規(guī)則地排列形成的。他發(fā)現(xiàn)，地磚圖案中正方形A和正方形B的面積之和恰好等于正方形C的面積（如圖1）。回家后，他又做了進(jìn)一步的推廣、演算，最終得到了勾股定理——西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理。

接著，出示三個(gè)問題：

問題1：地磚圖案中，正方形A、正方形B和正方形C的面積為什么有上述關(guān)系？如何計(jì)算或表示三個(gè)正方形的面積？

問題2：這三個(gè)正方形中間所圍的圖形是什么？

問題3：如何描述結(jié)論？

（2）探索網(wǎng)格中直角三角形的三邊關(guān)系。

首先，出示情境：

1955年，希臘發(fā)行了一枚郵票（如圖2），紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理;顯然，郵票中的圖形可以放入網(wǎng)格中（如圖3）。

接著，出示一個(gè)問題：

問題4：圖中，三個(gè)正方形的面積是否還具有剛才的關(guān)系？如何求正方形C的面積？

預(yù)設(shè)：（1）“補(bǔ)”的方法，即C的面積=大正方形的面積-4個(gè)小直角三角形的面積;（2）“割”的方法，即C的面積=4個(gè)小直角三角形的面積+小正方形的面積。

然后，出示三個(gè)問題：

問題5：這三個(gè)正方形中間所圍的圖形是什么？

問題6：如何描述結(jié)論？

問題7：網(wǎng)格中，其他的直角三角形滿足這個(gè)關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)谡n前分發(fā)的方格紙上繪制直角三角形，構(gòu)造相應(yīng)的正方形并求出其面積。

匯總學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證結(jié)論。

（3）探索任意直角三角形的三邊關(guān)系。

出示一個(gè)問題：

問題8：去掉網(wǎng)格限制，任意直角三角形都滿足這個(gè)關(guān)系嗎？

利用“幾何畫板”軟件繪制直角三角形，構(gòu)造相應(yīng)的正方形并自動(dòng)求出其面積;改變直角三角形的形狀、大小，自動(dòng)呈現(xiàn)變化的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證結(jié)論。

根據(jù)正方形面積公式，獲得猜想：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2 + b2=c2。

[設(shè)計(jì)意圖：從畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理最初的情境入手，從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，一步一步做細(xì)做實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷歸納猜想勾股定理的過程，不斷體會(huì)一般化（推廣）的數(shù)學(xué)思想。其中，引入動(dòng)手操作和軟件演示可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。此外，求網(wǎng)格中直角三角形斜邊上的正方形的面積時(shí)采用的割、補(bǔ)方法可讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并且為后面理解勾股定理的證明方法（啟發(fā)勾股定理的證明思路）做好鋪墊。]

2.勾股定理的證明。

（1）商高的“積矩圖”證法。

分享學(xué)生課前搜集的中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中周武王的大臣周公和學(xué)者商高的一段對(duì)話：

昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?/p>

解釋這段話的意思：

從前，周公問商高：“我早就聽說大夫您擅長數(shù)學(xué)。古時(shí)伏羲建立周天測(cè)量度數(shù)，可是天沒有臺(tái)階可供攀登，地也不適合以尺寸去度量，請(qǐng)問這些數(shù)是從何處得來的？”商高說：“數(shù)學(xué)的方法出于圓和方（正方形）的數(shù)理特性，圓可由方的數(shù)理特性推導(dǎo)，方可由矩（長方形）的直角數(shù)理特性推導(dǎo)，矩的數(shù)理原理出于乘法法則。所以，將矩形沿對(duì)角線一折為二，得兩個(gè)相等的直角三角形，那么，勾方加股方就等于徑方。例如，如果勾（即短邊）等于三，股（即長邊）等于四，那么，所得直角三角形的徑（即弦，斜邊之長）就等于五（三四五這三個(gè)數(shù)按九九乘法表來計(jì)算有三三加四四等于五五的關(guān)系）。為什么呢？您看，在直角三角形之外，以徑為邊作正方形，然后每次取半個(gè)矩形，四次就可以環(huán)繞正方形一周，這就形成一個(gè)大的方盤了。由此推導(dǎo)，就可以得出成立‘三四五’的數(shù)理關(guān)系了。因?yàn)橛蓸?gòu)圖得，由兩個(gè)矩形分成的四個(gè)直角三角形圍成的徑方的面積等于大的方盤面積（七七四十九）減去兩個(gè)矩形的面積（三四一十二的兩倍，二十四），從而推導(dǎo)得徑方面積等于二十五，這恰好等于勾方的面積九加股方的面積十六，得到徑等于五，這就是所說的勾三股四徑五。這種推導(dǎo)法就是所謂的‘積矩’法。大禹之所以能夠（由治水而）治天下，就得力于以上的數(shù)量關(guān)系?！?/p>

談話：這其實(shí)就是勾股定理名稱的由來。由此，我們可以知道，商高不僅發(fā)現(xiàn)了勾股定理，還證明了勾股定理。（課件出示圖4）請(qǐng)觀察“積矩圖”，解釋商高的證法。

（2）趙爽的“弦圖”證法。

談話：三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽在《勾股圓方圖注》一書中創(chuàng)制了“弦圖”，（課件出示圖5）再次證明了勾股定理。2002年，國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國召開，會(huì)徽（課件出示會(huì)徽）就是趙爽的“弦圖”。（課件將“弦圖”一般化為圖6）請(qǐng)觀察“弦圖”的一般化，解釋趙爽的證法。

（3）劉徽的“青朱出入圖”證法。

談話：魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽撰寫《九章算術(shù)注》時(shí)，依據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”創(chuàng)制了“青朱出入圖” ，又一次證明了勾股定理。雖然此圖失傳了，但是后人根據(jù)“出入相補(bǔ)、以盈補(bǔ)虛”的原理，參照書中類似的方法，還原了此圖（課件出示下頁圖7）。請(qǐng)觀察“青朱出入圖”，解釋劉徽的證法。

（4）歐幾里得的證法。

談話：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中，也給出了勾股定理的證法（課件出示下頁圖8）。

具體解釋歐幾里得的證法。

（5）其他證法。

分享師生搜集的勾股定理的其他證法。

[設(shè)計(jì)意圖：商高的證法、趙爽的證法和劉徽的證法簡潔明了，凸顯了幾何直觀，正是之前割、補(bǔ)計(jì)算面積方法的遷移運(yùn)用，可以讓學(xué)生嘗試作出解釋。歐幾里得的證法邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，在幾何直觀的基礎(chǔ)上凸顯了演繹推理，需要運(yùn)用全等三角形知識(shí)和等積轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)該向?qū)W生作出解釋。通過對(duì)比，學(xué)生不僅可以感受到證法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，而且能夠體會(huì)到中西數(shù)學(xué)文化的差異。勾股定理是證明方法最多的數(shù)學(xué)定理之一。分享其他證明方法，可以拓寬學(xué)生的視野，讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的豐富聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無窮樂趣。]

3.勾股定理的應(yīng)用。

出示習(xí)題：

1.在下列橫線上填上正確的數(shù)值。

2.已知在Rt△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊。

（1）若∠A=90°，a=0.5，b=0.3，則c=_______________;

（2）若∠B=90°，a=5，c=12，則b=_________________;

（3）若∠C=90°，c=15，b=9，則a=____________________;

（4）若∠C=90°，a∶b=3∶4，c=10，則a=____________，b=____________。

3.《九章算術(shù)》中有一個(gè)“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問：水深、葭長各幾何？”題意是：“如圖9，有一個(gè)邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在池塘中央，高出水面部分BC為1尺。如果把該蘆葦沿與岸邊垂直的方向拉向岸邊，那么，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′。問：水深和蘆葦長各多少？”

4.（1）求圖10中陰影部分的面積：SE=___________，SA+SB+SC+SD=____________。你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）請(qǐng)拿出之前在方格紙中繪制的圖形，在原有兩層圖形的基礎(chǔ)上繪出第三層。你還能繪出更多層嗎？

展示“幾何畫板”軟件繪制的“勾股樹”（如圖11），讓學(xué)生欣賞。

[設(shè)計(jì)意圖：第1題是勾股定理的基本應(yīng)用，即已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊。第2題稍微提升難度，即不給圖形，先要確定已知邊是直角邊還是斜邊，以及變已知一邊長度為已知兩邊長度的比。第3題是《九章算術(shù)》中的問題，是實(shí)際應(yīng)用問題，既滲透了數(shù)學(xué)文化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之用;同時(shí)進(jìn)一步提升難度，即要運(yùn)用建模思想和方程方法。第4題“勾股樹”問題，是規(guī)律探究和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題，既滲透了數(shù)學(xué)文化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。]

二、教學(xué)立意

（一）重走歷史之路，感悟數(shù)學(xué)思想方法

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的活動(dòng)過程。再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，可以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不過分著眼于瑣碎的、容易遺忘的數(shù)學(xué)知識(shí)（問題），更關(guān)注獲得知識(shí)（解決問題）過程中具有一般性的、能夠積淀和遷移的數(shù)學(xué)思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以讓學(xué)生更好地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，完成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，因?yàn)闅v史體現(xiàn)（包含）著最真實(shí)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程。本節(jié)課，不僅定理的猜想、證明和應(yīng)用環(huán)節(jié)都融入了大量的歷史材料，而且，“猜想—證明—應(yīng)用”這一流程也充分體現(xiàn)了歷史發(fā)展的脈絡(luò)，是對(duì)歷史過程的重構(gòu)。有了過程的充分經(jīng)歷，學(xué)生就能更好地體會(huì)到從一般化、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化、等積變換、幾何直觀、演繹推理等重要的數(shù)學(xué)思想方法以及“大膽猜想（類比、歸納），小心求證（驗(yàn)證、論證），廣泛應(yīng)用（數(shù)學(xué)、現(xiàn)實(shí)）”的數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)。

（二）比較中西文化，體會(huì)數(shù)學(xué)之用和數(shù)學(xué)之美

勾股定理的文化內(nèi)涵還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的多樣性特征。本節(jié)課，在證明環(huán)節(jié)，筆者有意引導(dǎo)學(xué)生比較源自中國數(shù)學(xué)文化的商高證法、趙爽證法、劉徽證法和源自西方數(shù)學(xué)文化的歐幾里得證法;在運(yùn)用環(huán)節(jié)，筆者有意引導(dǎo)學(xué)生比較源自中國數(shù)學(xué)文化的“引葭赴岸”問題和源自西方數(shù)學(xué)文化的“勾股樹”問題。由此，可以讓學(xué)生體會(huì)到中國數(shù)學(xué)文化的實(shí)用特征和西方數(shù)學(xué)文化的理性特征，進(jìn)而體會(huì)到數(shù)學(xué)同時(shí)具有的應(yīng)用價(jià)值和審美價(jià)值，建立多元的數(shù)學(xué)觀和文化觀。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 王海青.基于數(shù)學(xué)史和《原本》思想的勾股定理教學(xué)價(jià)值思考[J].教學(xué)與管理，2016（10）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995.