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        如何用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題

        2021-01-21 12:32:08李騰
        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

        李騰

        【摘要】? 本文主要闡述如何用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題,并結(jié)合當(dāng)下高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題實(shí)際情況,首先分析函數(shù)思想概述,其次從通過(guò)函數(shù)思想處理方程問(wèn)題、通過(guò)函數(shù)思想處理不等式問(wèn)題、通過(guò)函數(shù)思想處理數(shù)列問(wèn)題、通過(guò)函數(shù)思想處理應(yīng)用問(wèn)題幾個(gè)方面深入說(shuō)明并探討用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題的措施,進(jìn)一步強(qiáng)化函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用,為相關(guān)研究提供參考資料.

        【關(guān)鍵詞】? 函數(shù)思想;高中數(shù)學(xué);解題思考

        函數(shù)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)思想,會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)解題成效產(chǎn)生較大的作用,也是師生分析與解決問(wèn)題的關(guān)鍵理念.將函數(shù)思想引入數(shù)學(xué)教學(xué),本質(zhì)上便是以題目的內(nèi)在關(guān)聯(lián)或者某個(gè)特點(diǎn)為中心,研究其性質(zhì)或圖像,從而解決問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)是重要的組成部分,貫穿教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),尤其是最近幾年的高考題目增加了對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查比例.所以,在實(shí)際的教學(xué)中教師要充分引進(jìn)函數(shù)思想,指導(dǎo)學(xué)生巧妙地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

        一、函數(shù)的概念

        設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x) 和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域,與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫作函數(shù)的值域.

        注意:

        (1)“y=f(x)” 是函數(shù)符號(hào),可以用任意的字母表示,如y=g(x);

        (2)函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,是一個(gè)數(shù),而不是f乘以x.

        二、構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

        解決函數(shù)問(wèn)題前必須準(zhǔn)確確定該函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域包含三種形式:

        (1)自然型:指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如分式函數(shù)的分母不為零、偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)等);

        (2)限制型:指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制,這是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn),往往也是難點(diǎn),因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽,學(xué)生解題時(shí)容易犯錯(cuò)誤;

        (3)實(shí)際型:解決函數(shù)的綜合問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題時(shí),應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義.

        求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題,中學(xué)數(shù)學(xué)要求學(xué)生能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題,例如:

        (1)配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù));

        (2)判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程);

        (3)不等式法(運(yùn)用不等式的各種性質(zhì));

        (4)函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)或抓住函數(shù)的單調(diào)性等).

        三、通過(guò)函數(shù)思想處理方程問(wèn)題

        所謂方程,就是含有未知數(shù)的等式,即便與函數(shù)定義有所差異,然而兩者之間存在很大的關(guān)聯(lián).在函數(shù)中引進(jìn)解析式表示題目關(guān)系便是運(yùn)用方程的一種表現(xiàn)形式.通過(guò)函數(shù)思想解決方程問(wèn)題,本質(zhì)上是將函數(shù)視為已知量為零的方程模式,從而完成數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化,巧妙地把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù).

        比如在解方程的過(guò)程中,尤其是相對(duì)煩瑣的方程,通過(guò)簡(jiǎn)便的理念解決方程需要耗費(fèi)諸多的時(shí)間和精力,難度相對(duì)大一些,所以要依據(jù)函數(shù)思想,立足于函數(shù)圖像及性質(zhì)對(duì)方程的解進(jìn)行研究,從而得到正確答案.

        這樣觀察函數(shù)圖像及其x軸的交點(diǎn),就可得到所求問(wèn)題的答案,m<a<b<n,因?yàn)閍<b與m<n,所以構(gòu)建函數(shù)可提高解決問(wèn)題的效率.

        四、通過(guò)函數(shù)思想處理不等式問(wèn)題

        把函數(shù)思想作用在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題上,能夠獲取一定成效.學(xué)生針對(duì)不同形式的基本函數(shù)較為熟悉,若可以深入掌握函數(shù)概念,能夠縮短解決問(wèn)題的時(shí)間,提高學(xué)習(xí)效率.函數(shù)是呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間關(guān)系的一種模型,可針對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科不等式問(wèn)題產(chǎn)生指導(dǎo)作用,故在解決不等式問(wèn)題的過(guò)程中可以適當(dāng)引進(jìn)函數(shù)思想.也就是說(shuō),教師在具體教學(xué)中要讓學(xué)生樹(shù)立函數(shù)思想意識(shí),使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)提高函數(shù)思想應(yīng)用質(zhì)量,提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心.

        利用函數(shù)解不等式的依據(jù):不等式f(x)> g(x)的解集就是函數(shù)f(x)位于g(x)上方的圖像部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值的集合.特別地,f(x)> 0的解集就對(duì)應(yīng)于f(x)的圖像位于x軸上方的部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值的集合.此外,求解“抽象不等式”往往可借助函數(shù)的單調(diào)性或圖像.

        五、通過(guò)函數(shù)思想處理數(shù)列問(wèn)題

        數(shù)列是按照某種順序進(jìn)行排列的一列數(shù),同時(shí)其中任何一個(gè)數(shù)字都作為數(shù)列中的一項(xiàng),所以在處理數(shù)列問(wèn)題過(guò)程中,我們可把數(shù)列視作項(xiàng)數(shù)的一種函數(shù),涉及的通項(xiàng)公式稱為函數(shù)公式.對(duì)于高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,我們可以把數(shù)列? 視作函數(shù),借助函數(shù)知識(shí)展開(kāi)解題.

        需要注意的是,函數(shù)以及數(shù)列之間存在相同點(diǎn),函數(shù)思想本質(zhì)上是變量規(guī)律與內(nèi)在關(guān)聯(lián)的研究,以關(guān)系的研究找到數(shù)量特征,所以函數(shù)和數(shù)列之間存在通性,我們可以利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像分析數(shù)列,兩者的區(qū)別只是連續(xù)性與離散性,在類比之下融合函數(shù)思想處理數(shù)列問(wèn)題.

        六、通過(guò)函數(shù)思想處理應(yīng)用問(wèn)題

        在具體生活中分析兩個(gè)變量的關(guān)系,特別是路程、環(huán)保和生產(chǎn)等問(wèn)題,常和角度、數(shù)量及面積存在關(guān)聯(lián).這一部分應(yīng)用問(wèn)題和學(xué)生生活緊密相連,也是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題.在處理這些問(wèn)題的過(guò)程中,我們要善于找到問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,并借助函數(shù)解析式進(jìn)行表達(dá),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.解答應(yīng)用問(wèn)題一般包含以下幾個(gè)步驟:(1)審題,也就是閱讀題目,明確題目結(jié)論及條件,思考被分析量之間的關(guān)系,并以符號(hào)的形式表達(dá)出來(lái);(2)構(gòu)建模型,探索數(shù)量關(guān)系,借助函數(shù)解析式完成表達(dá);(3)解答,即借助知識(shí)與方法得到結(jié)果,并結(jié)合具體意義檢驗(yàn)結(jié)果,得到正確答案.

        函數(shù)思想的形成并不是短時(shí)間內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)的,而是需要師生之間共同努力,長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練與積累,不間斷地促使學(xué)生發(fā)展函數(shù)思想,自主通過(guò)函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,如通過(guò)函數(shù)思想處理方程問(wèn)題、通過(guò)函數(shù)思想處理不等式問(wèn)題、通過(guò)函數(shù)思想處理數(shù)列問(wèn)題等,在最短的時(shí)間內(nèi)獲取解決問(wèn)題的最大成效,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]易建平.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思想[J].現(xiàn)代教學(xué),2017(9):63.

        [2]涂方珍.高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例探究[J].數(shù)理化解題研究,2018(16):32-33.

        [3]陳海蓉.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究[J].高考,2019(17):194.

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