[摘 要]實變函數(shù)課程是重要的數(shù)學(xué)專業(yè)課程之一，是研究近代分析論的基礎(chǔ)。該課程的理論體系完整，證明過程的構(gòu)造性和創(chuàng)新性特點鮮明。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的最本質(zhì)的目標(biāo)。在教學(xué)過程中，根據(jù)各個知識點的特點，將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)之美等展現(xiàn)給學(xué)生，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。文章通過作者在教學(xué)實踐中積累的部分教學(xué)案例，探討在實變函數(shù)課程教學(xué)中對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)問題。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)素養(yǎng);實變函數(shù);教學(xué)案例

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）12-0092-03

李大潛院士曾說過“數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是提高學(xué)生的素質(zhì)”。數(shù)學(xué)素養(yǎng)指人用數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)方法觀察、分析、解決問題的能力及其傾向性，包括與數(shù)學(xué)相關(guān)的意識、行為、思維習(xí)慣、興趣、可能性、品質(zhì)等。實變函數(shù)課程作為數(shù)學(xué)專業(yè)本科教育的必修課程之一，在鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面有較大的作用。該課程具有比較鮮明的特點即邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、概念抽象、證明過程的構(gòu)造性強(qiáng)[1]，因此學(xué)生感覺晦澀難懂。很多教師對該課程的教學(xué)方法[1-3]、在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)文化以及提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4-6]等方面進(jìn)行了研究。本文列舉了幾個實變函數(shù)課程教學(xué)過程中的教學(xué)案例，嘗試將學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿到整個課程教學(xué)過程中，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高課程教學(xué)質(zhì)量。

一、數(shù)學(xué)史的滲透——對知識點追根溯源

大多數(shù)的數(shù)學(xué)理論都是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)上建立起來的，數(shù)學(xué)是一門不斷更新和發(fā)展的學(xué)科。因此，了解一門數(shù)學(xué)課程乃至一個知識點的歷史發(fā)展，對于了解該門數(shù)學(xué)課程而言是非常重要的。陳省身先生曾說過“了解歷史的變化是了解這門科學(xué)的一個步驟”。在講授實變函數(shù)這門課程時，介紹這門課程和一些知識點的歷史發(fā)展過程，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維鍛煉和數(shù)學(xué)文化熏陶都是非常重要的。

案例1：重視第一節(jié)課——介紹勒貝格測度思想。實變函數(shù)是理論的中心思想，是建立一種新的積分即勒貝格積分。由于學(xué)生在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)習(xí)了黎曼積分，實變函數(shù)是在數(shù)學(xué)分析這門課程之后開課的，因此有必要在第一次實變函數(shù)課程上介紹勒貝格積分創(chuàng)立的意義，這樣有助于學(xué)生加強(qiáng)對這門課程的整體把握和理解。因此，筆者首先介紹黎曼積分的缺陷、勒貝格創(chuàng)立積分的初衷及勒貝格積分的基本思想，接著介紹建立勒貝格積分需要做的前期的鋪墊工作，然后介紹實變函數(shù)理論的章節(jié)安排。即從“縱切”由[f（x）]圍成的曲邊梯形開始，設(shè)分割得到的第[i]段區(qū)間為[[yi-1，yi）]，向OX軸投影得到的集合為[Ei={x：yi-1≤f（x）<yi}]，任取[ηi∈[yi-1，yi）]，接下來引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想黎曼積分的定義，因此，學(xué)生很自然就猜到勒貝格積分（曲邊梯形的面積）的計算公式[limδ→0i=1nηimEi]，這里的[mEi]可以先解釋為集合[Ei]的長度。這說明要完整建立勒貝格積分理論，首先要解決一般集合的測度（長度）問題和可測函數(shù)的定義問題，然后才能建立積分。這正與教材[7]章節(jié)的安排相對應(yīng)，即第三章為測度理論，第四章為可測函數(shù)，第五章為積分理論，第六章為微分與不定積分。第一章介紹集合元素“個數(shù)”的類型、集合的無窮運算、連續(xù)函數(shù)的集合定義語言等，為第三章集合的測度與第四章可測函數(shù)列的極限奠定基礎(chǔ)。第二章介紹開閉集的運算規(guī)律，也為更好地開展測度理論研究做鋪墊。經(jīng)過這樣的講解，學(xué)生就會對實變函數(shù)理論框架有比較清晰的整體認(rèn)識，也會對實變函數(shù)理論產(chǎn)生親近之感，從而提升授課效果。

案例2：講解勒貝格外測度的定義。在介紹勒貝格外測度定義之前，筆者先帶領(lǐng)學(xué)生思考圓面積的近似求法：可以用圓的內(nèi)接或外切正[n]邊形的面積來近似代替圓的真實面積，當(dāng)分點越來越多時，近似的效果越來越好，對正[n]邊形的面積求極限，恰為圓的面積計算公式。接下來，和學(xué)生一起回顧與黎曼積分相關(guān)的達(dá)布上和與達(dá)布下和以及上下積分。這些例子都是為了說明兩個經(jīng)常用來計算面積的方法即外包法和內(nèi)填法。由外包法得到的計算公式就稱為外測度。然后，介紹約當(dāng)外測度的定義

[（m?E）J=inf{i=1n|Ii|：E?i=1nIi且Ii為開區(qū)間}]，但是，在約當(dāng)外測度的定義下，[[0，1]]上的有理數(shù)集合與無理數(shù)集合的外測度均為1， 而[[0，1]]的外測度也為1，這顯然是不合理的。由此，再給出勒貝格外測度的定義[（m?E）L=inf{i=1∞|Ii|：E?i=1∞Ii且Ii為開區(qū)間}]。

在這個過程中，學(xué)生能夠體會到數(shù)學(xué)的歷史積累性，也能夠體會數(shù)學(xué)思維的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性，更能很好地理解和消化勒貝格外測度的定義。在勒貝格外測度的定義下，[[0，1]]上的有理數(shù)集合的外測度為0，[[0，1]]上的無理數(shù)集合的外測度為1，讓學(xué)生進(jìn)一步體會勒貝格外測度的合理性。

案例3：講解可測函數(shù)的定義。在實變函數(shù)課程的第一節(jié)課中已經(jīng)交代了勒貝格積分的思想，學(xué)習(xí)第四章第一節(jié)時，可以先再一次簡單回顧勒貝格的積分思想，引入集合[Ei={x：yi-1≤f（x）<yi}]，并說明該集合在勒貝格積分理論中扮演著重要的角色，勒貝格積分需要該集合可測，而該集合可測與否與函數(shù)[f（x）]的性質(zhì)密切相關(guān)，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以集合[E={x：a≤f（x）<b}]（[a，b]為實數(shù)）可測來定義函數(shù)[f（x）]的可測性，接下來再進(jìn)一步思考（[f（x）]為有限實數(shù)）

[E={x：a≤f（x）<b}={x： ?f（x）≥a}-{x：f（x）≥b}]

因此，集合[E={x：a≤f（x）<b}]的可測性就轉(zhuǎn)化為集合[{x ： f（x）≥a}]的可測性。這正是教材對可測函數(shù)的定義方式，因此可以自然地引出可測函數(shù)的定義以及等價刻畫。這就使得可測函數(shù)的定義不突兀，與學(xué)生的思維非常接近，便于學(xué)生接受和記憶。

二、數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)——重視講解課程的理論框架和展開方式

案例4：教材[7]的第五章，由非負(fù)簡單函數(shù)的積分逐步實現(xiàn)對一般可測函數(shù)的勒貝格積分的定義。因此筆者在講授第五章時，先讓學(xué)生對教材逐步展開的方式有所了解。由于任何一個可測函數(shù)都可以寫成兩個非負(fù)可測函數(shù)之差（正部與負(fù)部），即[f=f+-f-（非負(fù)可測函數(shù)之差）]，同時，“任何一個非負(fù)可測函數(shù)都可以寫成非負(fù)的單調(diào)遞增的簡單函數(shù)列的極限”，因此我們可以先定義非負(fù)簡單函數(shù)的勒貝格積分。這正是這一章積分定義的展開方式。

筆者在具體的講解過程中，由勒貝格“縱切”的思想引導(dǎo)學(xué)生給出非負(fù)簡單函數(shù)的勒貝格積分的定義。在介紹非負(fù)可測函數(shù)的勒貝格積分之前，筆者讓學(xué)生根據(jù)“任何一個非負(fù)可測函數(shù)都可以寫成非負(fù)的單調(diào)遞增的簡單函數(shù)列的極限”這一結(jié)論，嘗試著給出非負(fù)簡單函數(shù)的勒貝格積分，并提示“任何一個可測函數(shù)都可以寫成兩個非負(fù)可測函數(shù)之差”，讓學(xué)生自己給出一般可測函數(shù)的勒貝格積分的定義。在講解各類函數(shù)的積分性質(zhì)時，也是逐步遞進(jìn)展開的。筆者這樣由淺入深，由易到難，由已知到未知，層層展開，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有奔頭也有解決問題的信心，對其整體把握積分的思想、定義和性質(zhì)非常有好處。這樣的教學(xué)過程，不僅能讓學(xué)生理解教材的框架安排，也能引導(dǎo)學(xué)生積極思考，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力——對知識點進(jìn)行拓展

實變函數(shù)課程中的很多知識如集合論、數(shù)學(xué)分析、概率等與其他課程有所聯(lián)系，在課程教學(xué)中適當(dāng)介紹實變函數(shù)課程與其他課程的聯(lián)系，不僅可以讓學(xué)生感受到這門課程的重要性，還可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實用性以及數(shù)學(xué)之美。

案例5：在講解康托爾三分集的時候，借助教材[7]中的描述向?qū)W生形象地展示科赫曲線、牛頓分形、Nova分形等，把美麗的數(shù)學(xué)圖像展示在學(xué)生的面前，再由此介紹分形的維數(shù)與分形幾何。雖然分形是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造，但在醫(yī)學(xué)、土力學(xué)、地震學(xué)和技術(shù)分析中都有應(yīng)用。如果時間充裕，還可以和學(xué)生一起觀看視頻“Hunting the Hidden Dimension（尋找隱藏的維度）”，共同感受數(shù)學(xué)的魅力，這樣可以拓寬學(xué)生的視野，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和熱愛之情。信息時代的發(fā)展日新月異，要讓學(xué)生體會到自我完善和認(rèn)真學(xué)習(xí)的重要性。

案例6：函數(shù)列的依測度收斂是實變函數(shù)這門課程中最中心的理論之一，因此對依測度收斂的內(nèi)涵與外延的講解都非常重要。在講解依測度收斂的時候，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起回憶概率論中的隨機(jī)變量收斂，特別是依分布收斂和大數(shù)定律以及分布函數(shù)等，并列舉一些概率論中非常重要的概念和結(jié)論，因為這些概念和結(jié)論與測度理論、可測函數(shù)的收斂、勒貝格積分等有著重要的聯(lián)系?？梢哉f，實變函數(shù)與概率論這兩門課程的基本概念和收斂性之間的聯(lián)系千絲萬縷。然后進(jìn)一步向?qū)W生說明測度論是現(xiàn)代概率論的地基，地基深房子才能蓋得高。這對于愛好概率論學(xué)科的學(xué)生以及打算以后從事與概率論相關(guān)科研和工作的學(xué)生，無疑是非常具有吸引力的。

在講解依測度收斂的定義的時候，筆者配合與比較函數(shù)列的收斂的定義，讓學(xué)生體會到，依測度收斂，不要求處處收斂，但不收斂的點“不能太多”，不收斂的點集測度要隨著n的增加趨向于零。這樣就可以很自然地帶領(lǐng)學(xué)生去思考依函數(shù)列的測度收斂與收斂到底有什么樣的關(guān)系，很自然就引出了里斯定理和勒貝格定理。邏輯自然流暢的授課，容易將學(xué)生帶入課堂，提高授課效率。

四、數(shù)學(xué)家的風(fēng)采——進(jìn)一步加大數(shù)學(xué)文化教育力度

本門課程涉及眾多數(shù)學(xué)家如康托爾、勒貝格、博雷爾、 卡拉西奧多里、富比尼等，這些數(shù)學(xué)家的品格與他們?nèi)〉玫某删鸵粯映錾?。因此，在課堂上適當(dāng)介紹一些數(shù)學(xué)家的生平與軼事，可以讓學(xué)生感受到他們對數(shù)學(xué)乃至真理認(rèn)真探索的態(tài)度和高貴的品格，從心里敬佩與仰慕這些數(shù)學(xué)家，從而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探索產(chǎn)生熱情和向往之心，這樣可對學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯和人格培養(yǎng)起到潛移默化的作用。下面就以cantor和勒貝格為例。

案例7： 集合論是實變函數(shù)的第一章。在這部分內(nèi)容的講授過程中，我們可以看到許多在我們身邊的不可思議的結(jié)論，比如有理數(shù)集具有可數(shù)基數(shù)，無理數(shù)集具有連續(xù)基數(shù)。學(xué)生在驚訝于這些結(jié)論與證明方法之余可以感受得到，集合論的創(chuàng)立者康托爾的強(qiáng)大思維。在集合論這一章的結(jié)尾處介紹康托爾的生平與主要工作以及簡要介紹第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，可以讓學(xué)生感受到集合論作為數(shù)學(xué)的基石曾經(jīng)經(jīng)歷的風(fēng)雨， “半絲半縷，恒念物力維艱”，從而體會到康托爾、蔡梅羅等幾位數(shù)學(xué)家對這個世界的貢獻(xiàn)。從數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)方面引導(dǎo)學(xué)生體會到正是一代代學(xué)者對數(shù)學(xué)的熱愛和孜孜不倦的追求，成就了科學(xué)飛速發(fā)展的今天，也成就了我們今天豐富的物質(zhì)生活，因此我們要心懷感恩地生活。

案例8：實變函數(shù)主要介紹的就是勒貝格積分，因此勒貝格的生平是很多學(xué)生關(guān)心的問題。筆者在介紹勒貝格時介紹他與博雷爾之間的師生關(guān)系。由于自己的研究受到當(dāng)時某些人的排斥，因此勒貝格畢業(yè)十年后都找不到工作，最后是到巴黎大學(xué)任教。雖然勒貝格曾經(jīng)受到打擊，但是，勒貝格積分最終還是站在了歷史的舞臺上，出現(xiàn)在當(dāng)今數(shù)學(xué)與工程的多種理論中。然后告訴學(xué)生：認(rèn)真學(xué)習(xí)實變函數(shù)這門課程不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項任務(wù)，同時也是對數(shù)學(xué)家們表達(dá)尊重和敬佩之情的一種方式。

五、結(jié)束語

根據(jù)《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》中對人才培養(yǎng)的要求和目標(biāo)，以及為貫徹落實黨的十八大以及十八屆三中全會、四中全會、五中全會的精神，遼寧省制定了《 遼寧省教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃》并要求教育積極適應(yīng)人才需求變化，推動本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展，加大專業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整力度，實現(xiàn)高校和職業(yè)學(xué)校與社會需求的密切對接，大力培養(yǎng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才，增強(qiáng)科技創(chuàng)新能力，為遼寧全面振興提供有力的人力支撐和保障。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終也是最高的目標(biāo)。李大潛先生認(rèn)為對學(xué)生開展數(shù)學(xué)文化方面的訓(xùn)練， 理想的方式應(yīng)該是結(jié)合數(shù)學(xué)課程特別是數(shù)學(xué)主干課程的教學(xué)來進(jìn)行。這樣做有助于數(shù)學(xué)文化教育的開展，雖然表面上看僅僅是一個配角，但在密切結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)涵這一載體的講授過程中， 卻不顯山、不露水地起著畫龍點睛的作用[8]。

實變函數(shù)課程作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，不僅是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，更是一種思維模式，對鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、理解能力和創(chuàng)新能力以及培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的作風(fēng)和思維模式起著非常重要的作用。從上面的案例可以看到，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，從第一次課開始，一直貫徹于實變函數(shù)課程的教學(xué)始終，環(huán)環(huán)相扣，使這門課程變得生動又富有吸引力，不僅可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣，更使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生熱情和向往之心，熱愛思考和探索，從而在潛移默化中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 蘇先鋒，秦喜梅，李曉萌.關(guān)于實變函數(shù)教學(xué)中的一些注記[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014（1）：78-80.

[2] 劉曉波.“教學(xué)做合一”理論在實變函數(shù)課程教學(xué)中的實踐[J].高等理科教育，2013（4）：82-85.

[3] 歐陽順湘.實變函數(shù)論中的概率方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2020（1）：64-66.

[4] 吳照奇，朱傳喜.數(shù)學(xué)文化在實變函數(shù)與泛函分析教學(xué)中的滲透[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（1）：89-91.

[5] 馮穎.在實變函數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的思考[J].高師理科學(xué)刊，2015（7）：66-68.

[6] 賈利東，王慧，李權(quán).數(shù)學(xué)史融入實變函數(shù)教學(xué)中的探究[J].河套學(xué)院學(xué)報，2016（4）：70-72.

[7] 程其襄，張奠宙， 魏國強(qiáng)，等. 實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].3版. 北京：高等教育出版社，2010.

[8] 李大潛.淺談數(shù)學(xué)文化[J].中國大學(xué)教學(xué)，2013（9）：4.

[責(zé)任編輯：龐丹丹]

[收稿時間]2020-07-28

[作者簡介]王詩云（1978-），女，遼寧沈陽人，博士，副教授，研究方向：運籌學(xué)。