江蘇省泰州市第二中學附屬初中(225300) 周 煉

1 教學背景分析

1.1 基于微課的復習課可行性分析

目前倡導以學生為主體,在課前與課后通過自主學習將主要問題先行解決,帶著疑問來到課堂上,教師再稍作引導的一種高效課堂教學模式.初三學生復習課時間安排緊張,若不能將時間高效利用起來,會大大降低學生的復習效率,所以這種課堂模式對于初三學生學習效度的提升大有裨益.但是由于在課前與課后沒有教師的幫助引導,針對性和目的性不強,學生可能會被自己帶偏復習方向,找不到合適的學習資源,反而白白浪費了時間,而微課平臺的興起有效地解決了這一矛盾.微課平臺是包含著海量資源的個性化網(wǎng)絡學習平臺,能夠通過遠程交流和在線學習記錄監(jiān)控學生的學習,將微課平臺與課堂教學結合既為微課平臺的應用添加了新的模式,又為課堂教學提供了新的教學支持工具[1].

1.2 基于數(shù)學核心素養(yǎng)的能力培養(yǎng)分析

圖形的運動是初中數(shù)學教學的重點和難點,而圖形的翻折正是三大幾何變換中的一種,在軸對稱圖形與中心對稱圖形的基礎上進行翻折變換可以出現(xiàn)很多趣味無窮的數(shù)學問題.由于圖形的運動具有過程的動態(tài)性、結果的不確定性和方法的多樣性,學生往往無從下手.圖形經(jīng)過翻折后雖然形態(tài)各異,但其蘊含的內在基本結構和基本圖形卻萬變不離其宗.要想解決看似復雜的翻折問題,就一定要引導學生在認知體系中建構出常見基本模型與翻折問題間的聯(lián)系,學會類比地、綜合地、深入地分析問題,抽象、提取出基本圖形,掌握翻折問題的通性通法,所以本節(jié)課要引導學生透過現(xiàn)象看到本質,從變化中看到不變,將復雜化為簡單,將陌生轉為熟悉.

2 教學重難點

1.教學重點:引導學生在復雜圖形中提取基本模型,感悟轉化的數(shù)學思想.

2.教學難點:基于思維導圖,啟發(fā)學生自主將碎片化的知識系統(tǒng)化,培養(yǎng)學生的關聯(lián)思維和聚合思維.

3 教學目標

1.通過微課平臺引導學生進行課前預習,掌握翻折問題中常見的三類基本模型.

2.引導學生對四邊形的翻折問題進行分析,感受變中的不變,發(fā)現(xiàn)復雜圖形中的基本圖形,體會轉化的數(shù)學思想.

4 教學過程

4.1 微課導學,課前預習

預習活動1觀看微課視頻

在課前通過微課平臺了解三個源于課本,與三角形有關的基本模型:雙平推等腰模型、勾股定理方程模型和K型相似模型:

(1)雙平推等腰模型:如圖1,若AB//CD(第一“平”),AC是∠BCD的角平分線,則可以得到結論ΔABC是等腰三角形.(推理過程:因為AB//CD,所以∠1=∠3.因為AC是∠BCD的角平分線,所以∠2=∠3,因為∠1=∠2,所以ΔABC是等腰三角形)

圖1

圖2

(2)勾股定理方程模型:如圖2,ΔABC是直角三角形,其中∠C=90°,BC=a,AC=b,D為線段AC上一點,且AD=BD.當遇到這種情形時,往往需要主動地設AD=BD=x,從而CD=AC-AD=b-x.在RtΔDCB中可由勾股定理列出式子:CD2+BC2=BD2,從而列出方程:a2+(b-x)2=x2,解方程可得x=

(3)K型相似模型:如圖3,∠CAB=∠DBA=90°,點E是線段AB上的一點,且∠CED=90°,那么便有ΔACE∽ΔBED,由于這兩個三角形組成的圖形非常像英文字母中的“K”,故稱之為K型全等.(推理過程:因為∠CAB=90°,所以∠C+∠CEA=90°.因為∠CED=90°,所以∠DEB+∠CEA=90°,所以∠C=∠DEB,又因為∠A=∠B,所以ΔACE∽ΔBED.)

另外,當一個直角的直角頂點在一條直線上時,我們也可以嘗試自己構造K型相似.如圖4,點E是線段l上的一點,且∠CED=90°,那么便可以自己過點C、D做直線l的垂線,交l于A、B兩點,同樣可得ΔACE∽ΔBED.

圖3

圖4

預習活動2完成課前預習題

觀看微課預習視頻后,嘗試完成兩道道課前預習題;

(1)根據(jù)微課視頻內容,在思維導圖(如圖5)的中間三項空白處畫出三種基本圖形并進行簡要說明.

圖5

圖6

(2)如圖6,在矩形ABCD中,ΔAEB沿EB翻折后使得點A的對應點A′落在線段CD上,已知AB=5,BC=3,求AE的值.

設計意圖本節(jié)復習課的預習活動分為兩個,第一個預習活動主要是利用微課平臺的開放性和自主性對學生力所能及的學習任務進行課堂前置,初三學生對這三個基本模型并不陌生,甚至已經(jīng)比較熟練,本節(jié)課的主要任務并非講解這個三基本模型,而是側重于如何在翻折問題中利用它們來解決問題,突出本節(jié)課的教學重點和難點.預習活動二則是基本模型在翻折問題中的簡單應用,為接下來探究更復雜的翻折問題埋下伏筆,提前搭建好翻折問題與三個基本模型之間的關系.

4.2 師生交流,自主探究

活動1回顧折疊的性質

問題1談談你對折疊有哪些認識?折疊后的圖形有什么性質?

問題2拿出手中的紙片進行翻折,看看折疊前后的點、線段、角、圖形各有什么特點?

生成預設:學生在教師的引導以及自己用紙片實驗之后,不難發(fā)現(xiàn)翻折具備對應點關于折痕對稱,對應點的連線被對稱軸垂直平分;翻折前后的對應邊、對應角相等;翻折前后的圖形全等等性質.

活動2學生講解預習題

問題3同學們還記得我們在課前通過微課平臺學習了三個和三角形有關的基本模型嗎?今天我們要研究的主題是四邊形的翻折疊問題,對此你有什么疑惑嗎?

問題4大家還記得在課前預習時我們做了一個預習題嗎?你算出的答案是多少,跟大家分享分享.

設計意圖對于問題3,學生可能會提出質疑:為什么研究四邊形的翻折問題要學習和三角形有關的基本模型呢?在中考中我們常常會面臨很多復雜問題,如何將復雜問題轉化為基本經(jīng)驗往往是解題的關鍵,而基本模型正是這一關鍵環(huán)節(jié)的知識儲備和資源積累,只有準備足夠充分,才能在解決問題時信手拈來,水到渠成.安排讓學生自主講解預習題,引導學生從基本模型的角度去分析本圖中含有的勾股定理方程模型、K型相似模型,目的是讓學生自主積累運用基本模型解決問題的經(jīng)驗,感受基本模型的價值和重要性.

4.3 變式訓練,結構呈現(xiàn)

變式1在預習題的基礎上將紙片繼續(xù)往上拉,使得點E與點D重合,若BC=4,DC=8,你能求出線段DF的值嗎?

題目如圖7,在矩形ABCD中,將ΔABD沿BD翻折后使得AB的對應邊A′B與邊CD交于點F,若BC=4,DC=8,求DF的值.

圖7

圖8

變式2如果現(xiàn)在以點A為原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,其他的條件不變,你能求出點A′的坐標嗎?

題目如圖8,在平面直角坐標系中,有矩形ABCD,點A在坐標原點,點B、D分別在x軸和y軸的正半軸上.將ΔABD沿BD翻折后使得AB的對應邊A′B與邊CD交于點F,若BC=4,DC=8,求A′的坐標.

生成預設:在變式1的教學中,教師應當引導學生分析圖中有哪些基本模型,學生通過課前的微課預習不難發(fā)現(xiàn)圖中有雙平推等腰模型和勾股定理方程模型,從而得到DF=BF,并設DF=x,根據(jù)勾股定理列出方程:(8-x)2+42=x2,解方程求出x的值.變式2則將問題情境設置在了平面直角坐標系中,教師要通過提問引導學生發(fā)現(xiàn)要求的點A′有什么特征以及如何利用這一特征來構建已知點與未知點之間的聯(lián)系.學生通過觀察不難發(fā)現(xiàn)點A′是一個直角的頂點,而直角正是K型相似的核心特征,所以此時雖無“K”,但是我們可以在直角的基礎上通過作垂線自己構造出K型相似,根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出點A′的坐標.

設計意圖在預習題的基礎上將紙片向上拉動,在大環(huán)境不變的基礎上進行微調,借助于變中的不變來突出其本質特征,強化復雜圖形由基本圖形構成這一解題意識,從而引發(fā)學生的思考與探究,真正認識到知識之間的內在聯(lián)系,提高學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

4.4 中考引領,小試牛刀

在本題的教學中與學生進行了如下的對話:

師:沿CE折疊,使點B落在CD邊上,對于第一次翻折你能得到哪些結論,請大膽發(fā)表自己的見解.

生1:形成了正方形、等腰直角三角形、矩形等圖形,圖中還有全等三角形.

師:再沿CH折疊,此時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合,對于第二次翻折你又能得到哪些結論?你能從中找到一些基本模型嗎?

生3:連接EH根據(jù)翻折的性質有EH=DH,加上∠A是直角,可以構造勾股定理方程模型.

生4:連接ED可以得到CH是ED的垂直平分線.

生5:圖中還有兩個小等腰直角三角形,它們分別是ΔAEH和三角形E′DH.

師:第三次翻折你能得到哪些結論?

生6:折痕是CH的垂直平分線.

生7:ΔAPH和ΔBCP有點像K型全等,ΔCPH也有點像等腰直角三角形.

師:同學們說的都非常好,當我們遇到一個復雜的幾何圖形時,需要像這樣將它一層一層地撥開,去發(fā)現(xiàn)、尋找一些基本模型和特殊圖形,哪怕僅僅是猜想也是很有價值的.其實正如剛剛那位同學所說,ΔHPC確實是一個等腰直角三角形,只不過需要我們去證明,你能證明∠HPC=90°嗎?說說你的思路?

生8:可以證∠PHC=45°,再根據(jù)ΔPHC是等腰三角形證得∠HPC=90°.

生9:可以先證ΔAPH和ΔBCP全等,然后利用等量代換證明∠HPC是直角.

生10:可以根據(jù)勾股定理逆定理證明PH2+PC2=CH2,從而得到ΔPHC是直角三角形.

設計意圖由于是二輪復習,所以選擇了這道有一定難度的中考題作為本節(jié)課的最后一個探究問題.由于在課前、以及課堂前期已經(jīng)反復深化了學生對四邊形的翻折問題與三角形的基本模型之間的關系,并通過提問引導學生對每一次翻折后的圖形進行了分析與拆解,學生不難發(fā)現(xiàn)這個復雜的幾何圖形依然由一些基本模型和特殊圖形構成,從而學生可以發(fā)散地、從不同的角度去尋求證明角是90°的方向,培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力,提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

5 設計理念自述

5.1 處理好碎片知識與系統(tǒng)結構的關系

任何一個學科的理論都是由很多概念以及原理組成的一個龐大的知識系統(tǒng),數(shù)學這門學科也不例外.當我們面對一個四邊形的翻折問題或者一個幾何問題時,我們需要掌握一些碎片化的知識,一些和三角形有關的基本模型等等,這在前期的教學中基本上都已經(jīng)完成.對于初三學生來說,在一輪復習時已經(jīng)對碎片化知識進行了系統(tǒng)復習之后,教師需要對零散的知識進行組塊化歸納,引導學生建立一個有系統(tǒng)、帶框架的知識自我管理體系.本節(jié)課在預習階段為學生準備了一張思維導圖,讓學生在其中補全三種與三角形有關的基本模型,隨后在研究四邊形的翻折問題時,通過對話交流、合作討論逐漸帶領學生發(fā)現(xiàn)原來四邊形的問題與這些基本模型密切相關,并與學生一起將這張知識結構圖逐漸清晰(如圖9).

圖9

最后通過中考題的研究,引導學生發(fā)現(xiàn)幾何學其實就像一張網(wǎng),四邊形不只是這張網(wǎng)上一個獨立的個體,而是和三角形、全等、垂直平分線等知識都有著密不可分的關系,這其中滲透了轉化思想、模型思想等重要數(shù)學思想方法,這也要求我們在中考二輪復習中,不僅要注重知識的積累,注重碎片化知識的回顧,更要注重知識與知識之間的相互遷移,學會發(fā)散思維,求異思維,最終織成一張牢固的知識網(wǎng),這樣才是有效的中考復習策略.

5.2 處理好模型意識與整體觀念的關系

圖形的運動在近幾年頻繁出現(xiàn)在中考中,很多壓軸題都以翻折、旋轉等圖形的運動為背景,出現(xiàn)在各地的中考試卷上.由于此類問題靈活性較高,不僅翻折所用的紙片形狀可以千變萬化,而且翻折的方法也是多種多樣的,所以當學生面對這類問題時多少有些畏懼,感覺充滿了不確定性.想要上好這樣一節(jié)將四邊形與翻折變換相結合的復習課,實際上是帶領學生一起去感悟當我們面對一個比較宏觀、復雜的整體時,如何從局部的角度化陌生為熟悉,轉繁瑣為簡單,但是局部又不能脫離整體,所以需要引導學生把握好模型意識與整體觀念的關系.

用模型思想來解決復雜問題既是一種思維方式,一種解決問題的思維策略,同時也需要大量的經(jīng)驗積累與知識儲備.由于是中考復習課,所以在課前采用了微課這樣一種適應時代的信息化教學手段來幫助學生課前就對三種常見的與三角形相關的基本模型進行了解,隨后通過一道簡單的預習題逐步地、有層次地引導學生思考翻折問題與基本模型之間的關系,并嘗試著用這樣一種關系去解決一道更復雜的中考題.史寧中教授曾經(jīng)說過:數(shù)學教學需要培養(yǎng)好學生的數(shù)學抽象能力、邏輯推理能力和建立數(shù)學模型的能力,而這些能力形成的前提便是要抓住問題的共性,在變的情景中找到不變的規(guī)律,這樣學生在遇到不同的翻折問題時,才能利用這些共性和規(guī)律解決問題.

本節(jié)課最后一道中考題呈現(xiàn)出來時,學生在有了用基本模型的角度分析問題的經(jīng)驗后,一直緊扣本題的情景去盡可能地挖掘其中所蘊含的基本模型與特殊圖形,既注重局部,又緊扣整體,最終形成很多合理的、想象力豐富的解題思路,讓學生深刻認識到在問題研究過程中所有的“巧解”和“妙解”都是在擁有大量“通解”的基礎上得出來的,所以如果說“變式”為學生的解題過程提供了妙趣橫生的可能性,那么“定式”和“模型”對學生解題而言則是如虎添翼,二者相輔相成,相互促進[2].