王峰

【摘要】數(shù)學(xué)作為高中階段的一門主要必修課程，在思維鍛煉和未來研究過程中具有至關(guān)重要的作用.在日常的學(xué)習(xí)過程中，教師會(huì)運(yùn)用多種類型的數(shù)學(xué)思想潛移默化地影響著學(xué)生的思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.分類討論思想就是高中數(shù)學(xué)思想中的一種.本文主要討論分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);分類討論思想;有效運(yùn)用

自21世紀(jì)以來，我國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決思想的研究逐漸興起，由于起步較晚，雖然經(jīng)過一段時(shí)間的實(shí)踐研究，取得了一些成果，但是總體發(fā)展速度相對(duì)緩慢.分類討論思想作為其中比較重要的一種思想，關(guān)于它的研究到目前為止也沒有形成相應(yīng)的系統(tǒng).在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生應(yīng)用分類討論思想來解決有關(guān)問題是失分的常項(xiàng).因此，筆者在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)分類討論思想的理解，從三個(gè)方面來闡述分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用.

一、分類討論思想的含義

從高中數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)特點(diǎn)來講，解題的過程中會(huì)經(jīng)常運(yùn)用到分類討論思想.我們知道，高中數(shù)學(xué)中的某些題目常常不止一個(gè)正確答案，那么在解答此類題目時(shí)，就不能使用常規(guī)的解題模式，而是需要在題目相關(guān)條件的規(guī)定下進(jìn)行子區(qū)域的劃分，然后再對(duì)這些子區(qū)域進(jìn)行求解.這一解題過程運(yùn)用到的思想就是分類討論思想.

分類討論思想在實(shí)際的應(yīng)用過程中，一般堅(jiān)持由大到小、將整體劃分為部分再將部分進(jìn)行組合的原則.在數(shù)學(xué)范疇中，分類討論思想分類的依據(jù)是先將不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行劃分，然后再分析它們之間的相同點(diǎn)，從而進(jìn)行歸類，這樣有助于幫助學(xué)生更好地找到數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系.

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的合理運(yùn)用

（一）從教材出發(fā)梳理分類討論內(nèi)容

學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題目的過程中運(yùn)用分類討論思想屬于高層次的策略.從高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系來分析，分類討論思想以一條主線的形式貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中.高中數(shù)學(xué)教材中的分類討論思想的呈現(xiàn)比較隱蔽，需要教師仔細(xì)研讀教材，理清知識(shí)的編排脈絡(luò)，高屋建瓴，深入挖掘，從而有計(jì)劃地滲透給學(xué)生.

例如，在“平面向量”這一章中，運(yùn)用分類討論思想具有突出的指導(dǎo)作用，可以讓各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò)更加清晰，而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也能夠化難為易.例如，向量的表示方法有幾何法、字母法、坐標(biāo)法等，兩個(gè)向量之間的關(guān)系有共線和不共線，其中，共線又有方向相同和方向相反之分.在學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算過程中，據(jù)筆者的觀察，學(xué)生在集合運(yùn)算上并沒有太大的問題，而在坐標(biāo)運(yùn)算中很多學(xué)生算出來的結(jié)果經(jīng)常是實(shí)數(shù)，在數(shù)量積的運(yùn)算中，又有不少學(xué)生將結(jié)果算成了向量.因此，教師要運(yùn)用分類討論思想為學(xué)生講解向量運(yùn)算的相關(guān)知識(shí).例如，向量的運(yùn)算包括線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，其中，線性運(yùn)算又包括加法運(yùn)算、減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，它們的計(jì)算結(jié)果都是向量;數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果為實(shí)數(shù)（可正可負(fù)）.相信有了這樣的思路，學(xué)生在進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，出錯(cuò)率會(huì)大大下降.

再如，函數(shù)部分的教學(xué)也蘊(yùn)含著分類討論思想，主要體現(xiàn)為以下方面：一是對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)（a）取值范圍的分類討論.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，且互為反函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，它們均為增函數(shù);當(dāng)?shù)讛?shù)0

（二）在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中巧妙滲透

筆者曾對(duì)所帶班級(jí)學(xué)生進(jìn)行了訪談?wù){(diào)查，了解到他們?cè)诜治瞿骋粏栴}時(shí)常常一開始沒有頭緒，不知道該從哪里入手去分類討論，即找不到分類的依據(jù).這與教師在平時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中沒有注意滲透分類討論思想不無關(guān)系.課堂教學(xué)前的準(zhǔn)備工作就是教師圍繞三維目標(biāo)和核心素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).為了讓課堂教學(xué)更加精彩，教學(xué)效果更加明顯，教師在進(jìn)行整堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)過程中應(yīng)該有意識(shí)地運(yùn)用分類討論思想，以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

具體來說，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中要合理地體現(xiàn)分類討論思想，這需要教師要格外注重以下三個(gè)方面.首先，教師應(yīng)該主動(dòng)提升自身的修養(yǎng).在運(yùn)用分類討論思想之前，教師應(yīng)該自主學(xué)習(xí)并深入研究一些現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)思想的論著，掌握其有效的運(yùn)用方法，做到上課前“胸中有丘壑”.其次，教師在制訂教學(xué)目標(biāo)時(shí)應(yīng)該有意識(shí)地滲透分類討論思想，而不是一味地重視知識(shí)的傳授和技能的訓(xùn)練，要讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成過程，體會(huì)其中的分類討論思想.最后，上課前，教師要認(rèn)真研讀教材，挖掘知識(shí)中的隱性數(shù)學(xué)思想，并恰當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中.

例如，在教學(xué)“兩條直線的平行與垂直”時(shí)，課前幾分鐘，筆者先讓學(xué)生思考之前學(xué)過的幾種直線方程的類型，并分析每種類型存在的不足.接著給出一般式直線方程：Ax+By+c=0，要求學(xué)生說出其斜率和截距，由此鞏固學(xué)生頭腦中關(guān)于直線方程的認(rèn)知系統(tǒng)，并巧妙引入新課，要求學(xué)生獨(dú)立思考：當(dāng)直線方程為斜截式時(shí)，如何判定兩條直線的位置關(guān)系？在筆者的思路點(diǎn)撥下，學(xué)生們分別從l1∥l2k1=k2和l1⊥l2k1·k2=-1兩種情況進(jìn)行分析.隨后，筆者與學(xué)生一同探究一般式直線方程的位置關(guān)系：已知兩條直線A1x+B1y+C1=0，

A2x+B2y+C2=0，方程組的解與方程所表示的兩條直線有什么關(guān)系？

為避免學(xué)生漏掉其中可能存在的關(guān)系，筆者借助多媒體為他們演示了兩條直線三種位置關(guān)系（相交、平行、重合）的動(dòng)態(tài)關(guān)系，加強(qiáng)了學(xué)生的形象思維，使他們不會(huì)漏掉兩條直線重合的特殊情況，從而得出結(jié)論：

解方程組唯一解無窮多解無解l1l2相交，l1l2重合，

l1l2平行.

（三）在習(xí)題的歸類與練習(xí)中滲透

有些數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)施需要具備一定的條件，教師可以運(yùn)用分類討論思想幫助學(xué)生突破這些限制性條件，如集合中子集的求法，偶次方根的化簡(jiǎn)，指數(shù)、對(duì)數(shù)問題中底數(shù)的討論，等等.

例如，寫出集合{a，b}的所有子集.考慮到高一學(xué)生首次接觸集合概念，本身沒有分類意識(shí)，教師可以借此機(jī)會(huì)滲透分類討論思想.針對(duì)此題，分類的標(biāo)準(zhǔn)可以確定為子集中的元素個(gè)數(shù).分類如下：含有0個(gè)元素（不含元素）：;含有1個(gè)元素：{a}，;（3）含有2個(gè)元素：{a，b}.因此，{a，b}的所有子集為，{a}，，{a，b}.

還有一些題目因不確定相對(duì)位置而需要進(jìn)行分類討論.例如，寫出終邊在直線y=x上的角的集合S.由于角的終邊是一條射線，因此不能一概而論，必須將其分為兩類進(jìn)行討論：與45°終邊相同的角和與225°終邊相同的角.之后再讓學(xué)生思考這兩類集合是否可以合并，并運(yùn)用一切合并的技巧.那么，在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生寫出：與45°終邊相同的角的集合{α|α=45°+k·360°，k∈Z}，與225°終邊相同的角的集合{α|α=225°+k·360°，k∈Z}，由此，所求集合S={α|α=45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}={α|α=45°+k·180°，k∈Z}

再如，判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.（1）判斷函數(shù)f（x）=x2，x∈（k，2）的奇偶性.教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱進(jìn)行思考，并將k分為k=-2和k≠-2這兩類進(jìn)行討論.當(dāng)k=-2時(shí)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知f（x）為偶函數(shù).當(dāng)k<2且k≠-2時(shí)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）是非奇非偶函數(shù).（2）求函數(shù)f（x）=x2+1在區(qū)間[-2，a]上的最小值.由于區(qū)間和對(duì)稱軸位置不同，函數(shù)單調(diào)性不同，對(duì)應(yīng)的函數(shù)最值也不同，需要對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論.當(dāng)-2

三、高中生在學(xué)習(xí)過程中掌握分類討論思想的建議

（一）自覺克服畏難心理

從高一數(shù)學(xué)課程開始，學(xué)生就需要對(duì)集合、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的習(xí)題進(jìn)行分類討論，這對(duì)剛升入高中的學(xué)生來說，勢(shì)必增加一些學(xué)習(xí)難度.如果教師從一開始就沒有注意到學(xué)生的這種畏難心理，那么久而久之，學(xué)生的問題就會(huì)越積越多，當(dāng)以后解決更加復(fù)雜的分類問題時(shí)，學(xué)生很可能會(huì)“談分色變”，逐漸對(duì)數(shù)學(xué)課喪失信心.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該幫助學(xué)生克服心理障礙，減少他們對(duì)分類討論的畏懼感，讓他們能夠通過正確的方法去改變.同時(shí)，學(xué)生在課下應(yīng)勤加練習(xí)，由量變引發(fā)質(zhì)變，這樣定能產(chǎn)生好的效果，并能在之后解決分類討論問題時(shí)得心應(yīng)手.

（二）優(yōu)化解題思路，回避或簡(jiǎn)化分類討論

盡管分類討論思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常使用到的一種方法，也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師通常會(huì)讓學(xué)生通過各個(gè)擊破的方式去解決問題.然而從整體來看，將所有的情況想到并進(jìn)行討論，必然是煩瑣且復(fù)雜的.如果學(xué)生能夠在審題過程中深入挖掘題目中的隱藏條件，掌握回避或簡(jiǎn)化分類討論的方法，那么就會(huì)節(jié)省很大一部分解題時(shí)間，還能優(yōu)化分類討論的策略，提升解題效率.例如，求經(jīng)過-32，52與3，2兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一般的解法就是要分焦點(diǎn)在x，y軸兩類進(jìn)行討論，但是如果設(shè)橢圓方程為Ax2+By2=1（A>0，B>0，A≠B）就能避免分類討論.再如，研究f（x）=x+ax（a>0）的單調(diào)性時(shí)，不需要將x>0和x<0時(shí)的函數(shù)單調(diào)性都進(jìn)行詳細(xì)討論，可以先討論x>0時(shí)的情況，而x<0時(shí)的情況可根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致這一特點(diǎn)得出結(jié)論.

四、結(jié)束語

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用范圍非常廣泛，如在集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、排列組合以及解析幾何中均能使用.但是由于知識(shí)的性質(zhì)和學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)教師還需要在方法上進(jìn)行優(yōu)化，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論思想解決具體的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)問題的邏輯嚴(yán)密性.

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