譚森偉

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視對(duì)學(xué)生知識(shí)的傳授，還要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的滲透，數(shù)學(xué)思想不僅有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以有效提升學(xué)生的思維，為此，教師要有意識(shí)地為學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想。主要研究了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值滲透，分析了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的意義，并提出了幾點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中滲透的具體措施。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;價(jià)值滲透

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的意義

數(shù)和形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的兩種形式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為常見(jiàn)的一種思想，將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題更加形象直觀(guān)，便于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要善于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，使數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到一個(gè)“化繁為簡(jiǎn)”的效果。為此，在教學(xué)中為學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想是非常有必要的，借助形可以更好地表現(xiàn)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)的理解。例如，在函數(shù)學(xué)習(xí)中，函數(shù)的抽象性比較強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)存在一定的困難，這時(shí)就可以利用數(shù)形結(jié)合，為學(xué)生構(gòu)建良好的圖形關(guān)系，將抽象的函數(shù)內(nèi)容轉(zhuǎn)化成更加直觀(guān)的圖形，從而加強(qiáng)學(xué)生的理解。同時(shí)，以數(shù)助形，可以有效提升解題效率。立體幾何、解析幾何作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)部分，僅通過(guò)數(shù)形來(lái)理解，對(duì)學(xué)生而言是比較難的，而利用數(shù)形結(jié)合的思想可以將所要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體的公式，進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì)，從而有效提升解題效率。

二、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的原則

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合還需要注意以下幾個(gè)原則：一是簡(jiǎn)潔性。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用是為了加快解題速度，提高解題正確率。為此，在數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用中還需要注意方式方法。例如，在選擇題中就可以只畫(huà)一個(gè)大概的圖形。但是在解答題中就需要畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形，從而確保解題的正確率。二是等價(jià)性?！皵?shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換一定是等價(jià)關(guān)系，在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)首先要思考運(yùn)用哪種方法更加簡(jiǎn)便，之后再進(jìn)行數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)換。例如，在函數(shù)問(wèn)題求解中，函數(shù)圖像上每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)結(jié)果，在求解函數(shù)圖像的數(shù)量關(guān)系時(shí)，就可以利用圖像中具有代表性的點(diǎn)來(lái)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而快速得出答案。三是雙向性。數(shù)形結(jié)合思想并不是適用于所有的題目，在解題過(guò)程中，教師要從不同的方面來(lái)展示數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，讓學(xué)生充分了解數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)和不足，對(duì)于某些題目來(lái)說(shuō)，畫(huà)圖反而會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，延長(zhǎng)解題的速度，在這種情況下就可以選擇代數(shù)解題方式，反之亦然。在不斷地練習(xí)中學(xué)生能夠逐漸掌握數(shù)形結(jié)合的方式，進(jìn)而提升解題的效率。在日常教學(xué)中，教師還要不斷向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想的原則，讓學(xué)生能夠熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想滲透的具體措施

（一）利用數(shù)形結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)概念知識(shí)的理解

數(shù)學(xué)中的理論概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)生只有掌握概念知識(shí)，才可以靈活運(yùn)用。概念的理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵。然而隨著高中數(shù)學(xué)難度的加深，很多學(xué)生在概念知識(shí)的理解上還存在一定的困難，為此，教師就可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)幫助學(xué)生加深對(duì)概念知識(shí)的理解。高中數(shù)學(xué)中盡管概念內(nèi)容比較短，但是學(xué)生對(duì)概念知識(shí)的掌握情況卻并不是很好，很多學(xué)生在解題過(guò)程中出錯(cuò)就是源于對(duì)概念知識(shí)的掌握不足，沒(méi)有深入理解概念。由于概念都是理論性的內(nèi)容，而且比較抽象，因此，教師就可以借助圖形，使數(shù)形有機(jī)結(jié)合在一起，從而進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解。

例如，在人教A版高中數(shù)學(xué)“冪函數(shù)”概念學(xué)習(xí)中，冪函數(shù)的定義非常簡(jiǎn)單，函數(shù)y=xa即為冪函數(shù)，其中x為自變量，a可以是任何常數(shù)（中學(xué)階段的研究中a為有理數(shù)）。a既然可以取任何值，也就意味著取值不同所代表的函數(shù)圖像有所不同，為了讓學(xué)生更好地理解這一知識(shí)，教師可以借助圖形來(lái)向?qū)W生展示a為不同取值時(shí)，函數(shù)圖像會(huì)有什么樣的區(qū)別。教師可以將所有不同取值的圖像都展示在同一個(gè)平面坐標(biāo)系內(nèi)，從而讓學(xué)生清楚地了解到函數(shù)圖像的區(qū)別。當(dāng)a=-2、-1、、1、2、3等值時(shí)，所代表的函數(shù)圖像是完全不同的，而這種差異如果沒(méi)有圖形作為輔助，單純以文字，難以體現(xiàn)出來(lái)。而在圖形結(jié)合下，學(xué)生能夠清楚地認(rèn)識(shí)到a的取值不同所表示的圖形函數(shù)也有所不同，進(jìn)而對(duì)于冪函數(shù)的概念有更加深入的認(rèn)識(shí)。此外，僅通過(guò)文字來(lái)了解概念，學(xué)生難免會(huì)混淆一些細(xì)節(jié)內(nèi)容，而通過(guò)圖形結(jié)合的方式可以將細(xì)節(jié)內(nèi)容直觀(guān)地展現(xiàn)到學(xué)生面前，進(jìn)而使學(xué)生加深對(duì)概念知識(shí)的理解。

（二）利用數(shù)形結(jié)合，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題更加直觀(guān)形象

高中數(shù)學(xué)難度較初中數(shù)學(xué)有了明顯的提升，在解題過(guò)程中學(xué)生難以理順解題的步驟和思路，為此，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想去思考問(wèn)題，借助圖形可以將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系簡(jiǎn)單化，以便學(xué)生能夠正確理解題意，進(jìn)而找到題目的突破點(diǎn)。例如，已知兩個(gè)定圓的方程分別是C1：（x+4）2+y2=100，C2：（x-4）2+y2=4。一個(gè)動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓外相切，求動(dòng)圓P的圓心方程。在這個(gè)題目解答中，學(xué)生會(huì)感覺(jué)比較難以下手，而且如果直接去求解圓心的軌跡方程也是非常麻煩的，為此，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的方式，利用圖形來(lái)推導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，我們可以假設(shè)所求的圓心為（x，y），半徑為r。從兩個(gè)定圓的方程中可以得知圓心分別是C1（-4，0），C2（4，0），半徑分別是10和2。根據(jù)題目信息可知，兩個(gè)定圓是內(nèi)相切的關(guān)系，而動(dòng)圓分別和兩個(gè)定圓外相切，也就是說(shuō)動(dòng)圓和一個(gè)定圓相內(nèi)切，和另外一個(gè)定圓相外切，這樣就很容易得出|C1P|=10-r，|C2P|=r+2，將兩個(gè)式子相加|C1P|+|C2P|=10-r+r+2>|C1C2|，由此可以判斷出動(dòng)圓的形狀是橢圓形，之后再根據(jù)橢圓的面積公式得出c=4，a=6，由此可得b2=20。為此，就可以得出圓心的軌跡面積。在這個(gè)題目的解答過(guò)程中，借助圖形結(jié)合的思想可以將題目?jī)?nèi)容和信息更加直觀(guān)地展現(xiàn)到學(xué)生面前，從而幫助學(xué)生降低解題的難度。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)問(wèn)題所占的比重是非常高的，而直接利用題面信息，學(xué)生難以獲取有效的信息，而借助圖形可以將數(shù)量信息直觀(guān)具體地展現(xiàn)到學(xué)生面前，進(jìn)而為學(xué)生降低解題的難度，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。利用數(shù)形結(jié)合思想可以降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，數(shù)與形是一個(gè)靈活轉(zhuǎn)換的過(guò)程，由于學(xué)生之間都存在個(gè)體上的差異，而利用數(shù)形結(jié)合的思想可以幫助學(xué)生找到適宜自己的解題方法，從而降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

（三）利用數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生的邏輯思維

數(shù)學(xué)是一門(mén)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，但是從學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)看，很多學(xué)生的邏輯思維不夠縝密，這也就導(dǎo)致學(xué)生解題思路比較混亂，找不到正確的解題思路，為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決一些比較復(fù)雜的題目，利用圖形來(lái)分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而幫助學(xué)生掌握解題思路，同時(shí)，提升學(xué)生的邏輯思維能力。尤其是在一些幾何類(lèi)題目中，如果僅憑文字信息，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)圖形的特點(diǎn)和規(guī)律，而將圖形畫(huà)出來(lái)，學(xué)生就能夠清楚地看到文字中所隱藏的信息，進(jìn)而提高解題的準(zhǔn)確率，使學(xué)生的邏輯思維變得更加嚴(yán)謹(jǐn)。例如，在這道題目中：若點(diǎn)P（m，n）在線(xiàn)段y=8-2x（1≤x≤3）上，則的取值范圍是多少？從題意表面來(lái)看，所需要求解的是一個(gè)比值的具體范圍，這也就說(shuō)明無(wú)法求解出m、n的具體數(shù)值，而題目中還給出一條線(xiàn)段，為此，就可以先將點(diǎn)轉(zhuǎn)化成線(xiàn)，將轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段OP的斜率，將原點(diǎn)（0，0）和P（m，n）連接起來(lái)，就可以看成，即線(xiàn)段OP的斜率。利用圖形可以看出線(xiàn)段OP的斜率應(yīng)該位于OA、OB的范圍內(nèi)，根據(jù)線(xiàn)段y=8-2x（1≤x≤3），可以畫(huà)出一條線(xiàn)段AB來(lái)，而P位于A(yíng)B上，可得出線(xiàn)段OP的斜率即在OA、OB之間，計(jì)算出OA、OB的斜率，即可得出的取值范圍。利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以幫助學(xué)生梳理解題思路，從而有效提升學(xué)生的思維能力。

（四）利用數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不僅比較多，而且比較零碎，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)記憶混淆的情況，為了解決這一問(wèn)題，教師可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，將知識(shí)點(diǎn)化整為零，有機(jī)地聯(lián)系在一起，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，以便學(xué)生能夠靈活運(yùn)用。例如，在人教A版高中數(shù)學(xué)“空間幾何體的表面積與體積”教學(xué)中，這節(jié)內(nèi)容中需要掌握錐體、臺(tái)體、主體以及多面體的表面積以及體積，由于公式的數(shù)量較多，學(xué)生在記憶過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)記混的情況，因此，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生利用圖表的形式對(duì)其進(jìn)行歸納總結(jié)，這樣經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的梳理之后，學(xué)生能夠清晰地看到每一種圖形的表面積和體積公式，進(jìn)而加深記憶。同時(shí)，通過(guò)總結(jié)學(xué)生能夠明確它們之間的共性和差異，從而更好地掌握這部分知識(shí)和內(nèi)容。這樣不僅會(huì)提升學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)的效果，而且也有助于學(xué)生日后進(jìn)行復(fù)習(xí)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用圖表歸納的方式來(lái)進(jìn)行總結(jié)是很有必要的，通過(guò)系統(tǒng)歸納可以對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效整合，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。在教學(xué)實(shí)踐中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，成績(jī)較好的學(xué)生總是善于舉一反三，通過(guò)一類(lèi)類(lèi)似的題目，可以解決所有有關(guān)的類(lèi)型，這主要就是由于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握比較牢固，能夠發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

總而言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在解題過(guò)程中學(xué)會(huì)如何使用數(shù)形結(jié)合，并要求學(xué)生在課下不斷進(jìn)行練習(xí)，進(jìn)而有效加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

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編輯 趙飛飛